精品解析：2023-2024学年人教新版八年级下册数学期末复习试题

2023－2024学年人教新版八年级下册数学期末复习试卷 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下各组数为边长能构成直角三角形是（　　） A. 5，11，12 B. 2，， C. ，， D. 9，12，15 3. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，，下列说法错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若，四边形是菱形 C. 若，四边形是矩形 D. 若，四边形是正方形 4. 下列计算正确的是（　　） A. +＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ＝4 5. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 每年的4月23日是世界读书日．某校为了解4月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如表格所示．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） 册数 0 1 2 3 4 人数 6 14 16 12 2 A. 众数16 B. 中位数是2 C. 平均数是2 D. 方差是1 7. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 关于函数的图象，下列结论错误的是（　　） A. 图象经过一、二、四象限 B. 与y轴的交点坐标为 C. y随x增大而减小 D. 图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为 9. 已知▱ABCD的周长是26，△ABC的周长是18，则AC的长为(　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点B的坐标为，顶点A在y轴上，直线与交于点D，点E为的中点，点P为直线上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 13. 已知数轴上的两点A、B所对应的数分别是和，那么A、B两点的距离等于________． 14. 如图，在平行四边形 ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC与点E，若BF = 12，AB = 10，则AE的长为_____． 15. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解为_______． 16. 如图，矩形是由六个正方形组成，其中最小正方形的面积为1，则此矩形的长为________，宽为________． 三．解答题（共8小题，满分56分） 17. 计算： 18. 如图，点E、A、B、F在同一条直线上，与交于点O，已知，．求证： （1）； （2）． 19. 小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%出售． （1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ （2）写出甲、乙两个商店中，收款y（元）关于购买本数x（本）（x＞10）的关系式，它们都是正比例函数吗？ 20. 学校为了了解家长对家庭教育知识的掌握情况，开展了问卷调查，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下： 整理数据： 3 4 a 8 分析数据： 平均分 中位数 众数 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出上述表格中a，b，c的值； （2）该校有名家长参加了此次问卷调查活动，请估计成绩不低于分的人数是多少？ （3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义， 21. 如图，在中，于E，于F，若，，，求的周长和面积． 22. 如图，小芳用一根棍子把小树支撑扶直，已知支撑点到地面的距离米，棍子的长度为米，求点到小树底部的距离．(结果保留根号) 23. 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800 1600 B地区 1600 1200 （1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来； （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线与x轴负半轴交于点C，且．直线与直线交于点D，点P在x轴上． （1）求直线的解析式； （2）若，求点P的坐标； （3）如图2，连接，若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年人教新版八年级下册数学期末复习试卷 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式有意义条件列不等式可得答案． 【详解】解：由式子在实数范围内有意义， 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 2. 以下各组数为边长能构成直角三角形的是（　　） A. 5，11，12 B. 2，， C. ，， D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵，∴以5，11，12为边长的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，以2，，为边长的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，以、、为边长的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，以9，12，15为边长的三角形是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键． 3. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，，下列说法错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若，四边形是菱形 C. 若，四边形是矩形 D. 若，四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及正方形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、若，则平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、若，则平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、若，则平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项D符合题意． 故选：． 4. 下列计算正确的是（　　） A. +＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ＝4 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把 化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断． 【详解】解：A、与不能合并，所以A选项不正确； B、-=2−=，所以B选项正确； C、×=，所以C选项不正确； D、=÷=2÷=2，所以D选项不正确． 故选B． 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算． 5. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度． 故选C． 6. 每年的4月23日是世界读书日．某校为了解4月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如表格所示．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） 册数 0 1 2 3 4 人数 6 14 16 12 2 A. 众数是16 B. 中位数是2 C. 平均数是2 D. 方差是1 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断． 【详解】解：A、由出现次数最多的数据是2册，所以众数是2册，结论错误，故A不符合题意； B、排在最中间的两个数据分别是2和2，所以中位数是2册，结论正确，故B符合题意； C、平均数是（0×6+1×14+2×16+3×12+4×2）÷50=1.8（册），结论错误，故C不符合题意； D、方差= ，结论错误，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各自的定义及计算方法是解题关键． 7. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质得出，结合得出，再由三角形中位线定理即可得出． 【详解】解：，点是的中点，， ， ， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 8. 关于函数的图象，下列结论错误的是（　　） A. 图象经过一、二、四象限 B. 与y轴的交点坐标为 C. y随x的增大而减小 D. 图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数，当，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降是解答此题的关键．根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、由，知，该图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B、当时，，则图象与轴的交点坐标为，故本选项符合题意． C、由知，的值随的增大而减小，故本选项不符合题意． D、图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为：，故本选项不符合题意． 故选：B． 9. 已知▱ABCD的周长是26，△ABC的周长是18，则AC的长为(　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出平行四边形的邻边长的和为13，进而利用△ABC的周长是18求出AC即可． 【详解】如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC． ∵▱ABCD的周长是26，△ABC的周长是18， ∴2(AB+BC)=26，即AB+BC=13，AB+BC+AC=18， ∴AC=5． 故选：A． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握平行四边形又两组对边分别平行且相等的性质. 10. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的平移结合函数图象得出经过，进而即可求解． 【详解】解：∵经过， ∴经过， ∴不等式的解集是， 故选：C． 11. 如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：，点A的对应点D落在边的三等分点处，设BN＝x， 则和，， 在中，， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 故选D． 【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B的坐标为，顶点A在y轴上，直线与交于点D，点E为的中点，点P为直线上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，与直线的交点即为P点，此时，的周长最小，最小值为，根据待定系数法求得直线的解析式，即可求得P的坐标． 【详解】解：连接，与直线的交点即为P点，此时，，则的周长最小，最小值为， ∵正方形的顶点B的坐标为，顶点A在y轴上， ∴， ∴O、C关于直线对称，则， ∴， ∴周长的最小值为， ∵，点E为的中点， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得 ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求得P的位置是解题的关键． 二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 13. 已知数轴上的两点A、B所对应的数分别是和，那么A、B两点的距离等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法运用， 数轴上两点之间的距离，根据两点A、B所对应的数分别是和，则A、B两点的距离等于，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形 ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC与点E，若BF = 12，AB = 10，则AE的长为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题． 【详解】解：由题意可知：AB=AF，AE⊥BF， ∴OB=OF，∠BAE=∠EAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=AF， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴OA=OE，OB=OF=BF=6， 在Rt△AOB中，OA==8， ∴AE=2OA=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形． 15. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与两个函数图象交点坐标的关系，根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：观察图象可知两个函数图象交于点， 即同时满足两个函数解析式， 所以关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 16. 如图，矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，则此矩形的长为________，宽为________． 【答案】 ①. 13 ②. 11 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和正方形的性质；设右下角的正方形的边长为x，由正方形的性质得，，列出方程，即可求解；能根据矩形的性质和正方形的性质表示出最大正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：如图， 最小正方形的面积等于1， 最小正方形的边长为1， 设右下角的正方形的边长为x， ，， 最大正方形的边长可表示为，也可表示为， ， 解得：， ，， 故答案为：13；11． 三．解答题（共8小题，满分56分） 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】根据实数的混合运算法则即可求解． 【详解】 = = =4． 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质及运算法则． 18. 如图，点E、A、B、F在同一条直线上，与交于点O，已知，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解答关键是熟知全等三角形的判定方法和性质． （1）求出，根据推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理得出即可． 【小问1详解】 证明：（1）∵，, ∴， 在和中 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵，，， ∴． 19. 小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%出售． （1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ （2）写出甲、乙两个商店中，收款y（元）关于购买本数x（本）（x＞10）的关系式，它们都是正比例函数吗？ 【答案】（1）买20个练习本，到甲商店或乙商店均可；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据两商店的优惠条件分别求出购买的金额，比较即可得到答案； （2）分别列函数关系式即可判断． 【详解】解：（1）在甲商店购买需1×10+1×(20-10)×70%=10+7=17(元)， 在乙商店购买需1×20×85%=17(元)， 17元=17元，故买20个练习本，到甲商店或乙商店均可； （2）在甲商店购买y甲=1×10+1×(x-10)×70%=x+3 (x>10) 不是正比例函数， 在乙商店购买y乙=1×85%x=x (x>10) 是正比例函数． 【点睛】此题考查有理数混合运算的实际应用，正比例函数的实际应用，正确理解题意列得关系式是解题的关键． 20. 学校为了了解家长对家庭教育知识的掌握情况，开展了问卷调查，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下： 整理数据： 3 4 a 8 分析数据： 平均分 中位数 众数 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出上述表格中a，b，c的值； （2）该校有名家长参加了此次问卷调查活动，请估计成绩不低于分的人数是多少？ （3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义， 【答案】（1），， （2）人 （3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是分 众数：在统计的问卷的成绩中，得分的人数最多 【解析】 【分析】（1）用总人数减去已知人数即可得到a的值；将这个数据按大小顺序排列，第和个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为众数； （2）先求出样本中不低于分的人数所占样本的百分比，再乘以即可得到结果； （3）根据中位数和众数的意义进行回答即可． 【小问1详解】 将这组数据按照从小到大的顺序重新排列为：， ∴，， 【小问2详解】 估计成绩不低于分人数是（人） 答：估计成绩不低于分的人数是人 【小问3详解】 中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是分 众数：在统计的问卷的成绩中，得分的人数最多 【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用，熟练掌握定义和计算公式是解题的关键 21. 如图，在中，于E，于F，若，，，求的周长和面积． 【答案】周长是，面积是 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；由平行四边形的性质得 ，，，由平行线的性质得，，设，由直角三角形的特征得，由勾股定理得，由可求，即可求解；掌握平行四边形的性质，直角三角形的特征，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ，， ， 的周长是：（）， 面积是：（）． 22. 如图，小芳用一根棍子把小树支撑扶直，已知支撑点到地面距离米，棍子的长度为米，求点到小树底部的距离．(结果保留根号) 【答案】米 【解析】 【分析】根据题中题意，结合图形，在中，利用勾股定理，列式求点到小树底部的距离即可得到答案． 【详解】解：由题意知，即在中， 米，米， ，即， ， （米）， 答：点到小树底部的距离为米． 【点睛】本题考查勾股定理解决实际问题，读懂题意，找准直角三角形，熟练根据勾股定理列出等式求解是解决问题的关键． 23. 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800 1600 B地区 1600 1200 （1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来； （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议． 【答案】（1）y=200x+74000（10≤x≤30） （2）有三种分配方案， 方案一：派往A地区的甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，其余的全派往B地区； 方案二：派往A地区的甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，其余的全派往B地区； 方案三：派往A地区的甲型联合收割机0台，乙型联合收割机30台，其余的全派往B地区； （3）派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高． 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中数据可以得到y关于x的函数关系式； （2）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题； （3）根据（1）中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，则派往B地区x台乙型联合收割机为（30﹣x）台，派往A、B地区的甲型联合收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台， ∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x≤30）； （2）由题意可得， 200x+74000≥79600，得x≥28， ∴28≤x≤30，x为整数， ∴x=28、29、30， ∴有三种分配方案， 方案一：派往A地区的甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，其余的全派往B地区； 方案二：派往A地区的甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，其余的全派往B地区； 方案三：派往A地区的甲型联合收割机0台，乙型联合收割机30台，其余的全派往B地区； （3）派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高， 理由：∵y=200x+74000中y随x的增大而增大， ∴当x=30时，y取得最大值，此时y=80000， ∴派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数和不等式的性质解答． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线与x轴负半轴交于点C，且．直线与直线交于点D，点P在x轴上． （1）求直线的解析式； （2）若，求点P的坐标； （3）如图2，连接，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先根据已知求出点和点的坐标，再用待定系数法求直线的关系式． （2）根据线段垂直平分线的性质作辅助线，确定点的位置，用面积法列方程，求得点的坐标． （3）作直线，根据相似三角形的性质求出相应线段长，进而求解． 本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用辅助线构造相似的直角三角形是解题的关键，本题综合性较强． 【小问1详解】 解：将代入， 解得， ， 将代入得 ， 解得， ， ， ， 设，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为：． 【小问2详解】 解：如图1，作的垂直平分线，垂足为点，交轴于点，连接、，作于点， 则， 直线与直线交于点， ， 解得， ， 点为的中点， ， 设点的坐标为，则， ， ， 即， ， 在中，，，， ， 即， 解得， ∴， 当时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图2，作交于点， ，， ， ，， 点坐标为， 设解析式为， 把，分别代入， 得， ∴， 解析式为， 当时，， ， 利用对称性可另一个坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$