第二章 平面解析几何之直线及其方程（考点串讲）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

选择性必修第一册 人教B版(2019) 数学 期中考点大串讲 串讲02 直线及其方程 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理，也可用思维导图 六大题型典例剖析+技巧点拨（有则加无则免）+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 可以精选3~5道期末真题对应考点练 01 考点透视 x轴 正向 向上的方向 平行或重合 垂直 0°≤α<180° 考点1.　直线的倾斜角 正切值 k k＝tanα 考点2.直线的斜率与倾斜角的关系 考点3.斜率的求法 k1＝k2 l1∥l2 考点4.两条直线平行的判定 k1k2＝－1 垂直 考点5.两条直线垂直的判定 倾斜角 y－y0＝k(x－x0) y＝y0 x＝x0 考点6.直角坐标系中确定一条直线的几何要素,点斜式方程 纵坐标b y＝kx＋b 直线的斜率 直线在y轴上的截距 考点1直线的斜截式方程 考点7.直线的两点式方程 横坐标a b 考点8.直线的截距式方程 Ax＋By＋C＝0 任意一条 考点9.直线的一般式方程 　在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 考点10.二元一次方程与直线的关系 二元一次方程Ax＋By＋C＝0的系数和常数项对直线位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行． (2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直． (3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线与x轴重合． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线与y轴重合． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点． 02 典例透析 考点1.直线的倾斜角与斜率的概念 【例题1】已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． [答案]　60°或120°　 考点2. 直线的倾斜角与斜率的计算 考点3.直线斜率公式的应用 【例题3】已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． 考点4.两条直线平行的判定与应用 【例题4】已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标． 考点5. 两条直线垂直的判定及应用 【例题5】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)．若l1⊥l2，求a的值． 考点6.平行与垂直的综合应用 【例题6】已知四边形ABCD的四个顶点为A(0，0)，B(3，－2)，C(5，1)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状． 考点6.平行与垂直的综合应用 考点7.求直线的点斜式方程 【例题7】写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(－1，4)且倾斜角为135°的直线； (2)过点P(3，－4)且与x轴平行的直线； (3)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得到的直线； (4)过点P(1，2)且与直线y＝2x＋1平行的直线． 考点2. 考点8. 　求直线的斜截式方程 考点8. 　求直线的斜截式方程 考点9.平行与垂直问题 【例题9】已知直线l过点A(2，－3)． ①若l与过点(－4，4)和(－3，2)的直线l′平行，求其方程； ②若l与过点(－4，4)和(－3，2)的直线l′垂直，求其方程． 考点9.平行与垂直问题 考点10.直线的两点式方程 【例题10】已知三角形的顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程． 考点10.直线的两点式方程 考点11.直线的截距式方程 解 【例题11】已知直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点为P(4，1)，求直线l的方程． 考点12.　直线方程的综合应用 解 【例题12】(2023·山东济宁兖州区高二期中)已知直线方程为y＋2＝k(x＋1)． (1)若直线的倾斜角为135°，求k的值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程． 考点12.　直线方程的综合应用 解 考点13.　直线方程的综合应用 【例题13】已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)． (1)求AB中垂线的一般式方程； (2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的一般式方程． 考点14.直线的一般式方程与其他形式的互化 【例题14】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 考点14.直线的一般式方程与其他形式的互化 考点15.一般式下直线的平行与垂直问题 【例题15】已知直线l1：x＋my＋6＝0和直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值时，直线l1与l2： (1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直． 考点15.一般式下直线的平行与垂直问题 03 考场练兵 题型剖析 题型剖析 3．若m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必(　　) A．在同一条直线上 B．是直角三角形的顶点 C．是等腰三角形的顶点 D．是等边三角形的顶点 3．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．30° D．60° 1．(2023·广东部分学校高二质量检测)经过点(4，1)，且斜率为3的直线的点斜式方程为(　　) A．y－1＝3(x－4) B．y－1＝3(x＋4) C．y＋1＝3(x＋4) D．y－1＝－3(x－4) 解析　经过点(4，1)，且斜率为3的直线的点斜式方程为y－1＝3(x－4)． 一、选择题 1．经过(5，0)，(2，－5)两点的直线的方程为(　　) A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0 C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝0 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解析　由直线的一般式方程可知，要使方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为0.故选D. 解析　易知A，B均正确；C中，点斜式与斜截式方程只适用斜率存在的直线，所以C错误；D中，若两条直线平行，则a＝2－a，解得a＝1，所以D正确．故选ABD. 1．过点P(－1，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的一般式方程为(　　) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0 2．已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则(　　) A．若c>0，则a>0，b>0 B．若c>0，则a<0，b>0 C．若c<0，则a>0，b<0 D．若c<0，则a>0，b>0 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合 B．若两条直线的斜率之积为－1，则这两条直线垂直 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直 D．若两条直线的斜率都不存在且这两条直线不重合，则这两条直线平行 解析　若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以A正确；易知B正确；当两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线才垂直，所以C不正确；当两条直线都垂直于x轴且不重合时，两直线平行，但斜率不存在，所以D正确．故选ABD. 9．(2023·湖南名校高二期中)一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，经过点B(－1，6)，则入射光线所在直线的方程为________，反射光线所在直线的方程为____________． 答案　 y＝2x－4　y＝－2x＋4 三、解答题 10．已知▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)． (1)求点D的坐标；(2)试判定▱ABCD是否为菱形． 6．(多选)已知过点A(－5，m－2)和B(－2m－5，3)的直线与直线x＋my－1＝0平行，则m的值可能为(　　) A．3 B．－3 C．0 D．－2 已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，则m，n满足什么条件时，分别有 (1)l1∥l2? (2)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1? 1．倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们以eq \x(\s\up1(01))_______为基准，x轴eq \x(\s\up1(02))_______与直线leq \x(\s\up1(03))____________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (1)当直线l与x轴eq \x(\s\up1(04))______________时，它的倾斜角为0°； (2)当直线l与x轴eq \x(\s\up1(05))_______时，它的倾斜角为90°. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围为eq \x(\s\up1(06))_____________． 1．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的eq \x(\s\up1(01))________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母eq \x(\s\up1(02))________表示，即eq \x(\s\up1(03))____________．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率． (1)定义法：已知倾斜角α(α≠90°)，k＝tanα. (2)两点法：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则斜率 k＝eq \x(\s\up1(01))_____________． eq \f(y2－y1,x2－x1) 设两条不重合的直线l1，l2的斜率存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔eq \x(\s\up1(01))___________ eq \x(\s\up1(02))___________⇔两条直线的斜率都不存在 图示 对应 关系 若l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔eq \x(\s\up1(01))__________ 若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是eq \x(\s\up1(02))_______ 图示 知识点一　 在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或eq \x(\s\up1(01))________)，就能唯一确定一条直线． 知识点二　直线的点斜式方程 (1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为eq \x(\s\up1(01))________________，称为直线的点斜式方程，简称点斜式． (2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为eq \x(\s\up1(02))________，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为eq \x(\s\up1(03))________． 知识点　 (1)我们把直线l与y轴的交点(0，b)的eq \x(\s\up1(01))_________叫做直线l在y轴上的截距． (2)斜率为k，且与y轴交于点(0，b)的直线方程为eq \x(\s\up1(02))_________，称为直线的斜截式方程，简称斜截式． (3)直线方程y＝kx＋b中k的几何意义是eq \x(\s\up1(03))______________，b的几何意义是eq \x(\s\up1(04))______________________． 知识点 　(1)如图，经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2， y1≠y2)的直线方程为eq \x(\s\up1(01))_________________，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意：直线的两点式方程的使用范围是直线的斜率存在且不为0. (2)如果x1＝x2或y1＝y2，则直线P1P2没有两点式方程，当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1. eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) 知识点　 如图，直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为eq \f(y－0,b－0)＝eq \f(x－a,0－a)，即eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.我们把方 程eq \x(\s\up1(01))_____________叫做直线的截距式方程，简称截距式．把直线l与x轴的交点(a，0)的eq \x(\s\up1(02))_____________叫做直线l在x轴上的截距，此时直线l在y轴上的截距是eq \x(\s\up1(03))_____． 注意：直线的截距式方程的使用范围是直线的斜率存在且不为0，不过原点． eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 知识点　 (1)定义：关于x，y的二元一次方程eq \x(\s\up1(01))________________ (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中的eq \x(\s\up1(02))____________直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：当B≠0时，则eq \x(\s\up1(03))_________＝k(斜率)，eq \x(\s\up1(04))__________＝b(y轴上的截距)； 当B＝0，A≠0时，则eq \x(\s\up1(05))____________＝a(x轴上的截距)，此时斜率不存在． －eq \f(A,B) －eq \f(C,B) －eq \f(C,A) [解析]　 有两种情况： ①如图a，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图b，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 解析　　设直线l的倾斜角为θ，则由题意可得tanθ＝－eq \r(3)，∴θ＝120°.故直线l的倾斜角为120°. 【例题2】(2023·华中师大附中高二期中检测)已知直线l的一个方向向量的坐标为(－1，eq \r(3))，则直线l的倾斜角为________． 答案　120° 解　∵α＝45°， ∴直线l的斜率k＝tan45°＝1， ∵P1，P2，P3都在直线l上， ∴＝k， ∴eq \f(5－y1,x2－2)＝eq \f(1－5,3－x2)＝1， 解得x2＝7，y1＝0. 解　设顶点D的坐标为(m，n)， 由题意可得AB∥DC，AD∥BC， 则有kAB＝kDC，kAD＝kBC， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0－1,1－0)＝\f(3－n,4－m)，,\f(n－1,m－0)＝\f(3－0,4－1)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝4.)) 所以顶点D的坐标为(3，4)． [解]　设直线l2的斜率为k2， 则k2＝eq \f(2－(a＋2),1－(－2))＝－eq \f(a,3). 当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－eq \f(4,3)，不符合题意； 当a≠4时，l1的斜率存在，此时k1＝eq \f(2－a,a－4). 由k1k2＝－1，得－eq \f(a,3)·eq \f(2－a,a－4)＝－1，解得a＝3或a＝－4. ∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2. 解　如图，∵kAB＝eq \f(－2－0,3－0)＝－eq \f(2,3)，kAD＝eq \f(3－0,2－0)＝eq \f(3,2)，kCD＝eq \f(3－1,2－5)＝－eq \f(2,3)，kBC＝eq \f(1－(－2),5－3)＝eq \f(3,2). ∴kAB＝kCD，kBC＝kAD. ∴AB∥CD，BC∥AD. 又kADkAB＝eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－1， ∴AD⊥AB. ∴四边形ABCD为矩形． ∵A(0，0)，B(3，－2)，D(2，3)， 由勾股定理得|AB|＝eq \r(32＋(－2)2)＝eq \r(13)， |AD|＝eq \r(22＋32)＝eq \r(13)， ∴|AB|＝|AD|，∴矩形ABCD为正方形． 因此四边形ABCD为正方形． [解]　(1)由题意知，直线的斜率k＝tan135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]，即y－4＝－(x＋1)． (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线的点斜式方程可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＝－4. (3)直线y＝x＋1的斜率k＝1.由题意知，所求直线与直线y＝x＋1垂直，所以所求直线的斜率k′＝－1，又点P(3，4)在所求直线上，由点斜式方程知，所求直线的方程为y－4＝－(x－3)． (4)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1，2)，所以所求直线的方程为y－2＝2(x－1)． 【例题8】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为eq \f(2π,3)，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [解]　 (1)由直线的斜截式方程可知，所求直线的方程为y＝2x＋5. (2)由于倾斜角α＝150°，则斜率k＝tan150°＝－eq \f(\r(3),3)，由斜截式可得所求直线的方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2. (3)由于直线的倾斜角为eq \f(2π,3)，则其斜率k＝taneq \f(2π,3)＝－eq \r(3).由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的方程为y＝－eq \r(3)x＋3或y＝－eq \r(3)x－3. 解　①由斜率公式得直线l′的斜率 k′＝eq \f(2－4,－3－(－4))＝－2， ∵l与l′平行，∴直线l的斜率k＝－2. 由直线的点斜式方程知y＋3＝－2(x－2)， ∴直线l的方程为y＝－2x＋1. ②∵直线l′的斜率为k′＝－2，l与其垂直， ∴直线l的斜率k＝eq \f(1,2). 由直线的点斜式方程知y＋3＝eq \f(1,2)(x－2)， ∴直线l的方程为y＝eq \f(1,2)x－4. 解　过点A(－5，0)，C(0，2)的直线的两点式方程为eq \f(y－0,2－0)＝eq \f(x－(－5),0－(－5))， 整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程． 设线段AC的中点为D(x，y)，则AC边上的中线是顶点B与AC边中点D的连线． 因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－5＋0,2)＝－\f(5,2)，,y＝\f(0＋2,2)＝1，))即Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，1)). 由两点式得直线BD的方程为eq \f(y－(－3),1－(－3))＝eq \f(x－3,－\f(5,2)－3)， 整理可得8x＋11y＋9＝0. 此即为AC边上的中线所在直线的方程． 解　由题意可设A(x，0)，B(0，y)， 由中点坐标公式可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋0,2)＝4，,\f(0＋y,2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝2.)) ∴A(8，0)，B(0，2)． 由直线的截距式方程得直线l的方程为eq \f(x,8)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0. 解　(1)由题意可得k＝tan135° ＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1. (2)在直线AB的方程中， 令y＝0可得x＝eq \f(2－k,k)， 即点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－k,k)，0))， 令x＝0可得y＝k－2，即点B(0，k－2)， 由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2－k,k)<0，,k－2<0，))解得k<0. 所以S△AOB＝eq \f(1,2)(2－k)·eq \f(k－2,k)＝－eq \f(1,2)·eq \f((k－2)2,k)＝－eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(4,k)－4)) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((－k)＋\f(4,－k)＋4))≥eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r((－k)·\f(4,－k))＋4))＝4， 当且仅当k＝－2时，等号成立，此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即2x＋y＋4＝0. 解　(1)因为eq \f(8＋2,2)＝5，eq \f(－6＋2,2)＝－2， 所以AB的中点坐标为(5，－2)，因为kAB＝eq \f(－6－2,8－2)＝－eq \f(4,3)，所以AB的中垂线的斜率为eq \f(3,4)， 故AB的中垂线的方程为y＋2＝eq \f(3,4)(x－5)，即3x－4y－23＝0. (2)由(1)知kAB＝－eq \f(4,3)，所以直线l的方程为y＋3＝－eq \f(4,3)(x－2)，即4x＋3y＋1＝0. 解　(1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，满足题意． ∴a＝2，l的方程为3x＋y＝0. 若a≠2，由截距存在且均不为零有eq \f(a－2,a＋1)＝a－2， 即a＋1＝1，∴a＝0.此时l的方程为x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－(a＋1)>0，,a－2≤0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－(a＋1)＝0，,a－2≤0.))解得a≤－1. 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]． 解　若两条直线的斜率不相等，则两条直线一定相交． (1)当m＝0时，两条直线相交； 当m≠0时，由－eq \f(1,m)≠－eq \f(m－2,3)，得m≠3且m≠－1. 所以当m≠3且m≠－1时，两条直线相交． (2)由－eq \f(1,m)＝－eq \f(m－2,3)，得m＝3或m＝－1. 当m＝－1时，两条直线平行； 当m＝3时，两条直线重合． 所以当m＝－1时，两条直线平行． (3)由(2)，知当m＝3时，两条直线重合． (4)由1×(m－2)＋3m＝0，得m＝eq \f(1,2). 所以当m＝eq \f(1,2)时，两条直线垂直． 解析　由题意，得kAB＝eq \f(m－1－(－m),m－2)＝eq \f(2m－1,m－2)＝tan135°＝－1，解得m＝1.故选C. 2．(2023·皖豫名校联盟高二阶段测试)若直线经过两点A(2，－m)，B(m，m－1)且倾斜角为135°，则m的值为(　　) A．2 B.eq \f(3,2) C．1 D．－eq \f(3,2) 解析　将直线方程化为截距式，得eq \f(x,－2)＋eq \f(y,3)＝1，则直线在x轴上的截距为－2.故选B. 1．直线－eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－2 C．－3 D．3 解析　kAB＝eq \f(m－p,p－m)＝－1，kBC＝eq \f(n－m,m－n)＝－1，∴kAB＝kBC，∴A，B，C三点共线． 一、选择题 1．已知直线l1的倾斜角为eq \f(3π,4)，直线l2经过点A(3，2)，B(a，－1)，且l1与l2垂直，则a＝(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 解析　因为直线l1的倾斜角为eq \f(3π,4)，所以直线l1的斜率k＝－1，又l1与l2垂直，所以直线l2的斜率k2＝－eq \f(1,k)＝1，即eq \f(2＋1,3－a)＝1，解得a＝0. 解析　若a＝b－1，则P，Q两点重合，∴直线PQ的斜率存在．∵kPQ＝eq \f(a＋1－b,b－1－a)＝－1，又点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，∴l的斜率为1，倾斜角为45°. 解析　经过(5，0)，(2，－5)两点的直线的方程为eq \f(y－0,－5－0)＝eq \f(x－5,2－5)，整理，得5x－3y－25＝0.故选B. 解析　易知a≠0，当a>0时，eq \f(1,a)>0，即直线的斜率为正，直线在y轴上的截距为正，A符合；当a<0时，eq \f(1,a)<0，即直线的斜率为负，直线在y轴上的截距为负，B符合．故选AB. 2．(多选)方程y＝ax＋eq \f(1,a)表示的直线可能是(　　) 3．(多选)(2023·福建泉州高二期中)下列四个结论中正确的是(　　) A．若直线l过点P(x1，y1)，且倾斜角为eq \f(π,2)，则其方程为x＝x1 B．若直线l过点P(x1，y1)，且斜率为0，则其方程为y＝y1 C．所有直线都有点斜式和斜截式方程 D．若两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a＝1 解析　∵直线x－2y＋3＝0的斜率为eq \f(1,2)，∴所求直线的斜率为－2，又过P(－1，3)，∴直线方程为y－3＝－2(x＋1)．整理得2x＋y－1＝0. 解析　由ax＋by＋c＝0得，斜率k＝－eq \f(a,b)，直线在x轴、y轴上的截距分别为－eq \f(c,a)，－eq \f(c,b).如题图，k<0，即－eq \f(a,b)<0，∴ab>0.∵－eq \f(c,a)>0，－eq \f(c,b)>0，∴ac<0，bc<0.故若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0. 解析　∵点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，∴由两点式可得直线A′B的方程为eq \f(y－6,－2－6)＝eq \f(x＋1,3＋1)，即y＝－2x＋4.同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为eq \f(y－2,－6－2)＝eq \f(x－3,－1－3)，即y＝2x－4.∴入射光线所在直线的方程为y＝2x－4，反射光线所在直线的方程为y＝－2x＋4. (2)因为BC边的中点为(2，3)，所以BC边的中线所在直线的方程为eq \f(y＋4,3＋4)＝eq \f(x－1,2－1)， 即7x－y－11＝0， 化为截距式方程为eq \f(x,\f(11,7))＋eq \f(y,－11)＝1. 解　(1)设D(a，b)，在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，得kAB＝kCD，kAD＝kBC， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5).))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝6.))∴D(－1，6)． (2)∵kAC＝eq \f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq \f(6－0,－1－5)＝－1，∴kACkBD＝－1. ∴AC⊥BD.∴▱ABCD为菱形． 解析　当直线x＋my－1＝0的斜率不存在时，m＝0，即直线的方程为x＝1，此时直线AB的方程为x＝－5，两直线平行，故m＝0符合题意；当直线x＋my－1＝0的斜率存在时，斜率为k＝－eq \f(1,m)，又kAB＝eq \f(m－2－3,－5－(－2m－5))＝eq \f(m－5,2m)，∴由题意得eq \f(m－5,2m)＝－eq \f(1,m)，解得m＝3.故选AC. 解　(1)∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m×m－8×2＝0，,m×(－1)－n×2≠0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2，)) ∴当m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2. (2)解法一：∵l1在y轴上的截距为－1，∴n＝8， ∴l1：mx＋8y＋8＝0. 当m＝0时，l1：y＝－1，l2：x＝eq \f(1,2)，满足l1⊥l2； 当m≠0时，k1＝－eq \f(m,8)，k2＝－eq \f(2,m)， 则k1·k2＝－eq \f(m,8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,m)))＝eq \f(1,4)≠－1， ∴l1与l2不垂直． 综上，当m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. 解法二：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋8m＝0，,m×0＋8×(－1)＋n＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝8.)) ∴当m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. $$