专题01 空间向量及其运算（考题猜想，易错必刷5大题型）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

专题01 空间向量及其运算（考题猜想，易错必刷5大题型） 【题型一：空间向量共线及共线向量定理的推论】 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 3．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【题型二：空间向量共面】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两非零向量，，且与不共线，设（、，且、），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与，共面 D．以上三种情况均有可能 2．（24-25高二下·全国·单元测试）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 4．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，，不共面，，则（    ） A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面 C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面 【题型三：空间向量基本定理】 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海闵行·期末）如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【题型四：空间向量的数量积、垂直、模长、夹角、投影向量的应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知正方体的棱长为1，且，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 3．（24-25高二下·全国·课后作业）在标准正交基下，已知向量，，则向量在上的投影为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）设，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 5．（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·全国·课后作业）在空间四边形中，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 8．（2024·全国·模拟预测）设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型五：空间直角坐标系】 一、多选题 1．（23-24高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在长方体中，，，，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，以下结论正确的是（   ）    A．点的坐标为 B．点关于点B对称的点为 C．点A关于直线对称的点为 D．点C关于平面对称的点为. 二、单选题 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，是空间直角坐标系中与x，y，z轴的正方向相同的单位向量，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D．不确定 3．（24-25高二下·全国·课后作业）设是标准正交基，已知向量在基下的坐标为，其中，，，则向量在基下的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知向量，向量，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）光源经过平面反射后经过，则反射点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知在三棱锥中，平面ABC，，且，如图建立空间直角坐标系，设G为的重心，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及其运算（考题猜想，易错必刷5大题型） 【题型一：空间向量共线及共线向量定理的推论】 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 【答案】A 【分析】利用空间向量共线定理求解即可. 【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得 又，，， 所以 则 则解得： 故选：A. 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 3．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【题型二：空间向量共面】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两非零向量，，且与不共线，设（、，且、），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与，共面 D．以上三种情况均有可能 【答案】C 【分析】先假设与共线即，从而得，进而推出矛盾，与同理，从而可判断选项ABD，再由向量共面的充要条件结合已知条件、和即可判断C. 【详解】假设与共线，则， 所以即，又、， 所以与共线，这和与不共线相矛盾，故假设不成立， 则A不正确，同理B不正确，则D不正确； 因为、，，所以与，共面，故C正确. 故选：C. 2．（24-25高二下·全国·单元测试）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由三点共面得到系数之和为，从而解出的值. 【详解】因为，动点在所在平面内运动，所以，解得． 故选：B． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 4．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 5．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，，不共面，，则（    ） A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面 C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面 【答案】A 【分析】根据共面的推论即可求解. 【详解】，，，A，B，C，M四点共面. 故选:A. 【题型三：空间向量基本定理】 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断. 【详解】对于A，设，即，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算，用基底表示向量. 【详解】连接AE，如图所示， ∵E是CD的中点，，，∴＝＝． 在△ABE中，，又， ∴. 故选：A. 3．（23-24高二下·上海闵行·期末）如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】因为为与的交点， 则 故选：C. 4．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 5．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】根据题意，. 故选：A 6．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加、减、数乘运算，将所求向量用表示即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 因此. 故选：A. 【题型四：空间向量的数量积、垂直、模长、夹角、投影向量的应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案. 【详解】因为，所以， 解得， 故选：C. 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知正方体的棱长为1，且，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可. 【详解】根据题意知，则， 所以. 故选：B 3．（24-25高二下·全国·课后作业）在标准正交基下，已知向量，，则向量在上的投影为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算及向量的投影公式即可求解. 【详解】因为，， 所以． 故向量在上的投影为. 故选：C. 4．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）设，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量的共线与垂直条件求解的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得. 【详解】， 由，则有，解得，则. 由，则有，解得，， 所以，故， 则. 故选：D. 5．（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出. 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B 6．（23-24高二下·全国·课后作业）在空间四边形中，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用题设条件求得的值，进而求得的值. 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴. 故选：D. 7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【详解】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 故选：A. 8．（2024·全国·模拟预测）设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，不妨假设A在平面中，设，，，和分别是点，在平面上的投影，利用向量不等式可得：，即可求解 【详解】将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点和点的连线是一条体对角线． 设，，， 和分别是点，在平面上的投影． 可得，，， 则 ， 因为， 当且仅当点C为的中点时，等号成立， 可得， 所以，当，，且时等号成立． 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题形式简洁，但动点很多，且几乎没有约束条件，这时就需要学生对于动点所在的位置进行分类讨论，讨论的顺序、对于对称性的使用都对学生提出了很高的要求．从几何角度来看，点，不会位于A所在面的一侧，故如果采用坐标形式计算数量积，一定会有一项是非负的，且可以取到0．找到这一突破口后，即可将问题转化为平面向量的问题，也就很容易得到结果了． 【题型五：空间直角坐标系】 一、多选题 1．（23-24高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在长方体中，，，，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，以下结论正确的是（   ）    A．点的坐标为 B．点关于点B对称的点为 C．点A关于直线对称的点为 D．点C关于平面对称的点为. 【答案】ACD 【分析】根据空间直角坐标系直接写出点、、A、C的坐标；然后根据对称即可求解判断B、C、D. 【详解】因为在长方体中，，，， 所以点的坐标为，故A正确. 设点关于点B对称的点为 则 解得： 则点关于点B对称的点为,故B错误. 由立体几何的特征知：点A关于直线对称的点为故C正确. 由立体几何的特征知：点C关于平面对称的点为，故D正确. 故选：ACD. 二、单选题 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，是空间直角坐标系中与x，y，z轴的正方向相同的单位向量，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】D 【分析】利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则 ， 又， 所以，而的值不确定， 所以的值也不确定，即点B的坐标不确定. 故选：D. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）设是标准正交基，已知向量在基下的坐标为，其中，，，则向量在基下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可得出坐标. 【详解】因为向量在基下的坐标为，所以， 又，，， 所以． 所以向量在基下的坐标是． 故选：A. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知向量，向量，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，利用中点坐标公式列出方程组，求解即可. 【详解】根据题意画出图形，如图： 因为向量，向量， 且平行四边形OACB对角线的中点坐标为， 所以，， 所以，解得， 所以. 故选：A 5．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）光源经过平面反射后经过，则反射点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点关于平面的对称点为，得到点为与平面的交点，令，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于平面的对称点为，可得， 则点为与平面的交点， 令，则，且， 又由， 所以，解得，所以. 故选：D. 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知在三棱锥中，平面ABC，，且，如图建立空间直角坐标系，设G为的重心，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算及向量的坐标表示即可求解. 【详解】取BC的中点M，连接PM．如图所示    记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为，，， 则，，． 所以 ． 所以的坐标为． 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$