广西柳州高级中学2024-2025学年高三上学期9月自主综合考试数学试题

高三数学自主测试试题 一、单选题 1. 已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 4. 将自然数，，，，，，按照如图排列，我们将，，，，，都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”（ ） A. B. C. D. 5. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 90 6. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 已知的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 的共轭复数为 10. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，则下列结论正确的是（  ） A. 曲线C与y轴的交点为和 B. 曲线C关于x轴、y轴对称，不关于原点O对称 C. 点的横坐标的范围是 D. 的取值范围为 11. 如图，正方体的棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是（ ） A. 最大值为； B. 在时取得极大值； C. 在上单调递增，在上单调递减； D. 在上单调递增，在上单调递减 三、填空题 12. 已知随机变量，若，则的值为______________． 13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则__________. 14. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为______. 四、解答题 15. 已知数列中，，． （1）求的通项公式； （2）求和： 16. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点． （1）在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由； （2）若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 17. 现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏. （1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）； （2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列； （3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若时，求的取值范围； （3）若，证明：当时，. 19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． （1）求的方程； （2）过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； （3）已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 高三数学自主测试试题 一、单选题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）； （2） 【16题答案】 【答案】（1） 存在，证明如下： 在四棱柱中，因为平面平面， 所以可在平面内作， 由平面几何知识可证，所以，可知P是中点， 因为平面，所以平面． 即存在线段的中点，满足题设条件． 满足条件的点只有一个，证明如下： 当平面时，因为平面， 所以过作平行于CQ的直线既在平面内，也在平面内， 而在平面内过只能作一条直线， 故满足条件的点P只有唯一一个． 所以，有且只有的中点为满足条件的点P，使直线平面． （2）． 【17题答案】 【答案】（1）， （2）分布列： X 0 1 2 3 P （3）公平，理由：不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币；记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为； 于是； 即，即. 记，则， 故数列为首项是，公差为的等差数列； 故，则， 故，则，因此公平. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 由可得， 即证当，时，， 令， 则， 由可知，，故在上单调递减， 所以， 令，则， 当时，，，所以， 故在上单调递增，所以， 所以，即， 所以成立. 【19题答案】 【答案】（1） （2）2 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $