上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

2024-2025学年上海市延安中学高三年级上学期 开学考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 若集合，则______. 2. 不等式的解集为______. 3. 若（为虚数单位），则的共轭复数为______. 4. 若角的终边经过点，则______. 5. 某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率______. 6. 若的展开式中的系数是，则 ． 7. 已知圆，则圆心到直线的最大距离为_____. 8. 设当时，函数取得最大值，则__________. 9. 已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为______. 10. 已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为______. 11. 定义为数列的“均值”，已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为_____． 12. 若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. “”是“”成立的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 14. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 30种 15. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（　　） A. B. 平面ABCD C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线AE，BF所成的角为定值 16. 我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为.在轴（轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果轴与轴相交所成的角为，过平面任意一点，分别作坐标轴的平行线，交轴于点，交轴于点，将点在轴上的坐标，点在轴上的坐标称为点在该坐标系中的坐标，记为.若是该坐标系中的任意两点，则点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，已知正方体的棱长为. （1）求直线和平面所成角的大小； （2）求二面角的大小. 18. 已知，曲线在点处的切线斜率为. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 19. 2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表： 喜欢奥数 不喜欢奥数 总计 已选奥数课（A组） 150 50 200 未选奥数课（B组） 90 110 200 总计 240 160 400 （1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？ （2）能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？ 附： 参考公式：，其中. 20. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线． （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：； （3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值． 21. 已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且． （1）求，，，； （2）求数列的前项和； （3）记，，求证：． 2024-2025学年上海市延安中学高三年级上学期 开学考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】1 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）20，12； （2）有关. 【20题答案】 【答案】（1） （2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切， 故，即， 由得， 设，，则，， 则， 故； （3）当直线ON垂直于x轴时，，， 则O到直线MN的距离为． 当直线不垂直于轴时， 设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为. 由与椭圆方程联立， 得，，所以. 同理. 设O到直线MN的距离为d， 则由， 得． 综上，O到直线MN的距离是定值. 【21题答案】 【答案】（1），，，； （2）； （3）证明：，所以，． 当时， ， 同时， ． 综上，当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $