第19讲 解直角三角形的应用（二类知识点+九大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第19讲 解直角三角形的应用（九大题型） 学习目标 1、弄清题中名词、术语的意义，如坡度、仰角等； 2、会运用有关解直角三角形的知识解决实际问题； 3、掌握在实际问题中构建几何模型。 一、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 　　解这类问题的一般过程是： 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 应用举例：　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【方法规律】 　　1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图； 　　2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解； 　　　　　　 　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【即学即练1】小球沿着坡度为的坡面滚动了，则在这期间小球滚动的水平距离是 ． 【即学即练2】小杰沿坡比为的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 【即学即练3】某飞机在1500米的上空测得地面控制点的俯角为60°，那么此时飞机与地面控 制点的距离为 米．（结果保留根号） 【即学即练4】如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为 m(结果保留根号)． 【即学即练5】学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为 ． 题型1：坡度/坡比问题—单直角三角形（图形类） 【典例1】．．如图，斜坡，坡顶B离地面的高度为，如果坡比，那么这个斜坡的长度 m． 【典例2】．．如图，小红沿坡度的坡面由到行走了26米，那么小红行走的水平距离 米. 【典例3】．．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的高度为 米． 题型2：坡度/坡比问题—单直角三角形（语言描述类） 【典例4】．．一斜坡的坡角为，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为 （用的锐角三角比表示）． 【典例5】．．小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是 米． 【典例6】．．小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 米． 题型3：坡度/坡比问题—梯形 【典例7】．．如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽． 【典例8】．如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2． 求:（1）背水坡AB的长度． （2）坝底BC的长度． 【典例9】．在一次对某水库大坝设计中，李设计师对修建一座长80米的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，∥，坝高10米，迎水坡面的坡度1:，审核组专家看后，从力学的角度对此方案提出了建议，李设计师决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度1:． （1）求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）； （2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7米，求坝底将会沿方向加宽多少米？ 题型4：坡度/坡比问题—其他综合类 【典例10】．如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上．已知传送带AB与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°． （1）求传送带AB的长度； （2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造后传送带EF的长度．（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈2.24） 【典例11】．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡顶与地面的距离的长． (2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 【典例12】．如图，坡AB的坡比为1：2.4，坡长AB=130米，坡AB的高为BT．在坡AB的正面有一栋建筑物CH，点H、A、T在同一条地平线MN上． （1）试问坡AB的高BT为多少米？ （2）若某人在坡AB的坡脚A处和中点D处，观测到建筑物顶部C处的仰角分别为60°和30°，试求建筑物的高度CH．（精确到米，≈1.73，≈1.41） 【典例13】．如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 题型5：仰角、俯角问题—单直角三角形 【典例14】．在高为30米的高楼窗户处测得地面花坛中心标志物的俯角为，那么这一标志物离高楼的距离为 米． 【典例15】．如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为 m（结果保留根号）． 【典例16】．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为，已知的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为 米． 题型6：双仰角或俯角问题 【典例17】．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120 m，这栋楼的高度BC是 m（≈1.732，结果取整数）． 【典例18】．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为 ．(点都在同一平面上，结果保留根号)    【典例19】．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为 米． 【典例20】．如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（        ） A．a米 B．米 C．米 D．米 题型7：仰角或俯角综合类 【典例21】．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【典例22】．学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园高度为米，则旗杆的高度约为（    ）（参考数据：，，） A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米 【典例23】．如某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在A处测得教学楼的顶部的仰角为，向前走到达E处，测得教学楼的顶部的仰角为，已知小明的身高为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼的高度约（    ）m（结果精确到，参考数据：）．    A．27.3 B．28.9 C．31.3 D．35.9 【典例24】．图1是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩的高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知桥墩底端点B到河岸的参照点C的距离米，斜坡的长为54米，斜坡与水平面的夹角，坡顶平台，米，在E处测得桥墩顶端点A的仰角． (1)求平台到水平面的垂直距离； (2)求桥墩的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 题型8：方位角问题 【典例25】．如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 【典例26】．如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 【典例27】．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上． (1)若过点P作于点C，则 (直接写出计算结果) (2)求A，P两点之间的距离； (3)①若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． ②如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多 °的方向航行能安全通过这一海域？(直接写出计算结果) 题型9：解直角三角形的应用难点分析 【典例28】．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．      (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【典例29】．如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段为屋内地面，线段、为房屋两侧的墙，线段、为屋顶的斜坡．已知米，米，斜坡、的坡比均为1∶2． （1）求屋顶点D到地面的距离： （2）已知在墙距离地面1．1米处装有窗，如果阳光与地面的夹角，为了防止阳光通过窗照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即，长度为1．4米，即米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：，，，，，，．） 【典例30】．上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 一、单选题 1．如果斜坡的坡度为，那么这条斜坡的坡角为（　　） A．75度 B．60度 C．45度 D．30度 2．进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，已知直线为水平线，，从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是（    ） A． B． C． D． 5．如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（    ） A． B． C． D． 6．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米 7．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 8．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 10．某同学利用数学知识测量建筑物的高度，他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，点在同一平面内，建筑物和测角仪与水平方向垂直，若米，则此建筑物的高度约为（　　）（精确到米，参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 11．已知斜坡坡度为，如果斜坡长为米，那么斜坡的高为 米． 12．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为 米．（用含的式子表示） 13．如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，如果，，那么立柱的长度是 米． 14．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为 米． 15．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝ 米．（结果保留根号） 16．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为 ．(点都在同一平面上，结果保留根号)    17．如图，已知斜坡长为，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡角为，则平台的长为 ．（参考数据：） 18．一款闭门器按如图1所示安装，支点，分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则的长为 cm．如图3，门板绕点旋转，当时，点到门框的距离，则的长为 cm． 三、解答题 19．如图，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶宽5米，坝底宽33米，坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，求：水坝横截面的面积． 20．如图，小明一家从家所在地自驾前往古镇游玩，古镇在小明家的正北方向千米处，由于道路清障，小明一家先从沿西北方向行驶至地，再从地沿北偏东方向行驶至古镇，求小明一家从地到地实际行驶的路程是多少千米？（结果精确到千米） （参考数据：，，，） 21．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．） (1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米） (2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由． 22．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点处，在此处测得大树顶端的仰角为，且斜坡的坡度为，于点，点、、在一条直线上． (1)求乙同学从点到点的过程中，上升的竖直高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：） 23．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在A、B两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板所成的角度为．（参考数据：）    (1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差． (2)求这段细绳的长度． 24．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上． （1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE． （2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？    25．图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区． (1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； (2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行． 表：轮椅坡道的最大高度和水平长度 坡度 1：20 1：16 1：12 1：10 1：8 最大高度（m） 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30 水平长度（m） 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40 26．钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人． 图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． 问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． 问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． 问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 解直角三角形的应用（九大题型） 学习目标 1、弄清题中名词、术语的意义，如坡度、仰角等； 2、会运用有关解直角三角形的知识解决实际问题； 3、掌握在实际问题中构建几何模型。 一、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 　　解这类问题的一般过程是： 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 应用举例：　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【方法规律】 　　1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图； 　　2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解； 　　　　　　 　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【即学即练1】小球沿着坡度为的坡面滚动了，则在这期间小球滚动的水平距离是 ． 【答案】 【分析】设高度为x，根据坡度比可得水平距离为，根据勾股定理列方程即可得到答案； 【解析】解：设高度为x， ∵坡度为， ∴水平距离为， 由勾股定理可得， ， 解得：， ∴水平距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系． 【即学即练2】小杰沿坡比为的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 【答案】50 【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可． 【解析】解：设他沿着垂直方向升高了x米， ∵坡比为， ∴他行走的水平宽度为米， 由勾股定理得，， 解得，，即他沿着垂直方向升高了50米， 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用）——坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 【即学即练3】某飞机在1500米的上空测得地面控制点的俯角为60°，那么此时飞机与地面控 制点的距离为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】画出图形，用60°角的正弦即可解决问题. 【解析】解：如图，在Rt△ABC中，AC=1500，∠B=60°， ∵，∴米. 故答案为. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，选择合适的锐角三角函数是解题的关键. 【即学即练4】如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为 m(结果保留根号)． 【答案】5＋5 【分析】作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度． 【解析】如图，过点C作CE⊥AB于点E，    在Rt△BCE中， BE＝CD＝5m， CE＝＝5（m）， 在Rt△ACE中， AE＝CE·tan 45°＝5（m）， AB＝BE＋AE＝5＋5（m）． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 【即学即练5】学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为 ． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案． 【解析】解：点作于点， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∴； 在中，米， ∴（米）， （米）， ∴米， ∵， ∴米， 故答案为：米． 题型1：坡度/坡比问题—单直角三角形（图形类） 【典例1】．．如图，斜坡，坡顶B离地面的高度为，如果坡比，那么这个斜坡的长度 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握，坡度等于铅直高度除以水平距离，是解题的关键． 根据坡度等于铅直高度除以水平距离，可得的长，再由勾股定理，进行求解即可． 【解析】坡顶B离地面的高度为，坡比， ， 由勾股定理得 ． 故答案为：． 【典例2】．．如图，小红沿坡度的坡面由到行走了26米，那么小红行走的水平距离 米. 【答案】24 【分析】本题考查坡度、勾股定理，根据坡度的定义可知，设，则，再用勾股定理解即可． 【解析】解：由题意得， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得（负值舍去）， ， 故答案为：24． 【典例3】．．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 设小车上升的高度为米，根据坡度的概念得到米，再根据勾股定理计算，得到答案． 【解析】设小车上升的高度为米，斜坡的坡度为， ∴米， 由勾股定理得：， 解得：(负值舍去)， ∴小车上升的高度为米， 故答案为：． 题型2：坡度/坡比问题—单直角三角形（语言描述类） 【典例4】．．一斜坡的坡角为，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为 （用的锐角三角比表示）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦函数的应用．利用所给角的正弦函数求解． 【解析】解：如图所示．由题意得， ∵，， ∴， 整理得， ∴斜坡的高为米． 故答案为：． 【典例5】．．小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为米，根据勾股定理列方程求解． 【解析】解：设坡度的高为米，则水平距离为米， ， 解得：， 故答案为：． 【典例6】．．小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 米． 【答案】 【分析】本题考查了坡度与坡比，勾股定理； 根据题意画图，过点作于，由坡度得到，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【解析】解：如图，过点作于，由题意得米， ∵坡度， ∴， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴他距离地面的垂直高度升高了米， 故答案为：． 题型3：坡度/坡比问题—梯形 【典例7】．．如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽． 【答案】米 【分析】此题考查了坡度坡角问题．分别过点、作，，垂足分别为点、，分别在中，在中根据坡度的定义即可求解．注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键． 【解析】解：分别过点、作，，垂足分别为点、， 根据题意，可知米，， ， 四边形是矩形， 米， 在中，背水坡的坡度， ， 米， 在中，迎水坡的坡度 ， 米， 米， 答：坝底的长度为米． 【典例8】．．如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2． 求:（1）背水坡AB的长度． （2）坝底BC的长度． 【答案】（1）背水坡的长度为米；（2）坝底的长度为126米. 【分析】（1）分别过点、作，垂足分别为点、，结合题意求得AM，MN，在中，得BM，再利用勾股定理即可. （2）在中，求得CN即可得到BC. 【解析】 （1）分别过点、作，垂足分别为点、， 根据题意，可知（米），（米） 在中∵,∴（米）, ∵,∴（米）. 答：背水坡的长度为米． （2）在中，， ∴（米）， ∴（米） 答：坝底的长度为126米. 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【典例9】．．在一次对某水库大坝设计中，李设计师对修建一座长80米的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，∥，坝高10米，迎水坡面的坡度1:，审核组专家看后，从力学的角度对此方案提出了建议，李设计师决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度1:． （1）求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）； （2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7米，求坝底将会沿方向加宽多少米？ 【答案】（1）米；（2）坝底将会沿方向加宽米． 【分析】(1) 过点B作BF⊥AD于F，在直角三角形ABF中解得AF，AB的值. (2)过点E作EG⊥AD于G.延长EC至点M，AD至点N，连接MN，由S△ABE=S梯形CMND从而解得DN的值. 【解析】（1）过点作于． 在△中，1∶，，且米． ∴米．                                                   ∴米．                                              （2）如图，延长至点，至点，连接，过点作于． 在△中，1∶，且米， ∴米，米．                              ∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变． ∴．                                              即． ∴．                 米．        答：坝底将会沿方向加宽米． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用，求三角形图形的面积，锐角三角函数综合运用，解题的关键是正确作出辅助线，理解坡度的概念． 题型4：坡度/坡比问题—其他综合类 【典例10】．．如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上．已知传送带AB与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°． （1）求传送带AB的长度； （2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造后传送带EF的长度．（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈2.24） 【答案】（1）3米；（2）4.5米. 【分析】（1）在直角三角形中，利用37°角的正弦值求解即可； （2）根据坡比的数值求出DE的长，然后利用勾股定理可求解. 【解析】（1）在直角△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=37°，BD=1.8米， ∴AB=≈=3（米）． 答：传送带AB的长度约为3米； （2）∵DF=BD+BF=1.8+0.2=2米，斜坡EF的坡度i=1：2， ∴， ∴DE=2DF=4米， ∴EF==2≈4.5（米）． 答：改造后传送带EF的长度约为4.5米． 【典例11】．．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡顶与地面的距离的长． (2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 【答案】(1)24米 (2)8米 【分析】（1）根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算列式即可； （2）作于，根据正切的概念求出，结合图形计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【解析】（1）解： 斜坡的坡比为， ， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 则，， 答：改造前坡顶与地面的距离的长为24米； （2）解：作于， 则， ， ， 答：至少是8米． 【典例12】．．如图，坡AB的坡比为1：2.4，坡长AB=130米，坡AB的高为BT．在坡AB的正面有一栋建筑物CH，点H、A、T在同一条地平线MN上． （1）试问坡AB的高BT为多少米？ （2）若某人在坡AB的坡脚A处和中点D处，观测到建筑物顶部C处的仰角分别为60°和30°，试求建筑物的高度CH．（精确到米，≈1.73，≈1.41） 【答案】（1）坡AB的高BT为50米；（2）建筑物高度为89米 【解析】试题分析:(1)根据坡AB的坡比为1:2.4,可得tan∠BAT=,可设TB=h,则AT=2.4h,由勾股定理可得,即可求解,(2) 作DK⊥MN于K,作DL⊥CH于L, 在△ADK中,AD=AB=65,KD=BT=25,得AK=60,在△DCL中,∠CDL=30°,令CL=x,得LD=, 易知四边形DLHK是矩形,则LH=DK,LD=HK,在△ACH中,∠CAH=60°,CH=x+25,得AH=, 所以,解得,则CH=. 试题解析:（1）在△ABT中,∠ATB=90°,BT:AT=1:2.4,AB=130, 令TB=h,则AT=2.4h, 有, 解得h=50（舍负）. 答:坡AB的高BT为50米. （2）作DK⊥MN于K,作DL⊥CH于L, 在△ADK中,AD=AB=65,KD=BT=25,得AK=60, 在△DCL中,∠CDL=30°,令CL=x,得LD=, 易知四边形DLHK是矩形,则LH=DK,LD=HK, 在△ACH中,∠CAH=60°,CH=x+25,得AH=, 所以,解得, 则CH=. 答:建筑物高度为89米. 【典例13】．．如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】(1) (2)树的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等角对等边等等： （1）如图所示，延长交于G，过点C作于H，先得到，进而推出，再求出，则可推出，得到； （2）先解得到，再解得到，则． 【解析】（1）解：如图所示，延长交于G，过点C作于H， ∵， ∴， ∵小山的斜坡的坡度， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；    （2）解：中，， 在中，， ∴， ∴树的高度约为． 题型5：仰角、俯角问题—单直角三角形 【典例14】．．在高为30米的高楼窗户处测得地面花坛中心标志物的俯角为，那么这一标志物离高楼的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．利用解直角三角形的知识知一边和角求另一边即可． 【解析】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴米． 故答案为： 【典例15】．．如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为 m（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长． 【解析】解：过点D作交于点E，如图： 则四边形BCED是矩形， ∴BC=DE，BD=CE， 由题意可知：，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 【典例16】．．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为，已知的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为 米． 【答案】3.2 【分析】根据三角函数定义可知，可得的长，再根据，即可解答． 【解析】解：由题意可得：， 解得 故答案为3.2 【点睛】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是利用三角函数的定义求得的长． 题型6：双仰角或俯角问题 【典例17】．．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120 m，这栋楼的高度BC是 m（≈1.732，结果取整数）． 【答案】277 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案． 【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m， 在Rt△ABD中， 在Rt△ACD中， ∴ 故答案为：277 【点睛】本题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键． 【典例18】．．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为 ．(点都在同一平面上，结果保留根号)    【答案】米 【分析】作于点E，作于点F，由得米，由AB=57知米，由四边形BCEF是矩形知米，由知米，从而得到 米． 【解析】过点D作于点E，作于点F，    由题可得： AB=57，DE=30，，， 在Rt△ADE中，， ∴， ∴， ∵AB=50， ∴， ∵四边形BCEF是矩形， ∴， 在Rt△DCF中，， ∴， ∴， ∴米． 故答案为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，根据题意构造直角三角形是解题的关键． 【典例19】．．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为 米． 【答案】1200 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度． 【解析】解：作交于点，如图所示， ，， ， ， ， 故答案为：1200． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 【典例20】．．如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（        ） A．a米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】过作，垂足为，在和中分别求得的值，然后由即可获得答案． 【解析】解：过作，垂足为，如下图， 由题意有：，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴米． 故选：D． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，正确理解俯仰角是解题关键． 题型7：仰角或俯角综合类 【典例21】．．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)电线塔的高度． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【解析】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 【典例22】．．学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园高度为米，则旗杆的高度约为（    ）（参考数据：，，） A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角与俯角问题以及坡度问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 延长、交于点G，作于H，于M，则是等腰直角三角形，得，由的坡度得，设米，则米，米，米，在中，由三角函数定义得出，解得，进而得出答案． 【解析】解：如图，延长、交于点G，作于H，于M， 则，米，米，，，∠， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的坡度， ∴, ∴， 设米，则米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米； 故选：B． 【典例23】．．如某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在A处测得教学楼的顶部的仰角为，向前走到达E处，测得教学楼的顶部的仰角为，已知小明的身高为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼的高度约（    ）m（结果精确到，参考数据：）．    A．27.3 B．28.9 C．31.3 D．35.9 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，设，解可得，则，然后在中，解直角三角形求出x，即可得出答案． 【解析】解：如图，延长交于H，    由题意得，，，， 设， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选B． 【典例24】．．图1是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩的高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知桥墩底端点B到河岸的参照点C的距离米，斜坡的长为54米，斜坡与水平面的夹角，坡顶平台，米，在E处测得桥墩顶端点A的仰角． (1)求平台到水平面的垂直距离； (2)求桥墩的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)平台到水平面的垂直距离为27米 (2)桥墩的高度大约为94米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形的特征，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作，垂足为H，根据含30度角的直角三角形的特征进行求解即可； （2）延长交于点，则，四边形为矩形．由矩形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解析】（1）解：如图，作，垂足为， ， ， ， ， ， 答：平台到水平面的垂直距离为27米； （2）如图，延长交于点，则， 四边形为矩形． ，， 在中，，，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 答：桥墩的高度大约为94米． 题型8：方位角问题 【典例25】．．如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 【答案】(1)20米 (2)该车没有超过限速，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出的长是解题的关键． （1）首先利用列方程求出米，然后求出米，进而求解即可； （2）首先求出该车的速度，进而比较求解即可． 【解析】（1）∵米， ∴，即 ∴米， ∵ ∴ ∴米， ∴米； （2）∵米千米，该车从点点行驶到点所用时间为1秒小时 ∴该车的速度为千米/小时， ∵ ∴该车没有超过限速． 【典例26】．．如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 【答案】(1)A市不会受到此台风的影响，原因见解析 (2)B市会受到此台风的影响，原因见解析 (3)1.5小时 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （2）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （3）令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，利用勾股定理及等腰三角开的性质求出的长度，除以风速即为影响时间． 【解析】（1）解：A市不会受到此台风的影响，原因如下： 作，易知台风中心O与A市的最近距离为的长度，    由题意得：，， ， A市不会受到此台风的影响； （2）解：如图，作于G，    由题意得：，， ， B市会受到此台风的影响； （3）解：如图，令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，    在中，由勾股定理得， ，， ， 台风速度为40千米/小时， 影响时间为（小时）． 【典例27】．．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上． (1)若过点P作于点C，则 (直接写出计算结果) (2)求A，P两点之间的距离； (3)①若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． ②如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多 °的方向航行能安全通过这一海域？(直接写出计算结果) 【答案】(1) (2)80海里 (3)①有触礁危险，理由见详解；② 【分析】本题主要考查方位角解直角三角形和勾股定理的应用， （1）根据题意即可知即可求得答案； （2）根据题意得为等腰直角三角形，则利用，即可求得，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得A，P两点之间的距离； （3）①由（2）知，，结合实数大小比较即可判断出海监船由B处继续向东航行有触礁危险；②若以r为半径，点P为圆心画圆弧，过点B作，则， 求得，有，则即可． 【解析】（1）解：由题意得，，，则， 故答案为：； （2）∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则 ∵， ∴， ∴， 答：A，P两点之间的距离为80海里； （3）①由（2）知，， 则， 那么，海监船由B处继续向东航行有触礁危险； ②若以r为半径，点P为圆心画圆弧，过点B作，如图， ∵， ∴， 则， ∴，即， 则， 那么，海监船由B处开始沿南偏东至多的方向航行能安全通过这一海域． 题型9：解直角三角形的应用难点分析 【典例28】．．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．      (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【解析】（1）解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：．    （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了．    【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． 【典例29】．．如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段为屋内地面，线段、为房屋两侧的墙，线段、为屋顶的斜坡．已知米，米，斜坡、的坡比均为1∶2． （1）求屋顶点D到地面的距离： （2）已知在墙距离地面1．1米处装有窗，如果阳光与地面的夹角，为了防止阳光通过窗照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即，长度为1．4米，即米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：，，，，，，．） 【答案】（1）屋顶点D到地面的距离米；（2）公司设计的遮阳棚能达到小明的要求，理由见解析 【分析】（1）过点D作DG⊥AB于G，连接CE交DG于H，根据矩形的判定定理证出四边形ABCE为矩形，从而求出HG=BC=米，然后根据坡比列出方程即可求出DH，从而求出结论； （2）过点S作SQ∥MN，过点E作EK⊥SQ，只需比较EK与EF的大小关系即可判断，在Rt△SEK中，解直角三角形即可求出EK，从而得出结论． 【解析】解：（1）过点D作DG⊥AB于G，连接CE交DG于H ∵米，AE∥BC ∴四边形ABCE为平行四边形 ∵CB⊥AB ∴∠ABC=90° ∴四边形ABCE为矩形 ∴CE∥AB，且CE=AB=6 ∵DH⊥EC ∴HG=BC=米 ∵斜坡、的坡比均为1∶2 ∴DH：CH=1∶2，DH：EH=1∶2 设DH=x，则CH=2x，EH=2x ∵CH＋EH=CE ∴2x＋2x=6 解得：x= 即DH=米 ∴屋顶点D到地面的距离DG=DH＋HG=米 答：屋顶点D到地面的距离米． （2）公司设计的遮阳棚能达到小明的要求，理由如下： 过点S作SQ∥MN，过点E作EK⊥SQ，只需比较EK与EF的大小关系即可判断 ∵阳光与地面的夹角， ∴SQ与水平线的夹角也为 ∴∠ESK=90°－53°=37° ∴∠SEK=90°－∠ESK=53° ∵AE=米，AS=1.1米 ∴SE=AE－AS=米 ∴EK=SE·cos∠SEK≈×=米＜米 即EK＜EF ∴公司设计的遮阳棚能达到小明的要求． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用和矩形的判定及性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形、坡比的定义是解题关键． 【典例30】．．上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 【答案】(1)30 (2)上海中心大厦（SH）的高度为632米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设教学楼（）的高度为x米，根据题意列方程即可得到结论； （2）方案1，设米，过点A作，垂足为点E，根据矩形的性质得到（米），解直角三角形得到上海中心大厦（）的高度为632米；方案2，设米，解直角三角形即可得到结论． 【解析】（1）解：设教学楼（）的高度为x米， 根据题意得， 解得， 答：教学楼（）的高度为30米， 故答案为：30； （2）解：方案1，设米，过点A作，垂足为点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（米） 在中，， ， 在中，， ， ∴， 解得：， ∴上海中心大厦（）的高度为632米； 方案2，设米， 在中，， , 在中，， , ∴， 解得， ∴上海中心大厦（）的高度为632米． 一、单选题 1．如果斜坡的坡度为，那么这条斜坡的坡角为（　　） A．75度 B．60度 C．45度 D．30度 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据坡角的正切坡度，列式可得结果． 【解析】解：设这个斜坡的坡角为， 由题意得：， ． 故选：D． 2．进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，仰角俯角，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 根据题意，得到，利用已知角的正弦，求出答案． 【解析】解：如图，在中， 米，， ， （米）， 故选：． 3．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值． 【解析】解：∵， 米， 故选：A． 4．如图，已知直线为水平线，，从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了俯角的定义，根据俯角是往下看，观测者的视线与水平线的夹角即为俯角，结合图形，即可求解． 【解析】解：∵直线为水平线，， ∴从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是， 故选：B． 5．如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了仰角问题，过作于点，则四边形是矩形，根据性质和三角函数即可求解，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握三角函数的应用． 【解析】如图，过作于点， 则有四边形是矩形， ∴米，米，， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米 【答案】B 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【解析】解：如图： ， ， 千米， 千米，千米， 千米， 千米， 故选B． 【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出解答． 7．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念， 当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差． 【解析】解：如图：过作于， 中，厘米，， ． （厘米）． 故选：D． 8．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】过点P作于点C，则这条河的宽度是的长，根据锐角三角函数可得，从而得到，即可求解． 【解析】解：如图，过点P作于点C，则这条河的宽度是的长， ∵， ∴， ∵米， ∴， 即， ∴， 即米， 即这条河的宽度是米， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 9．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可． 【解析】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N 由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm， ∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9， ∴BC≈67cm， ∴CEBC−BE＝67−40＝27cm． 故选B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键． 10．某同学利用数学知识测量建筑物的高度，他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，点在同一平面内，建筑物和测角仪与水平方向垂直，若米，则此建筑物的高度约为（　　）（精确到米，参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，由坡度的定义和勾股定理得出的长，再由等腰直角三角形的性质得出的长，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【解析】解：如图，过点作于，过作于， 则， ∵， ∴设米，则米， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴， ∴米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 故选：． 二、填空题 11．已知斜坡坡度为，如果斜坡长为米，那么斜坡的高为 米． 【答案】60 【分析】设斜坡的高3x米，水平宽度为4x米，根据勾股定理计算即可． 【解析】解： ∵斜坡坡度为3：4， ∴设斜坡的高3x米，水平宽度为4x米， 由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=1002， 解得，x=20， 即斜坡的高为3×20=60（米）， 故答案为：60． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 12．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为 米．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案． 【解析】解：首先过点A作于点D，如下图所示， 则，，米， 在中，米， 在中，米， ∴米． 故答案为： 13．如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，如果，，那么立柱的长度是 米． 【答案】5 【分析】本题考查含的直角三角形知识，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．含角的直角三角形，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半即可求解． 【解析】解： 垂直于横梁，，． ． 故答案为：5． 14．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为 米． 【答案】1200 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度． 【解析】解：作交于点，如图所示， ，， ， ， ， 故答案为：1200． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 15．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝ 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】过A点作AD⊥BC交BC于D点，根据题意得到四边形APBD是正方形，求出DB的长度，然后根据仰角β＝60°的三角函数值和AD=30求出DC的长度，即可求出大楼的楼高BC的长度． 【解析】解：如图所示，过A点作AD⊥BC交BC于D点， ∵，，， ∴四边形APBD是矩形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形APBD是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线AD，根据三角函数值求解． 16．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为 ．(点都在同一平面上，结果保留根号)    【答案】米 【分析】作于点E，作于点F，由得米，由AB=57知米，由四边形BCEF是矩形知米，由知米，从而得到 米． 【解析】过点D作于点E，作于点F，    由题可得： AB=57，DE=30，，， 在Rt△ADE中，， ∴， ∴， ∵AB=50， ∴， ∵四边形BCEF是矩形， ∴， 在Rt△DCF中，， ∴， ∴， ∴米． 故答案为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，根据题意构造直角三角形是解题的关键． 17．如图，已知斜坡长为，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡角为，则平台的长为 ．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解直角三角形，求出，再解直角三角形，求出，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵ ， ∴，， ∵，点是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平台的长约为， 故答案为：． 18．一款闭门器按如图1所示安装，支点，分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则的长为 cm．如图3，门板绕点旋转，当时，点到门框的距离，则的长为 cm． 【答案】 【分析】过作，为垂足，利用三角函数和勾股定理求出、即可求解；连接，作，为垂足，为的对应点，设，分别表示出、、、，用勾股定理即可求解． 【解析】 解：过作，为垂足， ， ， ， ， ， ，      ． 故答案：． 解：如图，连接，作，为垂足，为的对应点， ， ， ， ， 设，则， ， 由题空1得：，， ， 又 ， ， 即：， 整理得：， 解得：，（舍去）， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构建直角三角形，熟练利用勾股定理及三角函数是解题的关键． 三、解答题 19．如图，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶宽5米，坝底宽33米，坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，求：水坝横截面的面积． 【答案】水坝横截面的面积为152平方米 【分析】根据坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，坝顶宽5米，坝底宽33米，设AE=DF=2x米，则BE=4x米，CF=3x米，可得方程，可以求得AE=8米，根据梯形面积公式，即可得到水坝横截面的面积． 【解析】∵i1=1:2,背水坡的坡度i2=2:3 设AE=DF=2x米，则BE=4x米，CF=3x米 ∵AD=5米 ∴EF=5米 ∵BC=33米 ∴AE=8米 ∴水坝横截面的面积为平方米． 【点睛】本题考查了坡度的求解，根据坡度求得，的长是解题的关键． 20．如图，小明一家从家所在地自驾前往古镇游玩，古镇在小明家的正北方向千米处，由于道路清障，小明一家先从沿西北方向行驶至地，再从地沿北偏东方向行驶至古镇，求小明一家从地到地实际行驶的路程是多少千米？（结果精确到千米） （参考数据：，，，） 【答案】从地到地实际行驶的路程是千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，先解，设，则,，解，进而求得，，进而根据，即可求解． 【解析】解：如图所示，过点作于点， ∵点在点的西北方向， ∴， ∴，， ∵点在点的北偏东方向， ∴， ∵， 设，则,， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（千米） 答：从地到地实际行驶的路程是千米． 21．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．） (1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米） (2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由． 【答案】(1)167.79米 (2)能，理由见解析 【分析】（1）过点M作，交AC的延长线于D，设．解，得，解，得，进而可得，解方程即可； （2）作，交l于点F．解求出DF，进而求出AF，与AB比较大小即可． 【解析】（1）解：过点M作，交AC的延长线于D，设． ∵在中，， 又∵在中，， ∴， ∵， ∴． ∴（米）． 即轮船M到海岸线l的距离约为167.79米． （2）解：作，交l于点F． 在中，有：（米）， ∴． ∴该轮船能行至码头靠岸． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点处，在此处测得大树顶端的仰角为，且斜坡的坡度为，于点，点、、在一条直线上． (1)求乙同学从点到点的过程中，上升的竖直高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)的高度为米 【分析】（1）在中，，则，根据勾股定理，即可求解； （2）如图所示（见详解），过点作于点，设米，在矩形中，米，米，在中，米，，且，由此即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴米． ∴乙同学从点到点的过程中，上升的竖直高度为米． （2）解：如图，过点作于点，设米， 在中，， ∴米， 由（1）得米， 在矩形中，米， 米， 在中，米， ∵，且， ∴，解方程得，米， ∴大树的高度为米． 【点睛】本题主要是解直角三角形，勾股定理的应用，掌握勾股定理的运算，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 23．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在A、B两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板所成的角度为．（参考数据：）    (1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差． (2)求这段细绳的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，进而得出答案； （2）根据题意得出，进而得出的长，进而得出答案. 【解析】（1）解：连接交于点, 可知,    由题意可得则 故之间的高度差为； （2）由 知, 的高度差也是, 故, 解得： 则 答: 这段细绳的长度为. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出与的关系是解题关键. 24．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上． （1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE． （2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？    【答案】（1）（20+5）cm；（2）比原来降低了（10﹣10）厘米． 【分析】（1）作BO⊥DE于O，根据矩形的判定，可得四边形ABOE是矩形，先求出∠DBO，然后根据锐角三角函数即可求出OD，从而求出DE； （2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，根据锐角三角函数，即可求出CG，从而求出KH，再求出∠DCK，利用锐角三角函数即可求出DK，从而求出此时连杆端点D离桌面l的高度，即可求出结论. 【解析】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．   ∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°， ∴四边形ABOE是矩形， ∴∠OBA＝90°， ∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°， ∴OD＝BD•sin60°＝20（cm）， ∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm； （2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE， 由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH， ∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝， ∴CG＝10cm， ∴KH＝10cm， ∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°， 在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝， ∴DK＝10cm， ∴此时连杆端点D离桌面l的高度为10+10+5=（15+10）cm ∴比原来降低了（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10， 答：比原来降低了（10﹣10）厘米．    【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握构造直角三角形的方法和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键. 25．图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区． (1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； (2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行． 表：轮椅坡道的最大高度和水平长度 坡度 1：20 1：16 1：12 1：10 1：8 最大高度（m） 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30 水平长度（m） 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40 【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m (2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析 【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； （2）根据坡度的定义求出新方案斜坡 的水平距离进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可． 【解析】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点 和点，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点，射线FC过点，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，E＝5m， ∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即＝1：2.4， ∴AE＝4×2.4＝9.6（m）， 又∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AE＝DF＝9.6m， ∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m）， AB＝＝＝10.4（m）＝CD， ∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m）， 答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m． （2）解：∵斜坡的坡度为1：4，即＝1：4， ∴E＝5×4＝20（m）， ∴A＝20﹣9.6＝11.4（m）， G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m）， ∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m）， 点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m）， ∵14.2＜14.4， ∴轮椅坡道的设计不可行． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键． 26．钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人． 图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． 问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． 问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． 问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】问题一：影长米；问题二：；问题三： 【分析】问题一：过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，则可得四边形为矩形，则有；在中，由勾股定理求得，则可求得的值，在在中，利用正弦函数关系则可求得； 问题二：延长交于点，由平行线分线段成比例定理得G点是中点；及中，利用三角函数分别求出，分点N在点E右侧、点N在点E左侧、点N与点E重合三种情况，即可求解； 问题三：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，利用解直角三角形知识分别求出，由，即可求得h的范围． 【解析】问题一 解：当点E和点N重合时，过点D作，交于点F，过点N作，交于点H， ， ， 四边形为矩形，米， ， ， 由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得米， 则， 在中，， 解得米，即影长为米， 问题二 解： 延长交于点， ， ，即， 中，，则， ， 在中，， ，则， 当点N在点E右侧时，， 则， 当点N在点E左侧时，， 则， 当点N与点E重合时，，即， 综上所述，； 问题三 解：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R， 当时，都为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 由题可知：， ， 当时，解得： ， 即． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，构造适当辅助线得到直角三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 64 页 共 64 页 学科网（北京）股份有限公司 $$