精品解析：沪科版2023-2024学年九年级数学上册期末复习试题：二次函数和反比例函数

九年级上册期末复习之二次函数和反比例函数 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 若，则 D. 若，则 2. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知抛物线y=x2－8x+c的顶点在x轴上，则c的值是（ ） A. 16 B. -4 C. 4 D. 8 4. 二次函数的图象与x轴交于、两点，则关于x的方程的根为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 方程近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 小敏在一次投掷实心球的训练中，掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致满足二次函数，则小敏此次成绩为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平面直角坐标系中，点，点在函数的图象上，则的值为（ ） A. 9 B. 14 C. 30 D. 35 8. 某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（ ） A. 13米 B. 14米 C. 15米 D. 16米 9. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间（不包含端点）．下列结论中： ①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为方，．正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 11. 若反比例函数图象在第二、四象限，则m的取值范围是______ ． 12. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，与轴的另一个交点坐标为________． 13. 如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是________． 14. 如图，A，B两点在反比例函数的图像上，C，D两点在反比例函数的图像上，轴于点E，轴于F，，，，则的值是________． 三．解答题（共9小题，分值8＋8＋8＋8＋10＋10＋12＋12＋14＝90分） 15. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出它的开口方向、对称轴． 16. 已知，与成反比例，与x成正比例，且当，，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当时的函数值． 17. 如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点． （1）求m的值和反比例函数解析式； （2）当时，求x的取值范围． 18. 已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表： （1）求的表达式； （2）当时，求的取值范围． （3）关于不等式的解集是________． 19. 新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y=-x2+2x+3的“图象数”为[-1，2，3] （1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为 ． （2）若图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 20. 百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21. 如图二次函数的图象与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过点B，D． （1）求二次函数的解析式，对称轴； （2）连结，在抛物线上找一点P使得，求点P坐标． 22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 23. 如图1，抛物线经过点，C是抛物线上A，B两点之间的一个动点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，过点C作轴，垂足为D，求线段长度的最大值． （3）如图3，连接，设四边形的面积为S，求S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册期末复习之二次函数和反比例函数 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，图象经过点，此选项正确，不符合题意； 、由得，图象位于第二、四象限，此选项正确，不符合题意； 、若，则，此选项正确，不符合题意； 、若，则，此选项不正确，符合题意； 故选：． 2. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∴顶点在第三象限． 故选：C． 3. 已知抛物线y=x2－8x+c的顶点在x轴上，则c的值是（ ） A. 16 B. -4 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答． 【详解】∵二次函数y=-8x+c的顶点的横坐标为x=-=-=4， ∵顶点在x轴上， ∴顶点的坐标是(4，0)， 把(4，0)代入y=-8x+c中，得：16-32+c=0， 解得：c=16， 故选：A． 【点睛】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单． 4. 二次函数的图象与x轴交于、两点，则关于x的方程的根为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于、两点， 方程根为，， 故选：D． 5. 方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】逐项分析即可． 【详解】A、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； B、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故正确； C、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； D、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 6. 小敏在一次投掷实心球的训练中，掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致满足二次函数，则小敏此次成绩为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意可知实心球落地时，即求的解即可，根据题意取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 【详解】解：当时，， 整理得． 解得：（舍），． 则小敏此次成绩时8米． 故选：C． 7. 如图，平面直角坐标系中，点，点在函数的图象上，则的值为（ ） A. 9 B. 14 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题型，相似三角形的判定和性质，利用三角形相似求出点C的坐标，熟练掌握待定系数法求反比例函数的比例系数是解决此题的关键． 作轴于，证明，求出，，得出，求出． 【详解】解：作轴于，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：，， ∴， ∴． 将点C的坐标代入反比例函数解析式中，得 解得：． 故选：B． 8. 某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（ ） A. 13米 B. 14米 C. 15米 D. 16米 【答案】C 【解析】 【分析】以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当时y的值即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线表达式为， 由题意可知，B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 答：与距离为5米的景观灯杆的高度为15米， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． 9. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 10. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间（不包含端点）．下列结论中： ①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为方，．正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的顶点坐标可得到．；由题意可知，再由抛物线的顶点坐标可求，从而进一步可求n的范围为，即可求出判断结论①； 由，，即可得出a的取值范围，判断结论②； 由 ，可知，又因为，可判断结论③； 将一元二次方程可化为，因为，则有，解方程即可判断结论④． 【详解】解：∵顶点坐标为， ∴其对称轴．即． ∵抛物线与x轴交于点， ，即． ： ∵抛物线与y轴的交点在和两点之间（不包含端点）， ． ∵顶点坐标为，即当时，有， ． 又， ， ． ．故①正确； ． 又即． ，故②正确； ． 即， ， ． ，故③正确； ∵一元二次方程可化为． 又． ∴可有． 解方程，得，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，运用数形结合思想分析问题是解题的关键． 二．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 11. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限，，解不等式即可得结果． 【详解】解：由于反比例函数的图象在第二、四象限， 则， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，时，函数图象位于一、三象限；时，函数位于二、四象限． 12. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，与轴的另一个交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数表达式可求出对称轴为，根据对称轴等于即可求解，本题主要考查二次函数对称轴，二次函数与轴交点的关系，掌握对称轴的计算方法是解题的关键． 【详解】解：已知抛物线， ∴对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为，设另一个交点坐标为， ∴，解得，， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 13. 如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于、两点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是， 故答案为：． 14. 如图，A，B两点在反比例函数的图像上，C，D两点在反比例函数的图像上，轴于点E，轴于F，，，，则的值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，根据反比例函数k的几何意义，得到，结合，，，，列式计算即可，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 【详解】连接，根据反比例函数k的几何意义，得到， ∵，，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：6． 三．解答题（共9小题，分值8＋8＋8＋8＋10＋10＋12＋12＋14＝90分） 15. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出它开口方向、对称轴． 【答案】(1) y＝－ (x＋1)2＋2；(2)向下， x＝－1. 【解析】 【详解】试题分析： （1）由二次函数的图象的顶点坐标为（-1，2）可设其解析式为：，再代入点B（1，-3）就可求出的值，从而得到此函数的解析式； （2）根据（1）中所求得的这个二次函数的解析式可以知道其图象的开口方向和对称轴. 试题解析： (1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2， 把点(1，－3)代入，得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－ (x＋1)2＋2. (2)由抛物线的解析式为：y＝－ (x＋1)2＋2，可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1. 点睛：（1）抛物线的开口方向是由二次函数表达式中“”的值确定的，当时，开口向上，当时，开口向下；（2）要求抛物线的顶点坐标或对称轴，就把抛物线的表达式化为“顶点式：”，则其顶点坐标为：，对称轴为直线：. 16. 已知，与成反比例，与x成正比例，且当，，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，把，和，分别代入求解即可得； （2）把代入解析式计算可得答案． 【小问1详解】 解：设，， ∴， 把，和，分别代入，，得 ， 解得， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义、正比例函数的定义，掌握其概念是解决此题关键． 17. 如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点． （1）求m的值和反比例函数解析式； （2）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式； （2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 将点代入得： 解得： 将代入得： ∴ 【小问2详解】 由得：，解得 所以的坐标分别为 由图形可得：当或时， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质． 18. 已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表： （1）求的表达式； （2）当时，求的取值范围． （3）关于的不等式的解集是________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）二次函数的性质，求出范围即可； （3）根据表格确定两个函数的交点的横坐标，即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为， ∴顶点坐标为：， ∴设函数解析式为：， 把，，代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵抛物线的对称轴为，， ∴当时，随的增大而增大， ∴时，，有最小值：；有最大值：， ∴； 【小问3详解】 由表格可知：当和时，， 即：两个函数图象的交点为：， 由表格可知：当时，， ∴当或时，， ∴不等式的解集为：或； 故答案为：或 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点问题．从表格中有效的获取信息，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 19. 新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y=-x2+2x+3的“图象数”为[-1，2，3] （1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为 ． （2）若图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 【答案】（1）[，−1，−1]；（2）m1＝−1，m2＝. 【解析】 【分析】（1）利用“图象数”的定义求解； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1，然后根据判别式的意义得到△＝（m＋1）2−4m（m＋1）＝0，从而解m的方程即可． 【详解】解：（1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为[，−1，−1]； 故答案为[，−1，−1]； （2）二次函数的解析式为y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1， 根据题意得：△＝（m＋1）2−4m（m＋1）＝0， 解得：m1＝−1，m2＝． 【点睛】本题考查了新定义及抛物线与x轴的交点问题，把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键． 20. 百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为10元时，该超市每天销售利润最大，最大利润为980元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设利润为w元， 当时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当x=10时，w取得最大值，此时w=980， ∵980>480， ∴当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元， 答：当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元． 21. 如图二次函数的图象与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过点B，D． （1）求二次函数的解析式，对称轴； （2）连结，在抛物线上找一点P使得，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为；对称轴为直线 （2），，或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质． （1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值，求出二次函数解析式，配方后可得抛物线的对称轴； （2）根据对称性质求出点D坐标，由三角形面积公式求出的面积，设，根据列出方程，求出m的值即可解决问题． 小问1详解】 ∵二次函数的图象与x轴交于点，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 又， 所以，抛物线的对称轴为直线， 【小问2详解】 ∵抛物线的解析式为，令则， ∴点C的坐标为 ∵抛物线的对称轴为直线，点C，D关于对称轴对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则有： ， ∵， ∴ ∴或； 当时，解得，，； 当时，解得，，； ∴点P的坐标为，，或 22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【答案】（1），不能 （2）米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）求出抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，用待定系数法可得；当时，，知球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入即可． 解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得：（舍去）或． ∴当时他应该带球向正后方移动米射门，才能让足球经过点O正上方处． 23. 如图1，抛物线经过点，C是抛物线上A，B两点之间的一个动点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，过点C作轴，垂足为D，求线段长度的最大值． （3）如图3，连接，设四边形的面积为S，求S的最大值． 【答案】（1） （2） （3）16 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求出函数解析式， （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将的长转化为二次函数求最值即可； （3）连接，过点作轴，交于点，根据四边形的面积，列出二次函数解析式，求最值即可． 根据二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 设， ∵轴， ∴， ∴当时，有最大值为． 【小问3详解】 连接，设解析式为， 则：，解得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， 整理，得：， ∴当时，有最大值为16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$