专题07 相似三角形重难点模型（五大模型）-2024-2025学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题07 相似三角形重难点模型（五大模型） 【题型01：(双)A字型相似】 【题型02：(双)8型相似】 【题型03：母子型相似】 【题型04：旋转相似】 【题型05：K字型相似】 【题型01：(双)A字型相似】 【典例1】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【变式1-1】如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（    ） A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5 【变式1-2】如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ． 【变式1-3】为培养学生劳动实践能力，某研学基地计划在一块形状为三角形的土地上开辟出一块矩形土地（如图1所示）供种菜使用，其中米，边上的高为米，要求长方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．为了方便学生使用，计划在开辟出来的长方形土地上建造三条如图所示的宽均为a（）米的道路（图2中阴影部分）． (1)若所开辟的土地为正方形，求该正方形的边长； (2)若所开辟的土地为矩形，求矩形的最大面积； (3)当时，若开辟的矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为6平方米，求此时路宽a的值． 【题型02：(双)8型相似】 【典例2】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【变式2-3】如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F． （1）求证：OE⊥CD； （2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长． 【题型03：母子型相似】 【典例3】如图1，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)求的长． (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值． (3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形． 【变式3-1】如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 【变式3-2】如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【变式3-3】如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，交于F． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，求的长． 【题型04：旋转相似】 【典例4】某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【变式4-1】如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)[问题发现]当时，_____；当时，____； (2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明； (3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______． 【变式4-2】如图1，正方形和正方形，连接，． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长． 【变式4-2】中，，，于，点在线段上，点在射线上，连接，，满足． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积． 【变式4-3】【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 【题型05：K字型相似】 【典例5】综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点E、F、P、Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段、之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 【变式5-2】（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    【变式5-3】如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形重难点模型（五大模型） 【题型01：(双)A字型相似】 【题型02：(双)8型相似】 【题型03：母子型相似】 【题型04：旋转相似】 【题型05：K字型相似】 【题型01：(双)A字型相似】 【典例1】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式1-1】如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（    ） A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵AE=2，EC=3， ∴AC=AE+EC=5， ∵DEBC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式1-2】如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ． 【答案】2 【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案． 【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴在等腰直角三角形中，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴，   又∵， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【变式1-3】为培养学生劳动实践能力，某研学基地计划在一块形状为三角形的土地上开辟出一块矩形土地（如图1所示）供种菜使用，其中米，边上的高为米，要求长方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．为了方便学生使用，计划在开辟出来的长方形土地上建造三条如图所示的宽均为a（）米的道路（图2中阴影部分）． (1)若所开辟的土地为正方形，求该正方形的边长； (2)若所开辟的土地为矩形，求矩形的最大面积； (3)当时，若开辟的矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为6平方米，求此时路宽a的值． 【答案】(1)米； (2)平方米； (3)米 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题；根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出矩形长与宽的关系是解题关键． （1）作交于点H，与的交点为，设正方形边长为， 由的即可求解． （2）设矩形，根据矩形的面积公式求解并整理，再利用二次函数的最值问题进行求解即可． （3）设开辟的矩形土地上供学生种菜的面积为，则可得表达式，再利用二次函数的最值问题进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：作交于点H，与的交点为，如图： 设正方形边长为， 四边形是正方形，在边上， ， ， ， 由， 可得， 解得． 正方形的边长为米． （2）设， 可得，即． 矩形面积为 ， 故矩形的最大面积为：平方米． （3）设开辟的矩形土地上供学生种菜的面积为，, 四边形是矩形，在边上， ， ， ， 由， 可得， 解得． ∴矩形土地上供学生种菜的面积为， ∴ ， 当时，时取到最大值，时取到最小值， 开辟的矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为6平方米， ， 即： 解得，（舍去）； 当时，时取到最大值，时取到最小值， 同理，解得（舍去）； 故当米时，符合题意． 【题型02：(双)8型相似】 【典例2】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【变式2-2】如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 【变式2-3】如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F． （1）求证：OE⊥CD； （2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长． 【答案】（1）见解析；（2）CH的长为6． 【分析】（1）根据四边形ABCO是矩形，可得OA=BC=8，OC=AB=6，根据勾股定理可得OE和CP的长，进而得EF和CF的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE⊥CD； （2）在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB-AD=6-2=4，根据勾股定理可得CD=4，根据点G是CD的中点，可得CG=DG=2，所以得点G是CP的三等分点，根据OA∥BC，对应边成比例即可求出CH的长． 【详解】（1）∵四边形ABCO是矩形， ∴OA=BC=8，OC=AB=6， 在Rt△OCE中，CE=3， ∴OE=， ∵AB∥OC，即AD∥OC，且AD=2， ∴， ∴， ∴PA=4， ∴PO=PA+OA=12， ∴在Rt△OPC中，OC=6， ∴CP=， ∵OA∥BC，即OP∥CE， ∴， ∴， ∴EF=OE=， CF=CP=， ∵()2+()2==9， ∴EF2+CF2=CE2， ∴△CEF是直角三角形， ∴∠CFE=90°， ∴OE⊥CD； （2）在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB﹣AD=6﹣2=4， 根据勾股定理，得CD=， ∵点G是CD的中点， ∴CG=DG=2， 由（1）知：CP=6， ∴DP=CP﹣CD=2， ∴点G是CP的三等分点， ∵OA∥BC，即OP∥CH， ∴， ∴， ∴CH=6． 答：CH的长为6． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 【题型03：母子型相似】 【典例3】如图1，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)求的长． (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值． (3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)10 (2)或时，以点、、为顶点的三角形与相似 (3)或或时，为等腰三角形 【分析】(1)根据三角函数解得即可； (2)分①当时和②当时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可； (3)分①当时，②当时，③当时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可． 【详解】（1）解： （2）解：解：①当时， ， 即， 解得：， ②当时， ， 即， 解得：， 综上所述，或时，以点、、为顶点的三角形与相似， （3）解：①如图3，当时，， 解得：， ②如图4，当时，过点作于， 则∠，， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ③如图，当时，过点作于， 则， ， ， ， ， 即， 解得：， 综上所述，或或时，为等腰三角形 【点睛】本题考查考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，已知正切求边长，解题的关键是掌握辅助线的作法，数形结合，分类讨论思想的应用． 【变式3-1】如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 【变式3-2】如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【变式3-3】如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，交于F． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可解答； （2）如图：连接BE，根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等，从而根据等角对等边即可证明结论； （3）设，则，再证明可得,，再证可得，即，解得，进而得到，然后再利用相似三角形的性质得到关于的方程求得，然后根据等角对等边即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点E是的内心， ∴， ∴． 答：∠CBD的度数为． （2）证明：如图，连接BE， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解： 设，则， ∵， ∴， ∴,， ∵， ∴， ∴，即，解得 ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是相似三角形判定与性质的应用． 【题型04：旋转相似】 【典例4】某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 【变式4-1】如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)[问题发现]当时，_____；当时，____； (2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明； (3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______． 【答案】(1) ； ； (2)没有变化，证明见解析； (3)． 【分析】（）利用等腰三角形的性质判断出， ，进而得出，得出，即可得出结论； 同的方法，即可得出结论； （） 利用两边成比例，夹角相等，判断出，即可得出结论； （）判断出点在的延长线上时，最大，再求出 ，即可得出结论； 此题是考查了旋转的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出两三角形相似熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，的大小没有变化； 证明：在中， ∵，， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当点在的延长线上时，最大，其最大值为， 在中，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图1，正方形和正方形，连接，． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析； (3)8． 【分析】（1）证明，后证明即可； （2）延长，交于点H，交于点K，．根据（1）的证明方法，类似证明即可． （3）设与交的交点为M，根据平行四边形的判定和性质，勾股定理，结合．解答即可． 【详解】（1），． 理由如下：延长，交于点N，交于点P， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故且． （2）解：，． 理由如下：延长，交于点H，交于点I， ∵四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故且． （3）解：设与交的交点为M， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【变式4-2】中，，，于，点在线段上，点在射线上，连接，，满足． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）过点作于，通过解直角三角形可求出的长； （2）过点作交于，通过证明，得，设，设，用和的代数式表示出和的长，即可解决问题； （3）取的中点，连接，，其中交于，过作于，过点作于，设，可表示出和的长，再根据的长，可求出，可求得，则点在以为圆心，2为半径的圆上运动，且点与点重合时，最小，再利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】（1）如图，过点作于，则， 在中，，， ，， ，，， ， 又，， ， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）如图，过点作交于，则， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 设， 则， 设， 则， ， ， ， ， ， ； （3）如图，取的中点，连接，，其中交于，过作于，过点作于， 设， ，， ， ， ， ， ，， ， 点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 点与点重合时，最小， 是等腰直角三角形，， ， ， 在中，由勾股定理得， 当点与点重合时，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：当最小时，的面积为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，对学生的逻辑思维能力要求较高，属于中考压轴题． 【变式4-3】【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）画出图形见解析，线段的长度为． 【分析】（1）由题意易得，，从而可证，然后根据三角形全等的性质可求解； （2）连接，由题意易得，进而可证，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证； （3）如图，过A作，由题意可知，，然后根据相似三角形的性质及题意易证，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可． 【详解】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：如图2，连接， ∵在和中，，，， ， ， ∵，， ， ， ， ∴； （3）如图3，过A作AF⊥EC， 由题意可知，， ∴，即， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，2×， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解． 【题型05：K字型相似】 【典例5】综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点E、F、P、Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段、之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)时，；时，；时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出即可，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）证明：由知，，， 则， 则点、的坐标分别为：、， 当时，，则， 即点， ∴； （2）解：，理由： 设直线的表达式为：，将、代入得： ，解得：． ∴直线的表达式为：， 联立上式和得 ，解得， 即点， 同理（1）可得，点， ∴ ∵， ∴； （3）分别过点、作轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则，，，当时， ∴， ∴． ∴，， 联立方程组： ，解得： ∴时，， ②若，，，，如图3，当时， ∴ ∴ ∴，， 联立方程组： ，解得． ∴时， ③若，当时，如图4，，，， ∴， ∴， ∴ ∴，， 联立方程组： ，解得： ∴， ④，的情况不存在， 综上，时，；时，；时， 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键． 【变式5-1】在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)； (2)相似，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）四边形是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，； （2）分别延长、交于点P，四边形是矩形，，，，四边形、四边形、四边形都是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，，，，，点G是的中点，，，，，； （3）由（2）可知，，，由折叠的性质可知，，，，，分情况讨论，①当点E在上时，，，，②当点E在的延长线上时，，，． 【详解】（1）解：与相似 证明：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ； （2）解：， 理由：如图，分别延长、交于点P，    ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ，，点G是的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ①当点E在上时，如图，    ， ， ， ②当点E在的延长线上时，如图，    ， ， ． 综上所述，的长为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，相似的性质和判定，三角函数等知识点，属于压轴题，难度较大，熟练掌握相关性质定理和分类讨论思想是解题的关键． 【变式5-2】（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）发生变化，． 证明：由（1）得，，， ∴， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键． 【变式5-3】如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】(1)4， (2)是， (3)或4 【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题； （2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）； （3）连接交于，在中，，代入数据求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：作于交于． 四边形是矩形， ，，， ． 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为4，． （2）结论：的值为定值． 理由：由，可得．，，， ， ； （3）连接交于． ，所以只能， ， ， ， ， 垂直平分线段， 在中，， ， ， ， ． 综上所述，的值为． 【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$