13.2 分式的运算（第3课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第13章 分式 13.2 分式的运算 （第3课时）整数指数幂 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 复习　正整数指数幂的运算 计算：，，。 答：；；。 解 同底数相乘：指数相加。 幂的乘方：指数相乘；积的乘方：逐个乘方。 方法：先识别运算结构，再选法则。 注意：指数相加与相乘不要混淆。 复习引入 复习　零指数幂 计算：，；能按零指数幂的规定取吗？ 答：；；不能。 解 非零数的零次幂等于。 规定要求。 方法：先检查底数是否为零。 注意：负数的零次幂也是。 复习引入 指数相减得到负数怎么办 计算：（）。 答： 解 。 约去，得到。 方法：先用分式约分求出结果。 注意：如果继续指数相减，将出现。 新知讲授 负整数指数幂的规定 规定 （，是正整数）。 意义 如。 指数范围 在时，中的指数可以是正整数、零或负整数。 新知讲授 把负指数幂化为分数 计算：，。 答：；。 解 。 。 方法：负指数表示相应正指数幂的倒数。 注意：负指数不表示结果是负数。 新知讲授 负号在底数内还是底数外 计算：与。 答：；。 解 。 。 方法：先看括号确定底数，再求倒数。 注意：第二个式子的负号不属于底数。 新知讲授 分数底数的负整数次幂 计算：，。 答：；。 解 。 。 方法：先求正整数次幂，再取倒数。 注意：负底数的奇数次幂为负数。 新知讲授 指数较小时同底数幂也能相除 关系 （，是正整数）。 指数之差为负 如。 指数之差为零 如。 例题讲解 例 6 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 。 解第（2）题 。 。 方法：底数不变，指数相减后转为分数。 注意：不需要先算出大整数。 例题讲解 例 6 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 。 方法：相同非零数相除，结果为。 注意：零指数幂等于，不是。 例题讲解 变式 变式　先求指数差 计算：；。 答：；。 解 。 。 方法：负底数整体保留在括号内。 注意：指数相减与底数正负是两件事。 新知讲授 指数为负时，乘法法则还成立吗 计算，与比较。 答：都等于。 解 。 。 方法：先按负指数意义计算，再比较指数相加。 注意：具体检验为推广法则提供线索。 新知讲授 用负指数幂的意义解释乘法 正、负指数相乘 。 零、负指数相乘 。 两个负指数相乘 。以上均要求。 新知讲授 整数指数幂的运算性质 前提 当不为时，对于整数指数幂，有 同底数幂相乘 。 积的乘方 。 幂的乘方 。 新知讲授 幂的乘方仍是指数相乘 计算：与。 答：都等于。 解 。 。 方法：把内、外指数相乘，底数不变。 注意：负指数与正指数相乘仍要按符号法则。 新知讲授 积的负整数次幂 化简：；。 答：；。 解 。 。 方法：积中每个因式都要乘方。 注意：系数也要取负二次幂。 新知讲授 同底数幂相除可推广到整数指数 推导 。 条件 ，为任意整数。 检验 。减去负数要加上它的相反数。 例题讲解 例 7 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先判断是同底数相乘还是幂的乘方。 注意：乘法指数相加，乘方指数相乘。 例题讲解 例 7 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 。 方法：系数与字母分别使用合适的运算法则。 注意：第（3）题底数不同，不能直接减指数。 例题讲解 变式 变式　积的乘方与合并 化简：。 答： 解 。 。 方法：系数算数值，字母按同底数幂计算。 注意：的系数为。 例题讲解 辨析 辨析　负指数等于负数吗 小林把算成。指出错误，并求。 答：，。 解 负指数表示倒数，不表示添负号。 两个底数的平方都等于。 方法：先识别底数，再写成正指数幂的倒数。 注意：指数上的负号不等于结果的负号。 例题讲解 混合运算先看结构 计算：。 答： 解 先算幂：。 再算乘、加：。 方法：按先乘方、再乘除、后加减的顺序。 注意：同底数幂的法则不能用于加法。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：同底数幂相除，指数相减。 注意：负指数结果可以写成正指数幂的倒数。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：同底数幂相乘，指数相加。 注意：单独的可以写成。 课堂练习 练习2 下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该如何改正？ （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 不正确，应为。 同底数幂相乘，指数相加。 。 解第（2）题 不正确，应为。 。 方法：同底数幂相乘，保持底数、指数相加。 注意：不能把指数相乘或相除。 课堂练习 练习2 下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该如何改正？ （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 不正确，应为。 负整数指数幂表示相应正指数幂的倒数。 解第（4）题 不正确，应为。 非零数的零次幂等于。 方法：把负指数幂写成倒数，零指数幂用规定。 注意：负指数不等于负数，零指数幂不等于。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：幂的乘方，内外指数相乘。 注意：两个负指数相乘得到正数。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 。 。 方法：将分解为。 注意：系数与字母都要乘方。 课堂总结 整数 指数幂 意义 ，，为正整数。 乘与除 同底数：乘法指数相加，除法指数相减。 乘方 幂的乘方指数相乘；积的乘方逐个乘方。 检验 检查底数、括号、负号与非零条件。 特别提醒：负指数表示倒数；法则用于相应运算，不能套用于加法。 针对训练 训练1　选择：负指数的意义 等于（　）。 A. B. C. D. 答：D 解 。 分母为，所以结果为。 方法：底数整体平方后取倒数。 注意：负底数的偶数次幂为正数。 针对训练 训练2　填空：正、负指数互化 ；____；____。 答：；；。 解 正指数幂的倒数可写成负指数幂。 非零数的零次幂等于。 方法：按定义互换表示形式。 注意：第二空要求。 针对训练 训练3　判断并改正 （1）。 × 应为。 （2）。 √ 指数和为。 （3）。 √ 指数积为。 方法：先辨认运算类型，再处理指数正负。 注意：有负指数时，底数不能为。 方法总结 基础题中的定义与结构 方法1　先用定义判断 ① 负指数先联系倒数。 ② 零指数幂先查底数非零。 ③ 括号决定负号是否属于底数。 方法2　再按结构选法则 ① 同底数相乘，指数相加。 ② 幂的乘方，指数相乘。 ③ 不同结构不能混用法则。 针对训练 训练4　计算数的整数次幂 计算：。 答： 解 ，。 。 方法：先求每个幂的值，再计算加减。 注意：负分数的负偶数次幂仍为正数。 针对训练 训练5　计算字母的整数次幂 化简：。 答：。 解 。 。 方法：按运算顺序处理指数。 注意：也可一次写成；。 针对训练 训练6　计算嵌套的乘方 计算：。 答：。 解 幂的乘方得。 。 方法：内外指数先相乘，再计算数值。 注意：不要把两个指数相加。 方法总结 运算题中的指数与系数 方法1　先处理指数 ① 同底数乘除合并指数。 ② 幂的乘方把指数相乘。 ③ 有负指数时可转成分数核查。 方法2　再处理数值与符号 ① 系数、字母分别计算。 ② 负底数检查指数奇偶。 ③ 混合运算遵循通常运算顺序。 针对训练 训练7　纠错：系数也要乘方 小明把化成。指出错误并改正。 答：应为。 解 。 。 方法：检查积中每一个因式是否都乘方。 注意：系数的负二次幂是。 针对训练 训练8　先化简再求值 先化简，再求时的值。 答：；。 解 。 当时，。 方法：先分别处理系数与字母，再代入。 注意：原式要求，可以代入。 针对训练 训练9　比较负指数幂 比较与的大小，并说明理由。 答：。 解 ，。 正分数分子相同，分母较小的较大。 方法：先把两个幂写成容易比较的分数。 注意：不能只看底数或只看指数判断大小。 方法总结 纠错、求值与比较的方法 方法1　纠错时逐层检查 ① 括号中的系数是否参与乘方。 ② 同底数乘除的指数是否正确。 ③ 负号与倒数是否处理正确。 方法2　求值与比较用化简 ① 先化简字母式再代入。 ② 比较数值可转为正指数分数。 ③ 保留原式底数非零的限制。 针对训练 训练10　综合计算 计算：。 答：。 解 先算幂得。 再算乘、加，得。 方法：幂分别求值后，再按运算顺序计算。 注意：，不是。 针对训练 训练11　填入合适的指数 使下列等式对任意非零数恒成立，填空：；。 答：；。 解 第一空要求，填。 第二空要求，填。 方法：根据法则检查所填指数能否得到右侧指数。 注意：这是一组按运算法则成立的恒等式。 针对训练 训练12　应用：图案缩小 一个正方形图案边长为厘米。每次将边长缩为原来的，连续缩小次。用整数指数幂列式，求最后的边长和面积。 答：边长厘米；面积平方厘米。 解 边长。 面积。 方法：连续按同一比例变化，用乘方表示。 注意：边长缩小的倍数不能直接当面积倍数。 针对训练 训练13　应用：照片存储 一组照片有张，每张占 MB。求这组照片占用的空间；一张容量为 MB的空存储卡能放多少组这样的照片？ 答：占 MB；能放组。 解 一组占用 MB。 组数。 方法：先用数量乘单张大小，再用容量除以一组大小。 注意：乘法加指数，除法减指数；单位保持一致。 方法总结 应用题中的整数指数幂 方法1　用乘方表达数量 ① 重复乘同一因数写成幂。 ② 缩小比例可写成负指数幂。 ③ 总量等于数量乘单位用量。 方法2　按问题完成计算 ① 先列清楚乘法或除法。 ② 同底数时再使用幂的法则。 ③ 算出所需数值，并写明单位。 $