2025届高考物理一轮复习：专题13 万有引力与航天的特殊问题（山东专版）

专题十三 万有引力与航天的特殊问题 目录 考向一 变轨问题 2 考向二 太空云梯 9 考向三 追及问题 11 1、 同轨道追及问题 11 2、 卫星通信 12 3、 冲日问题 13 考向四 多星系统 16 1、 双星系统 16 2、 三星系统 18 考向五 能量问题 20 考向六 拉格朗日点 27 考向一 变轨问题 1.（2024潍坊二模）4．2023年12月26日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭与远征一号上面级，成功发射第五十七颗、五十八颗北斗导航卫星。长征三号乙运载火箭与上面级脱离后，上面级继续推动卫星运动，直接将卫星送到预定工作轨道Ⅰ，然后上面级与卫星分离，为避免影响卫星的运行，上面级继续点火抬高轨道进入类坟场轨道Ⅱ，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ均可视为圆形轨道。根据上述信息，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ运行的速度大于第一宇宙速度 B．上面级在轨道Ⅱ运行的周期小于卫星在轨道Ⅰ运行的周期 C．上面级在轨道Ⅱ上的加速度小于卫星在轨道Ⅰ上的加速度 D．上面级在轨道Ⅱ上受到的万有引力小于卫星在轨道Ⅰ上受到的万有引力 2.（2024泰安二模）4．我国的火星探测器“天问一号”的发射过程采用了椭圆形转移轨道，如图所示为发射变轨简图。已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为r和，探测器需在地球运行至一个预先设定的位置A时发射，该位置也是椭圆形转移轨道的近日点，在此位置探测器通过火箭点火实施变速，进入椭圆形转移轨道，沿此轨道到达远日点B再次变速进入火星公转轨道。下列说法正确的是（　　） A．探测器由A点大约经0.7年才能抵达B点 B．探测器由A点大约经0.9年才能抵达B点 C．为完成变轨，探测器在A点需要加速，在B点需要减速 D．为完成变轨，探测器在A、B两点均需要减速 3.（聊城市2024高三上学期期末）5．我国航天事业持续飞速发展，2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。为了简化问题，可以认为探测器A、B在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。已知探测器A的运行周期为，探测器B的运行周期为。则下列说法正确的是（　　） A．探测器A的运行周期大于探测器B的运行周期 B．从图1所示位置再经过的时间，探测器A、B将再次处于相同的位置关系 C．若图1中探测器A要与探测器B对接，探测器B可减速后实现对接 D．图2中，质量为火星探测器经过B点时速度为，在极短的时间内喷出部分气体，喷气后探测器质量变为、速度变为与垂直的。则喷出气体速度u的大小为 4.（2024届日照一模）11．2024年中国载人航天发射有4次发射任务和2次回收任务。中国载人登月将加速稳步推进，探测器升空后，先在近地轨道1上环绕地球飞行，再调整速度进入地月转移轨道，然后再一次调整速度在环月轨道2上环绕月球飞行，轨迹如图所示。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，环月轨道2距离月球表面的高度为月球半径的。下列判断正确的是（　　） A．探测器在地月转移轨道上无动力奔月的过程中，动能先减小后增大 B．月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值约等于4.5 C．月球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值约等于0.2 D．相等时间内，探测器在轨道1上与地心连线扫过的面积是轨道2上与月心连线扫过的面积的倍 5.（2024届山东省德州市开学考）7．中国计划在2030年前实现载人登月，开展月球科学考察及相关技术试验。根据“嫦娥”系列卫星的发射，设想登月载人飞船的运行轨迹如图所示。飞船发射后首先进入绕地球运行的圆形“停泊轨道”，在点加速进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地球表面最近距离为，飞船到达离点最远距离为的点时，依靠飞船的反向助推器减速，被月球引力“俘获”后，在距月球表面的圆形“绕月轨道”上飞行，择机降落在月球表面。已知地球半径为，月球半径为，地球表面重力加速度为，月球表面的重力加速度为，飞船在“过渡轨道”运行时忽略月球引力影响。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“停泊轨道”上的运行速度为 B．飞船在“绕月轨道”上的运行速度为 C．地球质量与月球质量之比为 D．飞船从点运动到点的时间为 考向二 太空云梯 1.（德州市2024高三上学期期中）15．空间机械臂作为在轨支持、服务的一项关键技术，对空间科学的应用和发展起到了很大的带动作用。空间站上安装的机械臂不仅可以维修、安装空间站部件，还可以发射、抓捕卫星。如图所示，空间站在半径为r 的轨道上做匀速圆周运动。从空间站伸出长为d 的机械臂，微型卫星放置在机械臂的外端。在机械臂的作用下，微型卫星、空间站、地球在同一直线上，微型卫星与空间站同步做匀速圆周运动。已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为g，微型卫星质量为m，求： （1）空间站所在轨道处的重力加速度； （2）机械臂对微型卫星的作用力大小（忽略空间站对卫星的引力以及空间站的尺寸）。    2.（2023·山东省济宁市高三下学期高考模拟二）如图甲所示，太空电梯的原理是在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，“绳索”会绷紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空。如图乙所示，有一太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，相对地球静止。已知地球半径R、质量为M、自转周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A. 太空电梯上各点均处于完全失重状态 B. 太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比 C. 升降舱停在距地球表面高度为2R的站点时，升降舱的向心加速度为 D. 升降舱停在距地球表面高度为2R的站点时，升降舱的向心加速度为 考向三 追及问题 1、 同轨道追及问题 1.（2021届高三上第二次联考）多11. 2020年8月3日上午，北斗三号全球卫星导航系统建成开通新闻发布会在国务院新闻办公室召开。北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能。如图所示，北斗导航系统中的两颗工作卫星均绕地心做匀速周运动，且轨道半径为r，某时刻工作卫星1、2分别位于轨道上的A、B两个位置，若两卫星均沿顺时针方向运行，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力。下列判断正确的是（　　） A. 这两颗卫星的加速度大小相等，均为 B. 卫星1出A位置运动到B位置所需的时间是 C. 这两颗卫星的机械能一定相等 D. 卫星1向后喷气就一定能够追上卫星2 2、 卫星通信 1.（2021年山东烟台二模）15．(7分)卫星光通讯是一个新兴的空间高速通信技术研究领域，涉及多个相关学科，具有广阔的应用前景。如图所示，赤道上空有两颗人造地球卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，卫星A、B的轨道半径分别为。两颗卫星之间通讯信号可视为沿直线传播，在运行过程中，由于地球的遮挡，卫星间的通讯信号将会中断。已知卫星A运行的周期为T，地球半径为R，。 求 (1)卫星B的周期； (2)转动过程中某时刻，卫星A、B间通讯信号恰好中断，如图所示，从该时刻起至少再经多长时间，卫星A、B之间的通讯将恢复? 3、 冲日问题 1.（2024淄博二模）8．如图是摄影爱好者成功拍摄到的中国空间站“凌月”（凌月是指在地球上观测月球时看到空间站在月球前面快速掠过）画面，整个“凌月”过程持续时间极短，仅约半秒钟。将空间站绕地球的运动看作半径为r的匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，月球绕地球做匀速圆周运行的周期为T，空间站与月球在同一轨道平面且绕行方向相同。则再次出现空间站凌月现象的时间为（　　） A． B． C． D． 2.（2024潍坊一模）4．2023年5月30日16时29分神舟十六号成功对接于空间站天和核心舱径向端口，若对接前“神舟十六号”和“空间站”分别在圆形轨道Ⅰ和Ⅱ上绕同一方向做匀速圆周运动，圆周运动的半径分别为、，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，下列说法正确的是（    ） A．地球的密度约为 B．神舟十六号与空间站的线速度之比为 C．神舟十六号与空间站的向心加速度之比为 D．从相距最远到相距最近的最短时间为 3.（2022山东省模拟考试）6．天文观测发现某行星A绕恒星做圆周运动，轨道半径为R，周期为T，但在观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间9T发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的可能原因是该行星外侧还存在着一颗未知行星B，它对A的万有引力引起A行星轨道的偏离，假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同，由此可推测未知行星B绕太阳运行的圆轨道半径为 A． B． C． D． 考向四 多星系统 1、 双星系统 1．（2023·山东临沂·统考一模）人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程．设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则（    ） A．黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量 B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度 C．其运动周期 D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大 2、 三星系统 1.（2024日照二模）8．2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。科学家观测到有三颗星A、B、C保持相对静止，相互之间的距离均为l，且一起绕着某点做周期为T的匀速圆周运动。已知，，不计其它星体对它们的影响。关于这个三星系统，下列说法正确的是（　　） A．三颗星A、B、C的半径之比为 B．三颗星A、B、C的线速度大小之比为 C．若距离l均不变，A、B、C的质量均变为原来的2倍，则周期变为 D．若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，则周期变为 2.（2021年山东日照高三校级联考）6. 2019年11月15日的科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。四星系统的形式如图所示，三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动。设每颗星的质量均为m，万有引力常量为G，则（　　） A. 每颗星做圆周运动的向心加速度与m大小无关 B. 三星的总动能为 C. 若四颗星的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍 D. 若距离L不变，四颗星的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍 考向五 能量问题 1.（山东高三2月联考）9．如图所示，嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。探测器完成对月球表面的取样任务后，样品将由上升器携带升空进入环月轨道，与环月轨道上做匀速圆周运动的轨道器返回器组合体（简称“组合体”）对接。为了安全，上升器与组合体对接时，必须具有相同的速度。已知上升器（含样品）的质量为m，月球的半径为R，月球表面的“重力加速度”为g，组合体到月球表面的高度为h。取上升器与月球相距无穷远时引力势能为零，上升器与月球球心距离r时，引力势能为，G为引力常量，月球的质量为M（未知），不计月球自转的影响。下列说法正确的是（　　） A．月球的质量 B．组合体在环月轨道上做圆周运动的速度v的大小为 C．上升器与组合体成功对接时上升器的能量为 D．上升器从月球表面升空并与组合体成功对接至少需要的能量为 2.（2021年山东青岛高三3月份统一考试）4. 征途漫漫，星河璀璨，2021年2月10日，“天问一号”成功被火星捕获，进入环火星轨道。探测器被火星俘获后经过多次变轨才能在火星表而着陆。若探测器在半径为r的轨道1上绕火星做圆周运动，动能为Ek变轨到轨道2上做圆周运动后，动能增加了，则轨道2的半径为（　　） A. B. C. D. 3．（2023·山东泰安·统考一模）我国空间站组合体在2022年9月30日由两舱“一”字构型转变为两舱“L”字构型。”中国空间站”在距地面高400km左右的轨道上做匀速圆周运动，在此高度上有非常稀薄的大气，因气体阻力的影响，轨道高度1个月大概下降2km，空间站安装有发动机，可对轨道进行周期性修正。假设中国空间站正常运行轨道高度为h，经过一段时间t，轨道高度下降了，在这一过程中其机械能损失为ΔE。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，空间站质量为。规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为，其中M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。则下列说法中正确的是（　　） A．“中国空间站”正常在轨道上做圆周运动的向心加速度大小为 B．“中国空间站”正常在轨道上做圆周运动的线速度大小为 C．"中国空间站”正常在轨做圆周运动的周期为 D．“中国空间站”轨道高度下降Δh时的机械能损失 4.（2024届临沂一模）3．物体在引力场中具有的势能叫做引力势能，取无穷远处为引力势能零点。质量为m的物体在地球引力场中具有的引力势能（式中G为引力常量，M为地球的质量，为物体到地心的距离），如果用R表示地球的半径，g表示地球表面重力加速度。则下列说法正确的是（　　） A．质量为m的人造地球卫星在半径为r的圆形轨道上运行时，其机械能为 B．如果地球的第一宇宙速度为，则将质量为m的卫星从地球表面发射到半径为r的轨道上运行时至少需要的能量 C．由于受高空稀薄空气的阻力作用，质量为m的卫星从半径为的圆轨道缓慢减小到半径为的圆轨道的过程中克服空气阻力做的功为 D．位于赤道上的物体引力势能为零 5.（2022年山东烟台一模）4．人造地球卫星与地心间距离为r时，取无穷远处为势能零点，引力势能可以表示为，其中G为引力常量，M为地球质量，m为卫星质量。卫星原来在半径为r1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于稀薄空气等因素的影响，飞行一段时间后其圆周运动的半径减小为r2。此过程中损失的机械能为 A． B． C． D． 6．（2023·山东烟台·统考一模）人类太空探测计划旨在探测恒星亮度以寻找适合人类居住的宜居行星。在某次探测中发现距地球数光年处有一颗相对太阳静止的质量为M的恒星A，将恒星A视为黑体，根据斯特藩-玻尔兹曼定律：一个黑体表面单位面积辐射出的功率与黑体本身的热力学温度T的四次方成正比，即黑体表面单位面积辐射出的功率为（其中为常数），A的表面温度为，地球上正对A的单位面积接收到A辐射出的功率为I。已知A在地球轨道平面上，地球公转半径为，一年内地球上的观测者测得地球与A的连线之间的最大夹角为（角很小，可认为）。恒星A有一颗绕它做匀速圆周运动的行星B，该行星也可视为黑体，其表面的温度保持为，恒星A射向行星B的光可看作平行光。已知引力常量为G，求： （1）恒星A的半径； （2）行星B的运动周期。 考向六 拉格朗日点 1.（2021德州市二模）多9. 2021年3月15日13时29分，嫦娥五号轨道器在地面飞控人员精确控制下成功被日地拉格朗日L1点捕获，这也是我国首颗进入日地L1点探测轨道的航天器。已知太阳和地球所在的连线上有如图所示的3个拉格朗日点，飞行器位于这些点上时，会在太阳与地球引力的共同作用下，可以保持与地球同步绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A. 飞行器在L1点绕太阳飞行的加速度小于地球绕太阳飞行的加速度 B. 飞行器在L1点处于平衡状态 C. 飞行器A在L1点绕太阳飞行的动能小于飞行器B在L2点绕太阳飞行的动能 D. 飞行器A在L1点绕太阳飞行角速度等于飞行器B在L2点绕太阳飞行的角速度 2、（2023·山东省青岛市高三下学期第二次适应性检测）“鹊桥”卫星是地球与位于月球背面的“嫦娥四号”月球探测器实现信号传输的中继站。如图，L是地月连线上的一个“拉格朗日点”，处在该点的物体会与月球一起绕地球同步公转。已知在地月引力共同作用下，“鹊桥”卫星在轨道平面与地月连线垂直的“Halo轨道”上绕L做匀速圆周运动，同时随月球一起绕地球同步公转。结合图中所给的观测数据，下列说法正确的是（　　） A. “鹊桥”卫星绕地球公转的向心加速度小于月球公转的向心加速度 B. 根据观测数据能计算出地球、月球和“鹊桥”卫星的质量 C. 根据观测数据能计算出“鹊桥”卫星在“Halo轨道”上的运动周期 D. 若将“鹊桥”卫星直接发射到L点，能量消耗最小，能更好地为地-月通信提供支持 3.（2023·山东省实验中学高三下学期模拟二）如图所示，地球和月球组成“地月双星系统”，两者绕共同的圆心C点（图中未画出）做周期相同的圆周运动。数学家拉格朗日发现，处在如图所示拉格朗日点的航天器在地球和月球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变。不考虑航天器对“地月双星系统”的影响，不考虑其他天体对该系统的影响。已知地球质量为M，月球质量为m，地球与月球球心距离为d。则下列说法正确的是（　　） A. 位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器，其向心加速度大于月球的向心加速度 B. 地月双星系统的周期为 C. 圆心C点在地球和月球的连线上，距离地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量之比 D. 该拉格朗日点距月球球心的距离x满足关系式 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题十三 万有引力与航天的特殊问题 目录 考向一 变轨问题 2 考向二 太空云梯 9 考向三 追及问题 11 1、 同轨道追及问题 11 2、 卫星通信 12 3、 冲日问题 13 考向四 多星系统 16 1、 双星系统 16 2、 三星系统 18 考向五 能量问题 20 考向六 拉格朗日点 27 考向一 变轨问题 1.（2024潍坊二模）4．2023年12月26日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭与远征一号上面级，成功发射第五十七颗、五十八颗北斗导航卫星。长征三号乙运载火箭与上面级脱离后，上面级继续推动卫星运动，直接将卫星送到预定工作轨道Ⅰ，然后上面级与卫星分离，为避免影响卫星的运行，上面级继续点火抬高轨道进入类坟场轨道Ⅱ，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ均可视为圆形轨道。根据上述信息，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ运行的速度大于第一宇宙速度 B．上面级在轨道Ⅱ运行的周期小于卫星在轨道Ⅰ运行的周期 C．上面级在轨道Ⅱ上的加速度小于卫星在轨道Ⅰ上的加速度 D．上面级在轨道Ⅱ上受到的万有引力小于卫星在轨道Ⅰ上受到的万有引力 【答案】C 【解答】A．第一宇宙速度是最大环绕速度，卫星在轨道Ⅰ运行的速度一定小于第一宇宙速度，A错误； BC．根据 得 ， 由于轨道Ⅱ的运动半径大于轨道Ⅰ的运动半径，则上面级在轨道Ⅱ运行的周期大于卫星在轨道Ⅰ运行的周期，上面级在轨道Ⅱ上的加速度小于卫星在轨道Ⅰ上的加速度，B错误，C正确； D．由于质量关系未知，无法判断万有引力大小，D错误。 故选C。 2.（2024泰安二模）4．我国的火星探测器“天问一号”的发射过程采用了椭圆形转移轨道，如图所示为发射变轨简图。已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为r和，探测器需在地球运行至一个预先设定的位置A时发射，该位置也是椭圆形转移轨道的近日点，在此位置探测器通过火箭点火实施变速，进入椭圆形转移轨道，沿此轨道到达远日点B再次变速进入火星公转轨道。下列说法正确的是（　　） A．探测器由A点大约经0.7年才能抵达B点 B．探测器由A点大约经0.9年才能抵达B点 C．为完成变轨，探测器在A点需要加速，在B点需要减速 D．为完成变轨，探测器在A、B两点均需要减速 【答案】A 【解答】AB．根据开普勒第三定律可知 则有 年 所以，从A点抵达B点的时间 年 A正确，B错误； CD．为完成变轨，在A需做离心运动，上升至更高的轨道上，到达B点，继续加速，上升至更高的火星公转轨道上，因此在A、B两点均需加速变轨，CD错误。 故选A。 3.（聊城市2024高三上学期期末）5．我国航天事业持续飞速发展，2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。为了简化问题，可以认为探测器A、B在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。已知探测器A的运行周期为，探测器B的运行周期为。则下列说法正确的是（　　） A．探测器A的运行周期大于探测器B的运行周期 B．从图1所示位置再经过的时间，探测器A、B将再次处于相同的位置关系 C．若图1中探测器A要与探测器B对接，探测器B可减速后实现对接 D．图2中，质量为火星探测器经过B点时速度为，在极短的时间内喷出部分气体，喷气后探测器质量变为、速度变为与垂直的。则喷出气体速度u的大小为 【答案】D 【解答】A．根据开普勒第三定律有 解得探测器A的运行周期小于探测器B的运行周期为，A错误； B．设探测器A、探测器B运行角速度分别为、，有 ， 根据运动关系 解得 B错误； C．探测器B减速后做向心运动，轨道半径减小，速度会增大，运行轨道半径难以控制，故图1中探测器A要与探测器B对接，应使A加速后运行到高轨道后与B对接，C错误； D．喷出气体的质量为 喷出气体前探测器与所喷出气体组成的系统初动量 喷出气体后探测器末动量为 喷出气体前后、方向垂直，建立如图所示Oxy直角坐标系。 喷出气体速度u在x、y方向上的分量分别为ux、uy，根据动量守恒定律 x方向有 y方向有 喷出气体速度满足 联立可得 D正确。 故选D。 4.（2024届日照一模）11．2024年中国载人航天发射有4次发射任务和2次回收任务。中国载人登月将加速稳步推进，探测器升空后，先在近地轨道1上环绕地球飞行，再调整速度进入地月转移轨道，然后再一次调整速度在环月轨道2上环绕月球飞行，轨迹如图所示。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，环月轨道2距离月球表面的高度为月球半径的。下列判断正确的是（　　） A．探测器在地月转移轨道上无动力奔月的过程中，动能先减小后增大 B．月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值约等于4.5 C．月球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值约等于0.2 D．相等时间内，探测器在轨道1上与地心连线扫过的面积是轨道2上与月心连线扫过的面积的倍 【答案】ACD 【解答】A．探测器在地月转移轨道上无动力奔月时，地球对探测器的万有引力逐渐减小，月球对探测器的万有引力逐渐增大，引力的合力对探测器先做负功，后做正功，根据动能定理可知，探测器动能先减小后增大，故A正确； B．由万有引力提供向心力有 星球的第一宇宙速度为 则月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值 故B错误； C．由万有引力提供向心力有 星球表面的重力加速度为 月球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值 故C正确； D．由万有引力提供向心力有 解得 则单位时间内卫星与星球连线扫过的面积为 则相等时间内，探测器在轨道1上与地心连线扫过的面积与轨道2上与月心连线扫过的面积的比值为 故D正确。 故选ACD。 5.（2024届山东省德州市开学考）7．中国计划在2030年前实现载人登月，开展月球科学考察及相关技术试验。根据“嫦娥”系列卫星的发射，设想登月载人飞船的运行轨迹如图所示。飞船发射后首先进入绕地球运行的圆形“停泊轨道”，在点加速进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地球表面最近距离为，飞船到达离点最远距离为的点时，依靠飞船的反向助推器减速，被月球引力“俘获”后，在距月球表面的圆形“绕月轨道”上飞行，择机降落在月球表面。已知地球半径为，月球半径为，地球表面重力加速度为，月球表面的重力加速度为，飞船在“过渡轨道”运行时忽略月球引力影响。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“停泊轨道”上的运行速度为 B．飞船在“绕月轨道”上的运行速度为 C．地球质量与月球质量之比为 D．飞船从点运动到点的时间为 【答案】C 【解答】A．飞船在“停泊轨道”上的运行时，万有引力提供向心力，可得 又 联立，解得 故A错误； B．同理，飞船在“绕月轨道”上的运行，万有引力提供向心力，可得 又 联立，解得 故B错误； C．根据前面选项分析可得地球质量与月球质量之比为 故C正确； D．飞船在“停泊轨道”上的运行时，周期为 由开普勒第三定律，可得 飞船从点运动到点的时间为 联立，解得 故D错误。 故选C。 考向二 太空云梯 1.（德州市2024高三上学期期中）15．空间机械臂作为在轨支持、服务的一项关键技术，对空间科学的应用和发展起到了很大的带动作用。空间站上安装的机械臂不仅可以维修、安装空间站部件，还可以发射、抓捕卫星。如图所示，空间站在半径为r 的轨道上做匀速圆周运动。从空间站伸出长为d 的机械臂，微型卫星放置在机械臂的外端。在机械臂的作用下，微型卫星、空间站、地球在同一直线上，微型卫星与空间站同步做匀速圆周运动。已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为g，微型卫星质量为m，求： （1）空间站所在轨道处的重力加速度； （2）机械臂对微型卫星的作用力大小（忽略空间站对卫星的引力以及空间站的尺寸）。    【答案】（1）；（2） 【解答】（1）地表物体 在空间站位置 联立解得 （2）对空间站有 微型卫星 联立解得 2.（2023·山东省济宁市高三下学期高考模拟二）如图甲所示，太空电梯的原理是在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，“绳索”会绷紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空。如图乙所示，有一太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，相对地球静止。已知地球半径R、质量为M、自转周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A. 太空电梯上各点均处于完全失重状态 B. 太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比 C. 升降舱停在距地球表面高度为2R的站点时，升降舱的向心加速度为 D. 升降舱停在距地球表面高度为2R的站点时，升降舱的向心加速度为 【答案】D 【解析】 A．太空电梯各点随地球一起做匀速圆周运动，只有位置达到同步卫星的高度的点才处于完全失重状态，不是各点都处于完全失重状态，故A错误； B．太空电梯各点随地球一起做匀速圆周运动，各点角速度相等，则各点线速度关系为 可知，太空电梯上各点线速度大小与该点到地心的距离成正比，故B错误； CD．升降舱停在距地球表面高度为2R的站点时，升降舱的向心加速度大小为 故C错误，D正确。 故选D。 考向三 追及问题 1、 同轨道追及问题 1.（2021届高三上第二次联考）多11. 2020年8月3日上午，北斗三号全球卫星导航系统建成开通新闻发布会在国务院新闻办公室召开。北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能。如图所示，北斗导航系统中的两颗工作卫星均绕地心做匀速周运动，且轨道半径为r，某时刻工作卫星1、2分别位于轨道上的A、B两个位置，若两卫星均沿顺时针方向运行，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力。下列判断正确的是（　　） A. 这两颗卫星的加速度大小相等，均为 B. 卫星1出A位置运动到B位置所需的时间是 C. 这两颗卫星的机械能一定相等 D. 卫星1向后喷气就一定能够追上卫星2 【答案】AB 2、 卫星通信 1.（2021年山东烟台二模）15．(7分)卫星光通讯是一个新兴的空间高速通信技术研究领域，涉及多个相关学科，具有广阔的应用前景。如图所示，赤道上空有两颗人造地球卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，卫星A、B的轨道半径分别为。两颗卫星之间通讯信号可视为沿直线传播，在运行过程中，由于地球的遮挡，卫星间的通讯信号将会中断。已知卫星A运行的周期为T，地球半径为R，。 求 (1)卫星B的周期； (2)转动过程中某时刻，卫星A、B间通讯信号恰好中断，如图所示，从该时刻起至少再经多长时间，卫星A、B之间的通讯将恢复? 3、 冲日问题 1.（2024淄博二模）8．如图是摄影爱好者成功拍摄到的中国空间站“凌月”（凌月是指在地球上观测月球时看到空间站在月球前面快速掠过）画面，整个“凌月”过程持续时间极短，仅约半秒钟。将空间站绕地球的运动看作半径为r的匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，月球绕地球做匀速圆周运行的周期为T，空间站与月球在同一轨道平面且绕行方向相同。则再次出现空间站凌月现象的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】对空间站 解得 在地球表面由，解得 角速度为 月球的角速度为 设再次出现空间站凌月现象的时间为t，则 解得 故选A。 2.（2024潍坊一模）4．2023年5月30日16时29分神舟十六号成功对接于空间站天和核心舱径向端口，若对接前“神舟十六号”和“空间站”分别在圆形轨道Ⅰ和Ⅱ上绕同一方向做匀速圆周运动，圆周运动的半径分别为、，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，下列说法正确的是（    ） A．地球的密度约为 B．神舟十六号与空间站的线速度之比为 C．神舟十六号与空间站的向心加速度之比为 D．从相距最远到相距最近的最短时间为 【答案】D 【解答】A．根据万有引力与重力的关系 地球的密度约为 故A错误； B．根据万有引力提供向心力 可得 神舟十六号与空间站的线速度之比为 故B错误； C．根据牛顿第二定律 可得 神舟十六号与空间站的向心加速度之比为 故C错误； D．根据万有引力提供向心力 根据万有引力与重力的关系 可得 ， 从相距最远到相距最近的最短时间满足 从相距最远到相距最近的最短时间为 故D正确。 故选D。 3.（2022山东省模拟考试）6．天文观测发现某行星A绕恒星做圆周运动，轨道半径为R，周期为T，但在观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间9T发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的可能原因是该行星外侧还存在着一颗未知行星B，它对A的万有引力引起A行星轨道的偏离，假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同，由此可推测未知行星B绕太阳运行的圆轨道半径为 A． B． C． D． 考向四 多星系统 1、 双星系统 1．（2023·山东临沂·统考一模）人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程．设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则（    ） A．黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量 B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度 C．其运动周期 D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大 【答案】C 【解答】A．设两个黑洞质量分别为mA、mB，轨道半径分别为、，角速度为 则由万有引力定律可知 联立可以得到 而，所以 故选项A错误； B．由于二者角速度相等，则线速度分别为 则 故选项B错误； CD．联立方程式 可以得到 而且 整理可以得到 可知当总质量M一定，L越大，则T越大，角速度越小，故选项C正确，D错误。 故选C。 2、 三星系统 1.（2024日照二模）8．2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。科学家观测到有三颗星A、B、C保持相对静止，相互之间的距离均为l，且一起绕着某点做周期为T的匀速圆周运动。已知，，不计其它星体对它们的影响。关于这个三星系统，下列说法正确的是（　　） A．三颗星A、B、C的半径之比为 B．三颗星A、B、C的线速度大小之比为 C．若距离l均不变，A、B、C的质量均变为原来的2倍，则周期变为 D．若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，则周期变为 【答案】B 【解答】A．由于三颗星保持相对静止，一起绕着某点做圆周运动，三星角速度与周期相等，根据对称性，B、C轨道半径相等，作出三星运动轨迹，如图所示 对A星体有 对B、C星体，两星体各自所受引力的合力大小相等，令为F，根据余弦定理有 对B、C星体，两星体各自做圆周运动，B、C轨道半径相等，令为，则有 解得 可知，三颗星A、B、C的半径大小之比为，故A错误； B．根据线速度与角速度的关系有 三颗星A、B、C的角速度相等，线速度之比等于半径之比，结合上述可知，三颗星A、B、C的线速度大小之比为，故B正确； C．距离l均不变，对A星体有 若A、B、C的质量均变为原来的2倍，根据对称性可知，三星圆周运动的圆心不变，即轨道半径不变，则有 解得 即若距离l均不变，A、B、C的质量均变为原来的2倍，则周期变为，故C错误； D．若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，根据对称性可知，三星圆周运动的圆心不变，即轨道半径均变为先前的2倍，则对A星有 解得 即若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，则周期变为，故D错误。 故选B。 2.（2021年山东日照高三校级联考）6. 2019年11月15日的科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。四星系统的形式如图所示，三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动。设每颗星的质量均为m，万有引力常量为G，则（　　） A. 每颗星做圆周运动的向心加速度与m大小无关 B. 三星的总动能为 C. 若四颗星的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍 D. 若距离L不变，四颗星的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍 【答案】B 考向五 能量问题 1.（山东高三2月联考）9．如图所示，嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。探测器完成对月球表面的取样任务后，样品将由上升器携带升空进入环月轨道，与环月轨道上做匀速圆周运动的轨道器返回器组合体（简称“组合体”）对接。为了安全，上升器与组合体对接时，必须具有相同的速度。已知上升器（含样品）的质量为m，月球的半径为R，月球表面的“重力加速度”为g，组合体到月球表面的高度为h。取上升器与月球相距无穷远时引力势能为零，上升器与月球球心距离r时，引力势能为，G为引力常量，月球的质量为M（未知），不计月球自转的影响。下列说法正确的是（　　） A．月球的质量 B．组合体在环月轨道上做圆周运动的速度v的大小为 C．上升器与组合体成功对接时上升器的能量为 D．上升器从月球表面升空并与组合体成功对接至少需要的能量为 【答案】AD 【解答】A．月球表面的“重力加速度”为g，根据 解得月球的质量 故A正确； B．根据 结合上述，解得组合体的线速度 故B错误； C．上升器与组合体成功对接时上升器的动能为 引力势能 则上升器的能量为 故C错误； D．上升器从月球表面升空并与组合体成功对接至少需要的能量为 结合上述解得 故D正确。 故选AD。 2.（2021年山东青岛高三3月份统一考试）4. 征途漫漫，星河璀璨，2021年2月10日，“天问一号”成功被火星捕获，进入环火星轨道。探测器被火星俘获后经过多次变轨才能在火星表而着陆。若探测器在半径为r的轨道1上绕火星做圆周运动，动能为Ek变轨到轨道2上做圆周运动后，动能增加了，则轨道2的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 3．（2023·山东泰安·统考一模）我国空间站组合体在2022年9月30日由两舱“一”字构型转变为两舱“L”字构型。”中国空间站”在距地面高400km左右的轨道上做匀速圆周运动，在此高度上有非常稀薄的大气，因气体阻力的影响，轨道高度1个月大概下降2km，空间站安装有发动机，可对轨道进行周期性修正。假设中国空间站正常运行轨道高度为h，经过一段时间t，轨道高度下降了，在这一过程中其机械能损失为ΔE。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，空间站质量为。规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为，其中M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。则下列说法中正确的是（　　） A．“中国空间站”正常在轨道上做圆周运动的向心加速度大小为 B．“中国空间站”正常在轨道上做圆周运动的线速度大小为 C．"中国空间站”正常在轨做圆周运动的周期为 D．“中国空间站”轨道高度下降Δh时的机械能损失 【答案】D 【解答】A．“中国空间站”在轨道上做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律有 物体绕地球表面运行，根据牛顿第二定律有 联立解得“中国空间站”正常在轨道上做圆周运动的向心加速度大小为 故A错误； B．根据向心加速度公式 “中国空间站”正常在轨道上做圆周运动的线速度大小为 故B错误； C．根据牛顿第二定律有 "中国空间站”正常在轨做圆周运动的周期为 故C错误； D．根据牛顿第二定律有 "中国空间站”正常在轨做圆周运动的速度为 轨道距地面高度为h时，空间站的动能为 轨道距地面高度为h时，空间站的势能为 轨道距地面高度为h时，空间站的机械能为 同理轨道距地面高度为时，空间站的机械能为 “中国空间站”轨道高度下降Δh时的机械能损失为 故D正确。 故选D。 4.（2024届临沂一模）3．物体在引力场中具有的势能叫做引力势能，取无穷远处为引力势能零点。质量为m的物体在地球引力场中具有的引力势能（式中G为引力常量，M为地球的质量，为物体到地心的距离），如果用R表示地球的半径，g表示地球表面重力加速度。则下列说法正确的是（　　） A．质量为m的人造地球卫星在半径为r的圆形轨道上运行时，其机械能为 B．如果地球的第一宇宙速度为，则将质量为m的卫星从地球表面发射到半径为r的轨道上运行时至少需要的能量 C．由于受高空稀薄空气的阻力作用，质量为m的卫星从半径为的圆轨道缓慢减小到半径为的圆轨道的过程中克服空气阻力做的功为 D．位于赤道上的物体引力势能为零 【答案】A 【解答】A．在半径为r的圆形轨道上运行的质量为m的人造地球卫星有 动能 引力势能为 则机械能为 选项A正确； B．将质量为m的卫星从地球表面发射到半径为r的轨道上运行时至少需要的能量 在地球表面上有 所以 选项B错误； C．由于受高空稀薄空气的阻力作用，质量为m的卫星从半径为的圆轨道缓慢减小到半径为的圆轨道的过程中克服空气阻力做的功为 选项C错误； D．位于赤道上的物体引力势能为 选项D错误。 故选A。 5.（2022年山东烟台一模）4．人造地球卫星与地心间距离为r时，取无穷远处为势能零点，引力势能可以表示为，其中G为引力常量，M为地球质量，m为卫星质量。卫星原来在半径为r1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于稀薄空气等因素的影响，飞行一段时间后其圆周运动的半径减小为r2。此过程中损失的机械能为 A． B． C． D． 6．（2023·山东烟台·统考一模）人类太空探测计划旨在探测恒星亮度以寻找适合人类居住的宜居行星。在某次探测中发现距地球数光年处有一颗相对太阳静止的质量为M的恒星A，将恒星A视为黑体，根据斯特藩-玻尔兹曼定律：一个黑体表面单位面积辐射出的功率与黑体本身的热力学温度T的四次方成正比，即黑体表面单位面积辐射出的功率为（其中为常数），A的表面温度为，地球上正对A的单位面积接收到A辐射出的功率为I。已知A在地球轨道平面上，地球公转半径为，一年内地球上的观测者测得地球与A的连线之间的最大夹角为（角很小，可认为）。恒星A有一颗绕它做匀速圆周运动的行星B，该行星也可视为黑体，其表面的温度保持为，恒星A射向行星B的光可看作平行光。已知引力常量为G，求： （1）恒星A的半径； （2）行星B的运动周期。 【答案】（1）；（2） 【解答】（1）根据题意可得恒星A与地球的位置关系如下图 恒星A辐射的总功率为 由于恒星A距地球数光年，远远大于地球绕太阳公转的半径，因此可认为一年内恒星A与地球的距离大小不变，设该距离为L，根据题意，由几何知识可得 故地球上正对A的单位面积接收到A辐射出的功率为 解得 （2）设行星B的半径为r，轨道半径为R，由于恒星A射向行星B的光可看作平行光，则行星B接收到的来自恒星A的辐射总功率为 行星B辐射出的总功率为 由于行星B温度恒定，因此行星B接收到的来自恒星A的辐射总功率与自身辐射出的总功率相等，即 联合解得 行星B绕恒星A做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得 考向六 拉格朗日点 1.（2021德州市二模）多9. 2021年3月15日13时29分，嫦娥五号轨道器在地面飞控人员精确控制下成功被日地拉格朗日L1点捕获，这也是我国首颗进入日地L1点探测轨道的航天器。已知太阳和地球所在的连线上有如图所示的3个拉格朗日点，飞行器位于这些点上时，会在太阳与地球引力的共同作用下，可以保持与地球同步绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A. 飞行器在L1点绕太阳飞行的加速度小于地球绕太阳飞行的加速度 B. 飞行器在L1点处于平衡状态 C. 飞行器A在L1点绕太阳飞行的动能小于飞行器B在L2点绕太阳飞行的动能 D. 飞行器A在L1点绕太阳飞行角速度等于飞行器B在L2点绕太阳飞行的角速度 【答案】AD 2、（2023·山东省青岛市高三下学期第二次适应性检测）“鹊桥”卫星是地球与位于月球背面的“嫦娥四号”月球探测器实现信号传输的中继站。如图，L是地月连线上的一个“拉格朗日点”，处在该点的物体会与月球一起绕地球同步公转。已知在地月引力共同作用下，“鹊桥”卫星在轨道平面与地月连线垂直的“Halo轨道”上绕L做匀速圆周运动，同时随月球一起绕地球同步公转。结合图中所给的观测数据，下列说法正确的是（　　） A. “鹊桥”卫星绕地球公转的向心加速度小于月球公转的向心加速度 B. 根据观测数据能计算出地球、月球和“鹊桥”卫星的质量 C. 根据观测数据能计算出“鹊桥”卫星在“Halo轨道”上的运动周期 D. 若将“鹊桥”卫星直接发射到L点，能量消耗最小，能更好地为地-月通信提供支持 【答案】C 【解析】 A．“鹊桥”卫星的周期等于月球公转的周期，则它们有相同的角速度，根据可知，该卫星的加速度大于月球公转的加速度，故A错误； BC．设“鹊桥”卫星与月球的中心、地球中心的距离分别为r1、r2，处于拉格朗日点的卫星有 对月球有 由上两式解得月球与地球的质量，但求不出“鹊桥”卫星的质量，能计算出“鹊桥”卫星在“Halo轨道”上的运动周期，故B错误，C正确； D．若将“鹊桥”卫星直接发射到L点，几乎不消耗能量，但由几何关系可知，通讯范围较小，并不能更好地为地-月通信提供支持，故D错误。 故选C。 3.（2023·山东省实验中学高三下学期模拟二）如图所示，地球和月球组成“地月双星系统”，两者绕共同的圆心C点（图中未画出）做周期相同的圆周运动。数学家拉格朗日发现，处在如图所示拉格朗日点的航天器在地球和月球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变。不考虑航天器对“地月双星系统”的影响，不考虑其他天体对该系统的影响。已知地球质量为M，月球质量为m，地球与月球球心距离为d。则下列说法正确的是（　　） A. 位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器，其向心加速度大于月球的向心加速度 B. 地月双星系统的周期为 C. 圆心C点在地球和月球的连线上，距离地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量之比 D. 该拉格朗日点距月球球心的距离x满足关系式 【答案】ABD 【解析】 A．位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器的周期与地球的周期相同，根据 可知，离C点越远加速度越大；位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器，其向心加速度大于月球的向心加速度，故A正确； B．地球和月球组成“地月双星系统”，两者绕共同的圆心C点（图中未画出）做周期相同的圆周运动。设月球轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，根据万有引力提供向心力，对月球 对地球 解得 因为 所以 故B正确； C．由 可得 即圆心C点在地球和月球的连线上，距离地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量的反比；故C错误； D．根据 可得，月球距离圆心C点距离为 航天器在月球和地球引力的共同作用下可以绕“月地双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，设航天器的质量为m0，则 即 故D正确。 故选ABD。 学科网（北京）股份有限公司 $$