重庆市永川区文昌中学文昌校区2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年重庆市文昌中学文昌校区八年级（上）第一次月考数学试卷 一、单选题。（每小题4分，共10×4＝40分） 1．（4分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．15，8，20 B．3，4，7 C．7，4，2 D．1，5，7 2．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）如图，已知AB＝DE，AC＝DF，点B，E，C，F在一条直线上，若利用“SSS”得到△ABC≌△DEF，则需要添加的条件是（　　） A．BE＝EC B．EC＝CF C．BE＝CF D．DE＝AC 4．（4分）能利用HL判定下列条件的两个直角三角形全等的是（　　） A．一个锐角和这个角的对边对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两直角边对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 5．（4分）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 6．（4分）如图，CD⊥AB，交AB于点D，BC⊥AC，若AC＝3，BC＝4，则DC的长是（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．5 7．（4分）如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连接BE、CE，若△ABC的面积为20，则△BCE的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．18 8．（4分）如图，在等边△ABC中，BD＝CE，则∠APE等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 9．（4分）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 10．（4分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论①∠ADC＝∠AEB；②CD∥AB；③DE＝GE；④CD＝BE中，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题。（每小愿4分，共8×4＝32分） 11．（4分）一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是　 　． 12．（4分）如图，已知A、B、C、D四点在同一直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，请你填一个直接条件，　 　，使△AFC≌△DEB． 13．（4分）过十五边形的一个顶点可以作 　 　条对角线，它们将这个多边形分成 　 　个三角形． 14．（4分）如图，作CE⊥AF于点E，CE与BF相交于点D，若∠F＝45°，∠C＝30°，则∠DBC＝　 　°． 15．（4分）如图，小明从A点出发，向前走30m后向右转36°，继续向前走30m，再向右转36°，他回到A点时共走了 　 　米． 16．（4分）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝6，AC＝10，AE的长为m，则m的取值范围是 　 　． 17．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝76°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得到△A′BD，此时A′D∥BC，则∠ABC的度数为 　 　． 18．（4分）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD，CE相交所成的角中有一个角是60°，则∠BAC的度数为 　 　． 三、解答题。（共78分） 19．（8分）（1）求12边形内角和度数； （2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n． 20．（10分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°． （1）求∠BAD的度数； （2）求∠ADE的度数． 21．（10分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知直线AB、CD是两条公路，村庄M在公路AB上，村庄N在公路CD上，两个村庄之间有公路MN连接，请用无刻度的直尺和圆规作图． （1）在公路CD上、村庄N的左侧作一个乘车点P，使得MN＝PN，保留作图痕迹，并标记点P； （2）在公路AB上、村庄M的右侧作一个乘车点Q，使得∠BMN＝∠QND，保留作图痕迹，并标记点Q． 22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，DB为ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长． 23．（10分）如图，AB⊥AC，AD⊥AE，AD＝AE，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACE． 24．（10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF．求证：AE＝AF． 25．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，求证：DE＝CD+BE； （2）当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明． 26．（10分）【概念认识】 如图①，在△ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数； （2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数； 【延伸推广】 （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示） 2023-2024学年重庆市文昌中学文昌校区八年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题。（每小题4分，共10×4＝40分） 1．（4分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．15，8，20 B．3，4，7 C．7，4，2 D．1，5，7 【分析】根据两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可求解． 【解答】解：A．∵8+15＞20，能组成三角形，故此选项正确； B．3+4＝7，不能组成三角形，故此选项错误； C.2+4＜7，不能组成三角形，故此选项错误； D.1+5＜7，不能组成三角形，故此选项错误． 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边． 2．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断． 【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键． 3．（4分）如图，已知AB＝DE，AC＝DF，点B，E，C，F在一条直线上，若利用“SSS”得到△ABC≌△DEF，则需要添加的条件是（　　） A．BE＝EC B．EC＝CF C．BE＝CF D．DE＝AC 【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等，由此即可判断． 【解答】解：∵AB＝DE，AC＝DF， ∴利用“SSS”得到△ABC≌△DEF，还需BC＝EF， A、B、D中的条件都不一定得到BC＝EF，故A、B、D不符合题意； C、由BE＝CF得到BC＝EF，故C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定：SSS． 4．（4分）能利用HL判定下列条件的两个直角三角形全等的是（　　） A．一个锐角和这个角的对边对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两直角边对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 【分析】根据三角形全等的判定方法逐一进行判断即可． 【解答】解：A．一个锐角和这个角的对边对应相等， 根据AAS可证明两个直角三角形全等， 故A选项不符合题意； B．一个锐角和斜边对应相等， 根据AAS可证明两个直角三角形全等， 故B选项不符合题意； C．两直角边对应相等， 根据SAS可证明两个直角三角形全等， 故C选项不符合题意； 一条直角边和斜边对应相等， 根据HL可证明两个直角三角形全等， 故D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形特有的判定三角形全等的方法（HL）是解题的关键． 5．（4分）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 【分析】根据三角板的性质得出∠ACB＝60°，∠BAC＝45°，再利用外角的性质计算即可． 【解答】解：由题意可得： ∠ACB＝60°，∠BAC＝45°， ∴∠CBE＝∠ACB+∠BAC＝60°+45°＝105°， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 6．（4分）如图，CD⊥AB，交AB于点D，BC⊥AC，若AC＝3，BC＝4，则DC的长是（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【分析】先求出AB＝5，再利用三角形的面积公式可求出CD的长． 【解答】解：∵BC⊥AC， ∴在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB＝＝5， ∵CD⊥AB， ∴根据三角形的面积得：S△ABC＝AB•CD＝AC•BC， ∴CD＝＝＝2.4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 7．（4分）如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连接BE、CE，若△ABC的面积为20，则△BCE的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．18 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算，得到答案． 【解答】解：∵D是BC中点， ∴△ABD的面积＝△ACD的面积＝×△ABC的面积＝10， ∵E是AD中点， ∴△EBD的面积＝△ABD的面积＝5，△ECD的面积＝△ACD的面积＝5， ∴△BCE的面积＝△EBD的面积+△ECD的面积＝10， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 8．（4分）如图，在等边△ABC中，BD＝CE，则∠APE等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠BAD与∠CBE的关系，根据三角形的外交的性质，可得∠APE＝∠ABP+∠BAP，根据等量代换，可得答案． 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC． 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE． ∵∠APE是△ABP的外角， ∴∠APE＝∠ABP+∠BAP， ∴∠APE＝∠ABP+∠PBD＝∠ABC＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． 9．（4分）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【分析】根据三角形的外角的概念和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理计算即可． 【解答】解：∵∠A＝80°，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴∠ACB+∠ABC＝100°， ∴∠ECB+∠DBC＝260°， ∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠DCB，∠OCB＝∠ECB， ∴∠OBC+∠OCB＝×260°＝130°， ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣130°＝50°， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角性质、角平分线的定义，熟记三角形内角和定理是解题的关键． 10．（4分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论①∠ADC＝∠AEB；②CD∥AB；③DE＝GE；④CD＝BE中，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，CD＝BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，进而可证明CD∥AB，即可判断B选项正确，进而可求解． 【解答】解：①∵∠CAB＝∠DAE＝36°， ∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB， 在△DAC和△EAB中， ， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴∠ADC＝∠AEB，故①选项符合题意； CD＝BE，故④选项符合题意； ②∵AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC， ∵∠CAB＝∠DAE＝36°， ∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝36°， ∴∠ACD＝∠ABE＝36， ∵∠DCA＝∠CAB＝36°， ∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行）， 故②选项符合题意； 根据已知条件无法证明DE＝GE，故③选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明△DAC≌△EAB是解题的关键． 二、填空题。（每小愿4分，共8×4＝32分） 11．（4分）一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是　三角形的稳定性　． 【分析】将其固定，显然是运用了三角形的稳定性． 【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 【点评】此题考查了三角形的稳定性，注意能够运用数学知识解释生活中的现象，考查三角形的稳定性． 12．（4分）如图，已知A、B、C、D四点在同一直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，请你填一个直接条件，　AF＝DE（答案不唯一）　，使△AFC≌△DEB． 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可． 【解答】解：添加的条件是AF＝DE， 理由是：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝DB， 在△AFC和△DEB中， ， ∴△AFC≌△DEB（SAS）， 故答案为：AF＝DE（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 13．（4分）过十五边形的一个顶点可以作 　12　条对角线，它们将这个多边形分成 　13　个三角形． 【分析】根据多边形的对角线的定义解决此题． 【解答】解：过十五边形的一个顶点可以作12条对角线，它们将这个多边形分成13个三角形． 故答案为：12；13． 【点评】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握对角线的定义是解决本题的关键． 14．（4分）如图，作CE⊥AF于点E，CE与BF相交于点D，若∠F＝45°，∠C＝30°，则∠DBC＝　105　°． 【分析】根据CE⊥AF，可得∠FED＝90°，根据三角形内角和为180度可求出∠FDE，即有∠BDC＝∠FDE＝45°，即可得∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝105°． 【解答】解：∵CE⊥AF， ∴∠FED＝90°， ∵∠F＝45°， ∴∠FDE＝180°﹣∠F﹣∠FED＝45°， ∴∠BDC＝∠FDE＝45°， ∵∠C＝30°， ∴∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝105°， 故答案为：105． 【点评】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知三角形的内角和定理． 15．（4分）如图，小明从A点出发，向前走30m后向右转36°，继续向前走30m，再向右转36°，他回到A点时共走了 　300　米． 【分析】根据多边形的外角和等于360°求出所走过的边数，然后根据多边形的周长列式计算即可得解． 【解答】解：360°÷36°＝10， 所以，他走回到A点时共走了：30×10＝300（米）． 故答案为：300． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，读懂题目信息，求出所走过的边数是解题的关键． 16．（4分）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝6，AC＝10，AE的长为m，则m的取值范围是 　2＜m＜8　． 【分析】延长AE到点F，使FE＝AE，连接BF，可证明△BFE≌△CAE，得FB＝AC＝10，因为FB﹣AB＜AF＜FB+AB，且AF＝2AE，AE＝m，AB＝6，所以10﹣6＜2m＜10+6，则2＜m＜8，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长AE到点F，使FE＝AE，连接BF， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△BFE和△CAE中， ， ∴△BFE≌△CAE（SAS）， ∴FB＝AC， ∵FB﹣AB＜AF＜FB+AB，且AF＝2AE，AE＝m，AB＝6，FB＝AC＝10， ∴10﹣6＜2m＜10+6， ∴解得2＜m＜8， 故答案为：2＜m＜8． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝76°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得到△A′BD，此时A′D∥BC，则∠ABC的度数为 　78°　． 【分析】先由平行线的性质得到∠CBA′与∠A′的关系，再由折叠得到∠A与∠A′、ABD与∠A′BD的关系，最后利用三角形的内角和定理求出∠ABC． 【解答】解：∵A'D∥BC ∴∠CBA′＝∠A′． ∵△ABD沿BD翻折得△A'BD， ∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD． ∵∠A＝∠ABD， ∴∠CBA′＝∠A′BD＝∠ABD＝∠A． ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∠C＝76°， ∴∠A+3∠A＝104°． ∴∠A＝26°． ∴∠ABC＝78°． 故答案为：78°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行内错角相等”及“三角形的内角和是180°”等知识点是解决本题的关键． 18．（4分）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD，CE相交所成的角中有一个角是60°，则∠BAC的度数为 　60°或120°　． 【分析】分两种情况：当∠A为锐角时，当∠A为钝角时，根据四边形的内角和为360°进行计算得出结果． 【解答】解：分两种情况： ①当∠A为锐角时，如图1， ∵∠DOC＝60°， ∴∠EOD＝120°， ∵BD、CE是△ABC的高， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°； ②当∠A为钝角时，如图2， ∵∠F＝60°， 同理：∠ADF＝∠AEF＝90°， ∴∠DAE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， ∴∠BAC＝∠DAE＝120°， 则∠BAC的度数为60°或120°， 故答案为：60°或120°． 【点评】本题考查了三角形的高和四边形的内角和，明确四边形的内角和为360°，三角形的高所构成了两个直角；本题要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行计算． 三、解答题。（共78分） 19．（8分）（1）求12边形内角和度数； （2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n． 【分析】（1）根据内角和公式，可得答案 （2）根据多边形内角和公式（n﹣2）•180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n﹣2）•180°﹣360°＝720°，再解方程即可． 【解答】解：（1）由题意，得 （12﹣2）×180°＝1800°； （2）由题意得： （n﹣2）•180°﹣360°＝720°， 解得：n＝8． 【点评】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理． 20．（10分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°． （1）求∠BAD的度数； （2）求∠ADE的度数． 【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠BAD的度数； （2）由（1）可得出∠CAD的度数，由DE⊥AC，可得出∠AED＝90°，再利用三角形内角和定理，即可求出∠ADE的度数． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝58°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣42°﹣58°＝80°， 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°； （2）由（1）得：∠CAD＝40°， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣40°＝50°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂线，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 21．（10分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知直线AB、CD是两条公路，村庄M在公路AB上，村庄N在公路CD上，两个村庄之间有公路MN连接，请用无刻度的直尺和圆规作图． （1）在公路CD上、村庄N的左侧作一个乘车点P，使得MN＝PN，保留作图痕迹，并标记点P； （2）在公路AB上、村庄M的右侧作一个乘车点Q，使得∠BMN＝∠QND，保留作图痕迹，并标记点Q． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）作∠DNQ＝∠BMN，NQ交AB于点Q，点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图，点P即为所求； （2）如图，点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，DB为ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长． 【分析】根据中线的定义得到AD＝CD，设AD＝CD＝x，则AB＝2x，分类讨论：当x+2x＝12，BC+x＝15；当x+2x＝15，BC+x＝12，然后分别求出x和BC，即可得到三角形三边的长． 【解答】解：∵DB为△ABC的中线 ∴AD＝CD， 设AD＝CD＝x，则AB＝2x， 当x+2x＝12，解得x＝4， BC+x＝15，解得BC＝11， 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11； 当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7， 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 23．（10分）如图，AB⊥AC，AD⊥AE，AD＝AE，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACE． 【分析】根据SAS证明三角形全等即可． 【解答】证明：∵AD⊥AE，AB⊥AC， ∴∠CAB＝∠DAE＝90°． ∴∠CAB+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24．（10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF．求证：AE＝AF． 【分析】根据HL可证Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的性质可得DE＝DF，再根据角平分线的判定即可证明． 【解答】证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵BE＝CF， ∴AE＝AF． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，解题关键是证明Rt△BED≌Rt△CFD． 25．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，求证：DE＝CD+BE； （2）当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明． 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，根据余角的性质得到∠DAC＝∠EBA，根据全等三角形的性质得到AD＝BE，DC＝AE，根据线段的和差即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，根据余角的性质得到∠DAC＝∠EBA，根据全等三角形的性质得到AD＝BE，DC＝AE，根据线段的和差即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠DAC＝∠EBA， 在△ADC和△BEA中， ， ∴△ADC≌△BEA（AAS）， ∴AD＝BE，DC＝AE， ∴DE＝AD+AE＝CD+BE； （3）解：DE＝CD﹣BE， 理由：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠DAC＝∠EBA， 在△ADC和△BEA中， ， ∴△ADC≌△BEA（AAS）， ∴AD＝BE，DC＝AE， ∴DE＝AE﹣AD＝CD﹣BE． 【点评】本题考查了三角形综合题，全等三角形的判定与性质，平角的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 26．（10分）【概念认识】 如图①，在△ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数； （2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数； 【延伸推广】 （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示） 【分析】（1）根据题意可得当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°； （2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，即可求∠A的度数； （3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC＝∠A＝m°；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC＝∠A＝m°；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+18°；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m°﹣18°，进而解答． 【解答】解：（1）如图， 当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°； 当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°； （2）在△BPC中， ∵∠BPC＝140°， ∴∠PBC+∠PCB＝40°， 又∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180° ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°； （3）分4种情况进行画图计算： 情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时， ∴∠BPC＝∠A＝m°； 情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时， ∴∠BPC＝∠A＝m°； 情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时， ∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+18°； 情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时， ∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m°﹣18°； 综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°或m°+18°或m°﹣18°． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，列代数式，利用分类讨论思想是解决本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/19 9:24:16；用户：王立研；邮箱：orFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@weixin.jyeoo.com；学号：25840186 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$