江西省南昌雷式厚一实验中学2023-2024学年高一下学期元旦练习数学试题

雷式厚一实验中学元旦练习卷 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C．9 D． 3．已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．已知定义域为的函数满足，且其图像关于直线对称，若当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（    ）天． A．200天 B．210天 C．220天 D．230天 7．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 8．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．已知a，，则“”是“”的必要不充分条件 C．已知为定义在R上的奇函数，且当时，，则时， D．若幂函数在上是减函数，则 10．已知命题：关于x的不等式，命题：，若是的必要非充分条件，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数 ，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是（    ） A． B． C．3 D．4 12．设函数，对于任意的，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为 . 14．若是上的奇函数，且当时，，则当， ． 15．若命题：，，命题：，，若和都是真命题，则实数的取值范围是 ． 16．函数的单调递增区间为 五、解答题 17．（1）计算：的值； （2）已知，，且，求的值. 18．设集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 19．已知函数． (1)求函数的值域； (2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求正实数a的取值范围． 20．已知函数. (1)当a=2，时，求函数f(x)的值域； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值. 21．2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完. (1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 22．已知函数． (1)若在上有两不等实根，求实数a取值范围； (2)若，对任意，存在，使得，求实数a取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】由题意首先解一元二次不等式、对数不等式分别化简集合，再由交集的概念即可求解. 【详解】由题意，， 所以. 故选：D. 2．C 【分析】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由可知，， 所以， 当，即时，等号成立， 联立，得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 3．C 【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值. 【详解】函数，则. 故选：C 4．D 【分析】求得，又由得，根据点关于直线的对称点为，即可求得. 【详解】设点在函数的图象上， 则关于直线的对称点为， 则，解得，则， 又时，， 则， 又， 所以， 则， 此图象关于对称，所以， 故选：D. 【点睛】本题的关键点有两个：一是根据条件求得点关于直线的对称点；二是求得后，根据，求得. 5．C 【分析】先求出二次函数对称轴，由函数单调区间和对称轴关系即可求解. 【详解】因为的图象开口向上，且关于直线对称，所以在上单调递增，所以. 故选：C 6．D 【分析】由题设得方程，根据指对数关系、对数运算性质求值即可. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即， ． 故选：D． 7．A 【分析】由函数的奇偶性和区间内函数值的符号，用排除法求解. 【详解】由，可知函数的定义域为， ，函数为偶函数，图像关于轴对称，排除CD； 当时，，，，又，所以，排除B. 故选：A 8．C 【分析】利用分离常数法，结合函数的单调性求解即可． 【详解】， 当时，单调递增，， 当时，单调递增，， 故函数，的值域是． 故选：C． 9．BCD 【分析】对于A，由对勾函数的性质判断；对于B，利用充分条件与必要条件的概念判断；对于C，根据题意和函数的奇偶性求出函数的解析式；对于D，根据幂函数的概念及性质判断. 【详解】对于A， 令，由对勾函数的性质可知在上单调递增， 则当时，取最小值，故A错误； 对于B，由推不出，如时；由可以得出， 故“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，因为为定义在R上的奇函数，且当时，， 则时，，所以，故C正确； 对于D，因为幂函数在上是减函数， 则且，解得，故D正确. 故选：BCD. 10．BCD 【分析】先解不等式，设，，由题意可得，求解即可. 【详解】由可得：，解得：，设， ，若p是q的必要非充分条件， 所以真包含于A，所以或或均满足. 故选：BCD. 11．CD 【分析】作出函数的大致图象，将方程有两个不相等的实数根，转化为与图象有2个交点的问题，数形结合，求出参数的范围，可得答案 【详解】如图，作出函数的大致图象， 当时， ， 故在点处的切线斜率为 ， 直线过定点，当时，与图象有一个交点； 直线过点时， ，此时与图象有2个交点； 当时，与图象有一个交点； 当时，与图象有2个交点； 综上，当时，与图象有2个交点， 故方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是3，4， 故选：CD 12．ACD 【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基本不等式可确定D正确. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，令，，则，，， ，B错误； 对于C，为定义在上的增函数，，C正确； 对于D，， ，D正确. 故选：ACD. 13． 【分析】根据幂函数定义和单调性求解． 【详解】由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为. 故答案为：. 14． 【分析】根据奇函数的定义结合已知条件求解即可. 【详解】设，则， 所以， 因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 故答案为： 15． 【分析】根据全称命题与特称命题，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由命题是真命题，根据二次函数的性质，可得； 由命题为真命题，根据二次函数的性质，可得，解得. 综上可得，. 故答案为： 16． 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得或， 故函数的定义域为. ∵在R上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴在上单调递减，在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故答案为：. 17．（1）；（2） 【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解， （2）根据指数幂的运算即可求解. 【详解】（1） ； （2）因为，，所以， 由于，所以； 所以. 18．(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的交集和并集运算求解； （2）由，得到求解. 【详解】（1）当时，，且. ， ； （2）， ， ， 解得：， 实数的取值范围. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用对数的运算性质化简，令，结合二次函数即可求出函数的值域； （2）将恒成立问题转化成，借助（1）的结论，解不等式即可． 【详解】（1），因为， 令，可得， 所以当且仅当，即，解得时， 所以函数的值域为； （2）不等式对任意的恒成立， 即， 由（1）可得：当且仅当，即时，函数取到最大值6， 所以，即， 且，解得，即， 故实数a的取值范围为． 20．(1). (2)或. 【分析】（1）通过判断对称轴与区间的关系，即可求出函数最值，从而可求函数的值域. （2）通过讨论对称轴与区间中点的大小关系，从而可求出函数的最大值，根据最大值为，即可求出实数的值. 【详解】（1）当a＝2时，，， 因为其对称轴为x＝， 所以，， 所以函数f(x)的值域为. （2）∵函数f(x)的对称轴为. ①当，即时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， 所以6a＋3＝1，即，满足题意； ②当，即时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， 所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 综上可知，或a＝－1. 21．(1) (2)， 万元 【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可； （2）根据配方法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 综上，. （2）由（1）知，， 当时，， 因为，所以，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时，又， 所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元. 22．(1) (2) 【分析】（1）依据开口向上的二次函数有两个不等实根，知判别式大于0，对称轴在内，端点处的函数值不小于0,从而解出参数; （2）对于恒成立或存在性下的不等式问题，转化为两个函数的最值问题. 【详解】（1）在上有两不等实根， 又，则，解得； 即所求的取值范围是    （2）任意，存在，使得，则 在上单调递增，则 所以问题转化为存在，. 解法一（直接分类讨论求最小值）. (i)当对称轴时，即：，由该函数图像可知 ，即 又 故此时 (ii)当时，即：，由该函数图像可知 ，又，故此时. (iii)当对称轴时，即：，由该函数图像可知 ，又， 故此时. 综上所述，实数的取值范围为. 解法二（分离参数） 存在，等价于 不妨设， 则问题转化为存在，使得，即 又在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】与恒成立与存在性相关的不等式问题，一般转化为最值问题，注意在转化时，要能够明晰要求的是最大还是最小值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$