精品解析：江西省赣州市石城县2023--2024学年九年级下学期3月研学选拔考试数学试题

九年级数学研学选拔试卷 2024.03.19 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先利用乘法分配律进行二次根式的运算，再进行无理数的估算即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 2. 将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解． 【详解】解：混合之后糖的含量：， 故选：D． 【点睛】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键． 3. 如图，直线，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点作于E，过点D作于F，，，证明得到，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于E，过点D作于F， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4. 若整数a使关于x的不等式组至少有6个整数解，且使关于x的方程有非负整数解，那么所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式组求出a的范围，由分式方程求得a的范围，从而可确定a的可能值，进而求得所有整数a的值之和． 【详解】解第一个不等式可得：；解第二个不等式可得： ∵不等式组至少有6个整数解 ∴不等式组的解集为： ∴ ∴ 解得：x=a+4 由题意得：a+4≥0，且a+4≠2 即且 ∴a的范围为：且 上述满足条件的整数a的值为：-4，-3，-1，0，1，2，3，4共8个数，其和为2 故选：B． 【点睛】本题是方程与不等式的综合，考查了解不等式组及分式方程，关键是分别解不等式组与分式方程求得a的范围，注意a的取值保证分式方程有解，这是很容易忽略的． 5. 请阅读下列内容:我们在平面直角坐标系中画出抛物线和双曲线，利用两图象的交点个数和位置来确定方程有一个正实数根，这种利用函数图象判断方程根的情况的方法叫做图象法．请用图象法判断方程的根的情况（ ） A. 一个正实数根 B. 两个正实数根 C. 三个正实数根 D. 一个正实数根，两个负实数根 【答案】A 【解析】 【分析】画出y=和y=的图象，根据图象观察的根的情况． 【详解】如图可知，=有一个正实根． 故选A． 【点睛】本题考查的是运用函数图象法求方程的解的知识，掌握函数图象的交点与方程的解的关系是解题的关键． 6. 三角形的四心是指三角形的重心，外心，内心，垂心．三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点．三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系．当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一，称作正三角形的中心．如图，H是的垂心，，，分别交，，于D，E，F，则H是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了四点共圆，垂心的定义，角平分线的定义，掌握判断四点共圆的方法是解本题的关键． 先判断出点A， F， D， C四点共圆，得出，再判断出点H， D， C， E四点共圆，得出，进而得出答案． 【详解】解：∵H是的垂心， ∴， ， ∴， ∴点A，F，D，C四点共圆， ∴， ∵H是的垂心， ∴，， ∴， ∴， ∴点H，D，C，E四点共圆， ∴， ∴，即平分， 同理： 平分，平分， ∴点H是的内心． 故选：A． 7. 如图，菱形中，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等积法等知识点，熟练掌握菱形的性质和勾股定理的应用是解题的关键． 由四边形是菱形，可得，由勾股定理得．由等积法可得，再由勾股定理得，再求出，进而求得，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，即，即， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：. 故选：D． 8. 抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得点，抛物线的对称轴，画出函数图象，结合图象的单调性和，分两种情况：①当时，②当时，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折， ，直线为，抛物线的对称轴为直线，轴右侧的部分的抛物线为， ， 点在点左侧， 如图，当时，函数单调递增， ， ①当时， ， ， 解得， 又， ； ②当时，， ， 解得， 又， ， 综上，的取值范围为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键． 二、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理将转换到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各边长，即可求得的值． 【详解】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D， 连接AD、BD，根据圆周角定理可得， 每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均 在网格交点上， ， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键． 10. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知，，在中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵地毯平均分成了3份， ∴每一份的边长为， ∴， 在中，根据勾股定理可得， 根据裁剪可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键． 11. 如图，正方形的边长为6，四条弧分别以相应顶点为圆心、正方形边长为半径，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】##-9π+36 【解析】 【分析】通过割补后，则正方形的面积与扇形面积的差即为阴影部分的面积． 【详解】如图，割补后的阴影部分面积即为正方形面积与扇形DCB面积的差 正方形面积为：6×6=36，扇形DCB的面积为 则阴影部分面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，扇形面积及正方形面积，通过割补方法转化为规则图形面积计算． 12. 若多项式含有因式和，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意构建关于m，n的方程组，求解后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， 整理， 解得， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了运用因式分解和方程组进行整式求值的问题，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地变形、计算． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用分母有理化求出，整理得到，将即可求解． 【详解】解：， ， ， 整理得， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14. 方程的正整数解有______组． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求分式方程的正整数解，把原方程化为求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 即，即． 结合x，y为正整数可得或或， 解得或或，共3组． 故答案为：3． 三、解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 15. 如图，的外心为O，垂心为H，D为的中点．求证：． 【答案】 证明：过点B作圆O的直径，连接． 因为H为的垂心， 所以， 因为为圆O的直径， 所以， 所以， 同理， 所以四边形是平行四边形， 所以． 又因为D为的中点，O为的中点， 所以． 所以． 【解析】 【分析】过点B作圆O的直径，连接根据垂心的定义以及圆周角定理可得，，从而得到四边形是平行四边形，进而得到，再根据三角形中位线定理可得，即可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了垂心的定义以及圆周角定理，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握圆周角定理，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理． 16. 如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：①当时， ________；②当时，________； （2）拓展研究：试判断，当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决：当旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①2；②2 （2） 当时，的大小无变化， 证明：如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即：，而， ， ， 故：当时，的大小无变化； （3）10或6 【解析】 【分析】（1）①当时，证明，得到，②当时，如图所示：同理①可得； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故：，，的大小无变化； （3）当旋转右侧，，由，得：；当在左侧，此时，，是的中位线，，由勾股定理的即可求解． 【小问1详解】 解：①当时， ， ， ， 即， ，即； ②当时，如图所示： 则三点共线， ， ， ， ， 即， ，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当旋转到如图位置，，三点共线时右侧）， 由题意得：， 由，得：， 由勾股定理得：， ， 当旋转到如图位置，，三点共线时左侧）， 此时，，是的中位线， ， 由勾股定理得：， ， 故线段的长为10或6． 【点睛】本题考查的主要内容是图形的旋转，三角形的相似、中位线等，勾股定理等知识的综合，通过画图是弄清楚旋转后图形的位置关系是解题的关键． 17. 阅读理解：若a，b，c为互不相等的实数，且，， 求证：． 证明：∵ 又∵，则， ∴ ∴  ． 根据上面的证明完成下列各题： （1）若x，y，z是互不相等的实数，则____________； （2）若，则___________； （3）化简：__________； _____________； （4），求S的整数部分的值． 【答案】（1） （2） （3）， （4）2017 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化，分式的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解题意是解此题的关键． （1）由题意得出，结合计算即可得解； （2）由题意得出且，结合计算即可得解； （3）根据，，结合题意计算即可得解； （4）由上述材料得，，由此计算即可得解． 【小问1详解】 解：因为、、两两不等， 所以， 又 ∴原式； 【小问2详解】 解：因为且；； ∴原式； 【小问3详解】 解：因为，， ∴原式，， 【小问4详解】 解：由上述材料得，， ∴ ， ∴S的整数部分的值是2023． 18. 如图1，平面直角坐标系中，二次函数的图像交x轴于点，点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时； ①取的中点，求点运动轨迹的函数的解析式； ②在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为（n为正整数）；则函数的解析式为              （用含n的式子表示）． ③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2）；； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，则，即可得解； （2）①根据中点坐标公式计算即可得出答案；②根据中点坐标公式计算即可得出答案；③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，临界点为直线线与，有一个交点，联立方程解之即可． 【小问1详解】 解：把点，点代入抛物线， ∴， 解得， ∴抛物线， 令，则，； 【小问2详解】 解：①∵点在抛物线上，设点的横坐标为， ∴， ∴的中点的坐标为， 设，则， ； 同理可得，的坐标为， ∴； 的坐标为， ∴； ……， ∴的坐标为， ； 若直线与函数有两个交点，与函数有两个交点时，共有4个交点， 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得； ……， 联立，整理得，， 当直线与函数有一个交点时，，解得； ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，中点坐标公式，抛物线与直线的交点等相关问题，关键是掌握重点坐标公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学研学选拔试卷 2024.03.19 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 2. 将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ） A. 20 B. C. D. 3. 如图，直线，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ） A. 4 B. 5 C. D. 4. 若整数a使关于x的不等式组至少有6个整数解，且使关于x的方程有非负整数解，那么所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 5. 请阅读下列内容:我们在平面直角坐标系中画出抛物线和双曲线，利用两图象的交点个数和位置来确定方程有一个正实数根，这种利用函数图象判断方程根的情况的方法叫做图象法．请用图象法判断方程的根的情况（ ） A. 一个正实数根 B. 两个正实数根 C. 三个正实数根 D. 一个正实数根，两个负实数根 6. 三角形的四心是指三角形的重心，外心，内心，垂心．三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点．三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系．当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一，称作正三角形的中心．如图，H是的垂心，，，分别交，，于D，E，F，则H是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 7. 如图，菱形中，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 10. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______． 11. 如图，正方形的边长为6，四条弧分别以相应顶点为圆心、正方形边长为半径，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 12. 若多项式含有因式和，则________． 13. 若，则______． 14. 方程的正整数解有______组． 三、解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 15. 如图，的外心为O，垂心为H，D为的中点．求证：． 16. 如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：①当时， ________；②当时，________； （2）拓展研究：试判断，当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决：当旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段的长． 17. 阅读理解：若a，b，c为互不相等的实数，且，， 求证：． 证明：∵ 又∵，则， ∴ ∴  ． 根据上面的证明完成下列各题： （1）若x，y，z是互不相等的实数，则____________； （2）若，则___________； （3）化简：__________； _____________； （4），求S的整数部分的值． 18. 如图1，平面直角坐标系中，二次函数的图像交x轴于点，点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时； ①取的中点，求点运动轨迹的函数的解析式； ②在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为（n为正整数）；则函数的解析式为              （用含n的式子表示）． ③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $