第22讲 分式的加减（四类知识点+九大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第22讲 分式的加减（九大题型） 学习目标 1、能利用分式的基本性质通分． 2、会进行同分母分式的加减法． 3、会进行异分母分式的加减法． 4、掌握分式的加减乘除混合运算. 一、同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 要点：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 二、分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 三、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 要点：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 四、分式的混合运算 与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 要点：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度. 【即学即练1】化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减． 【解析】解：． 故选C． 【即学即练2】计算：结果为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减，根据异分母分式的减法运算法则求解即可． 【解析】解： ， 故选：C． 【即学即练3】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式加法运算，先通分，再进行加法运算，将结果化为最简分式或整式；掌握运算步骤是解题的关键． 【解析】解：原式 ； 故选：A． 【即学即练4】化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 【解析】解：-x+1 =-（x-1） =- = 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练通分是解题的关键． 【即学即练5】先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键．根据分式混合运算顺序和法则化简后，把代入化简结果计算即可． 【解析】解：原式 当时，原式 题型1：最简公分母 【典例1】．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（    ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【答案】B 【分析】本题考查最简公分母，根据找数字的最小公倍数，字母找最高指数即可得到答案； 【解析】解：与的最简公分母是，故A正确，不符合题意， 与的最简公分母是，故B错误，符合题意， 与的最简公分母是，故C正确，不符合题意， 与的最简公分母是，故D正确，不符合题意， 故选：B． 【典例2】．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把第二个分式的分母分解因式，然后根据最简公分母的确定方法解答．本题考查了最简公分母的确定，解题的关键在于对分母正确分解因式． 【解析】解：∵， ∴与的最简公分母为，故D正确． 故选：D． 题型2：通分 【典例3】．通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了通分，解题的关键是找出两个分式分母的最小公倍数． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）找出两分母的最简公分母，通分即可． 【解析】（1）解：最简公分母为， ；． （2）解：最简公分母为， 故；． 【典例4】．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【解析】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 题型3：同分母相加减 【典例5】．化简的结果是（    ） A． B． C．x D． 【答案】A 【分析】本题考查分式化简．根据题意直接两式相加，再将分子因式分解后约分即可． 【解析】解：， ， ， ， 故选：A． 【典例6】．化简：的结果是（      ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据分式的加减法运算法则计算即可． 【解析】解：原式 ， 故选：B 题型4：异分母相加减 【典例7】．分式可化简为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简，根据分式性质变形，加减即可得到答案； 【解析】解：原式， 故选：B． 【典例8】．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，然后约分化简即可得到答案． 【解析】解： ， 故选：C． 题型5：整式与分式相加减 【典例9】．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【解析】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 【典例10】．某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 【答案】D 【分析】根据分式的加减进行计算即可求解． 【解析】解： ， ∴甲和丙出现错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 题型6：分式加减的混合运算 【典例11】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可； （2）先化为同分母分式，再计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再计算即可； （4）先通分化为同分母分式，再计算即可； 【解析】（1）解：原式． （2）原式． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键． 【典例12】．计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减； （2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式； （3）通分，最简公分母为； （4）把看成是一项，为，再通分； （5）前两项先通分，再依次计算即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键． 【典例13】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，分子分母约分化简，再进行加减运算； （2）先将括号内式子通分，再将分式除法变形为乘法，最后约分化简即可． 【解析】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 题型8：化简分式求值 【典例14】．化简下列各式： (1)； (2)； （易错题） (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算小括号分式减法，再计算分式除法； （2）先计算分式除法，再进行分式减法； （3）先计算小括号，再进行分式乘除法． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，解题关键是熟练掌握分式混合运算法则及因式分解． 【典例15】．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了分式的化简求值，先去括号，再计算加减即可化简，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解析】解：， 当时，原式． 【典例16】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，7； 【分析】 本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．首先把式子中能分解因式的分解因式，然后进行约分，最后代值计算． 【解析】 解：， ， ， 当时，原式． 【典例17】．已知，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查分式的乘除混合运算，完全平方公式和平方的非负性，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法计算，然后利用完全平方公式将变形为，然后利用平方的非负性得到，，然后代数求解即可． 【解析】 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴原式． 题型9：分式加减的应用 【典例18】．甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由． 【答案】乙的购买方式更合算．理由见解析 【分析】本题主要考查分式的实际应用，熟练分式相关的知识是解题的关键；把甲乙平均价格用代数式表示，再作差既可判断． 【解析】解：乙的购买方式更合算．理由： 甲的平均价格为； 乙的平均价格为； ； ∵， ∴； ∴甲的平均价格乙的平均价格， ∴乙的购买方式更合算． 【典例19】．有甲，乙两块边长为a米（）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，试判断甲、乙试验田的单位面积产量哪个高．    【答案】甲试验田的单位面积产量高 【分析】由总产量除以总面积可得单位面积产量，再比较大小即可． 【解析】解：由题意，得甲试验田的单位面积产量为（千克）， 乙试验田的单位面积产量为千克． ∵，且， ∴，即， ∴甲试验田的单位面积产量高． 【点睛】本题考查的是列代数式，分式的值的大小比较，分式的加减运算的应用，理解题意，确定解题的方法是解本题的关键． 一、单选题 1．计算的结果为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据分式加减法则进行运算．对于同分母的分式相加减分母不变，分子相加减，然后根据分式的性质化简即可． 【解析】解：原式． 故选D． 【点睛】本题分式的基本性质和分式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D．a 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减． 【解析】解：． 故选D． 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据分式的加减计算法则进行求解即可． 【解析】解：． 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握分式的加减计算法则． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的加减运算法则，先通分再加减即可． 【解析】解：原式 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减，掌握通分的方法是解题的关键． 5．若分式的值为零，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式值为0的条件；先化简分式，然后根据分式值为0，则分子为0且分母不为0得出且，即可求出a的值． 【解析】解： 要使分式的值为零，则， ∴， 故选：C． 6．当时，（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】将原式化简后再将x=1带入求解即可． 【解析】原式， 当时，原式． 故选：C 【点睛】本题运用了分式的混合运算，熟练掌握是解决问题的关键． 7．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】括号内先通分，化为同分母分式后，根据分式的运算法则计算可得． 【解析】原式 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则． 8．已知x为整数，且为整数，则符合条件的x有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】原式三项通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据其值为整数，即可得出符合条件x值的个数． 【解析】解：原式= =； 当x﹣3=3，即x=6时，原式值为整数； 当x﹣3=1，即x=4时，原式值为整数； 当x﹣3=﹣1，即x=2时，原式值为整数； 当x﹣3=﹣3，即x=0时，原式值为整数； 所以符合条件的x有4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的化简与分式的整数值，解此题的关键在于通分、约分． 9．已知，为实数，且，，设，，则，的大小关系是（   ）. A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】对M、N分别求解计算，进行异分母分式加减，然后把ab=1代入计算后直接选取答案. 【解析】解：， ∵，∴ ， ， ∵，∴， ∴M=N， 故选：C. 【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握分式的运算为解题关键 10．已知，，，则的值为（          ） A．-1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】观察所给算式可得,代入整理之后对算式进行通分即可． 【解析】解：由可得：， 则 ， ， 故原式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是求分式的值，对算式进行通分简化是解题的关键，体现了转化思想，化繁为简． 二、填空题 11．化简： ． 【答案】 【分析】把异分母化成同分母，根据同分母分式加减法法则进行计算即可． 【解析】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了异分母分式加减法运算，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题的关键． 12．计算： ． 【答案】1 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【解析】解： ． 故答案为：1． 13．化简： ． 【答案】． 【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法． 【解析】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算顺序是解题关键． 14．与的最简公分母是 ； 与的最简公分母是 ； 与的最简公分母是 ； 的最简公分母是 ； 的最简公分母为 ． 的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义：通常取各分式分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，进行求解即可． 【解析】解：与的最简公分母是 ； 与的最简公分母是； 与的最简公分母是； 的最简公分母是； 的最简公分母为． 的最简公分母是． 故答案为：；；；；；． 【点睛】本题主要考查了求最简公分母，解题的关键在于能够熟练掌握最简公分母的定义． 15．的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式的通分和最简公分母，根据最简公分母的定义和通分的法则进行解答即可． 【解析】解：的最简公分母是，通分的结果是， 故答案为：， 16．一份稿件，甲单独打字需a天完成，乙单独打字需b天完成，两人共同打需 天完成． 【答案】 【分析】甲单独打字需a天完成，乙单独打字需b天完成，则甲、乙的工作效率分别为 、 ，由此求解即可． 【解析】解：由题意可得，两人共同打需要 天， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的应用，解题的关键在于能够找到甲、乙的工作效率． 17．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．利用完全平方公式求得，再利用完全平方公式求得，再利用平方根的定义求解即可． 【解析】解：∵， ∴，整理得， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 18．已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 【答案】 【分析】先在等式的两边同时乘非零数，得到，变形为，，再将三个等式代入所求代数式化简即可得出答案． 【解析】 ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，将已知等式变形是解题的关键． 三、解答题 19．通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解析】（1）解：最简公分母是， 所以； ； ； （2）解：最简公分母是， 所以； ． 20．计算： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】异分母分式相加减，先进行通分，将异分母分式化成同分母分式，再进行加减运算． 【解析】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ； （3）， ， ． 【点睛】此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握异分母分式加减法法则，注意结果要化简． 21．计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解； （2）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解； （3）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解； （4）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解． 【解析】解：（1）， ， ； （2）， ， ； （3）， ， ， ， ； （4）， ， ， ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，异分母分式相加减时，先通分，变为同分母分式，再进行加减运算是解题关键． 22．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分，以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键． （1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分 【解析】（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 23．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】先算括号里面的，再根据分式乘除法法则计算，最后利用加减法通分化简即可； 【解析】（1）； （2）； （3）； （4） 【点睛】本题考查分式的混合运算，一般先算括号和乘方，再算乘除，最后算加减．熟记运算法则是解题的关键，解题时需要注意因式分解来化简分式． 24．先化简，再求值：，其中x从，，1，3中选择一个适当的数． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内的，同时把除法转化为乘法，然后约分，最后选择合适的x代入求值即可． 【解析】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴取， 当时，原式． 25．已知：，求： (1)． (2)的值． 【答案】(1)66 (2)137 【分析】（1）给已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理即可求出所求式子的值； （2）先化简，然后把（1）的结果代入计算即可求出值． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】此题考查了分式的混合运算、完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． 26．临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名．如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少元？ 【答案】元． 【分析】甲厂员工原来支付元，乙厂有3名同乡员工也随车返乡后甲厂员工支付元，根据题意做减法即可． 【解析】解：由题意可得：甲厂员工原来支付元， 乙厂有3名同乡员工也随车返乡后甲厂员工支付元， 甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元． 【点睛】此题主要考查了列代数式，正确表示出平均每人分担的车费数是解题关键． 27．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． (1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； (2)若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的加减乘除运算顺序和法则，根据乘除加减的互逆关系做等式变形，是解决问题的关键． （1）用代替中的化简，根据，取限定的，0，1中的0作为a值，代入化简结果计算即得；（2）根据乘除加减的互逆关系做等式变形，计算中的． 【解析】（1） ， ∵， ∴， ∴从，0，1中选取0作为a值代入求值， 原式； （2）∵， ∴ ， 则被墨水遮住的式子是． 28．一个无盖长方体盒子的容积是V． （1）如果盒子底面是边长为a的正方形，这个盒子的表面积是多少？ （2）如果盒子底面是长为b､宽为c的长方形，这个盒子的表面积是多少？ （3）上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，那么两种盒子的表面积相差多少？（不计制造材料的厚度．） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据体积公式可计算出盒子的高，则由长方体表面积公式可求得盒子的表面积； （2）根据体积公式可计算出盒子的高，则由长方体表面积公式可求得盒子的表面积； （3）把前两小题中所得的式子相减并化简即可． 【解析】（1）长方体盒子的高为： 由于盒子底面是正方形，则盒子的另外四个面完全相同，所以盒子的表面积为：； （2）长方体盒子的高为： 盒子的表面积为：； （3）∵ ∴ ∴ 即当底面积相等时，两种盒子的表面积相差是． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，长方体的体积与表面积等知识，关键是掌握长方体体积与表面积的计算公式． 29．按要求解答下列问题： 小明和小刚两人两次同时在同一粮店购买粮食，小明每次购买粮食a千克，小刚每次购粮用去a元（其中a＞0）. （1）设第一、第二次购粮单价分别为（2x+5）元/千克和（3x+2）元/千克，则小明两次购买粮食共需付粮款 元，小刚两次共购买 千克粮食；（其中x＞0，结果用含a、x的代数式表示，并化简） （2）若小明两次购粮的平均单价为每千克M1元，小刚两次购粮的平均单价为每千克M2元，请说明M1与M2的大小. 【答案】（1）（5ax+7a），  ；（2）当x=3时，M1=M2；当x≠3时，M1＞M2. 【解析】整体分析： (1)小明每次购买粮食所需付粮款为单价×购买粮食重量；小刚两次共购买粮食数为两次购买数量的和；(2)用含x的式子表示出M1，M2，然后相减. (1)小明每次购买粮食所需付粮款为a(2x+5)+a(3x+2)=(5ax+7a)； 小刚两次共购买粮食数为； (2)小明两次购粮的平均单价M1=； 小刚两次购粮的平均单价M2=2a÷=. 所以M1-M2=-=， 所以当x=3时，M1=M2；当x≠3时，M1＞M2. 30．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 【答案】(1)是， (2)①－3x－6；②1 (3)6或22 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，二元方程的整数解，理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“关联分式”，且“关联值” ，求出多项式M，最后根据为正整数，分式的值为正整数求出x值即可． （3）把E与F相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据E与F互为“关联分式”，且“关联值” ，得到，当时，，当时，则，根据a，b为整数解得，或，，即可求得． 【解析】（1）解：，， ， 与互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：①，， ， 与互为“关联分式”，且“关联值” ， ， ， ②， 分式的值为正整数． 或，此时的值为1或， 为正整数， 的值为1． （3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b为整数 ∴当时， 当时，则 ∵a，b为整数 ∴，或，， ∴． 综上，c的值为6或22． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 35 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 分式的加减（九大题型） 学习目标 1、能利用分式的基本性质通分． 2、会进行同分母分式的加减法． 3、会进行异分母分式的加减法． 4、掌握分式的加减乘除混合运算. 一、同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 要点：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 二、分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 三、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 要点：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 四、分式的混合运算 与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 要点：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度. 【即学即练1】化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【即学即练2】计算：结果为（     ） A． B． C． D．2 【即学即练3】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【即学即练4】化简得（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】先化简，后求值：，其中． 题型1：最简公分母 【典例1】．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（    ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【典例2】．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 题型2：通分 【典例3】．通分： (1)与； (2)与． 【典例4】．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 题型3：同分母相加减 【典例5】．化简的结果是（    ） A． B． C．x D． 【典例6】．化简：的结果是（      ） A．3 B． C． D． 题型4：异分母相加减 【典例7】．分式可化简为（　　） A． B．1 C． D． 【典例8】．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 题型5：整式与分式相加减 【典例9】．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【典例10】．某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 题型6：分式加减的混合运算 【典例11】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例12】．计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 题型7：分式加减乘除的混合运算 【典例13】．计算： (1)； (2)． 【典例14】．化简下列各式： (1)； (2)； （易错题） (3)． 题型8：化简分式求值 【典例15】．先化简，再求值：，其中． 【典例16】．先化简，再求值：，其中，． 【典例17】．已知，求的值． 题型9：分式加减的应用 【典例18】．甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由． 【典例19】．有甲，乙两块边长为a米（）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，试判断甲、乙试验田的单位面积产量哪个高．    一、单选题 1．计算的结果为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D．a 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D．1 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．若分式的值为零，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．当时，（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 8．已知x为整数，且为整数，则符合条件的x有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．已知，为实数，且，，设，，则，的大小关系是（   ）. A． B． C． D．无法确定 10．已知，，，则的值为（          ） A．-1 B． C．2 D． 二、填空题 11．化简： ． 12．计算： ． 13．化简： ． 14．与的最简公分母是 ； 与的最简公分母是 ； 与的最简公分母是 ； 的最简公分母是 ； 的最简公分母为 ． 的最简公分母是 ． 15．的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 16．一份稿件，甲单独打字需a天完成，乙单独打字需b天完成，两人共同打需 天完成． 17．已知，则 ． 18．已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 三、解答题 19．通分： (1)，，； (2)，． 20．计算： （1）；（2）；（3）． 21．计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 22．计算： (1) (2)． 23．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 24．先化简，再求值：，其中x从，，1，3中选择一个适当的数． 25．已知：，求： (1)． (2)的值． 26．临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名．如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少元？ 27．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． (1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； (2)若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 28．一个无盖长方体盒子的容积是V． （1）如果盒子底面是边长为a的正方形，这个盒子的表面积是多少？ （2）如果盒子底面是长为b､宽为c的长方形，这个盒子的表面积是多少？ （3）上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，那么两种盒子的表面积相差多少？（不计制造材料的厚度．） 29．按要求解答下列问题： 小明和小刚两人两次同时在同一粮店购买粮食，小明每次购买粮食a千克，小刚每次购粮用去a元（其中a＞0）. （1）设第一、第二次购粮单价分别为（2x+5）元/千克和（3x+2）元/千克，则小明两次购买粮食共需付粮款 元，小刚两次共购买 千克粮食；（其中x＞0，结果用含a、x的代数式表示，并化简） （2）若小明两次购粮的平均单价为每千克M1元，小刚两次购粮的平均单价为每千克M2元，请说明M1与M2的大小. 30．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$