精品解析：福建省厦门六中2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

厦门六中2023~2024学年第一学期八年级 数学期中检测试卷 注意事项： 1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号； 2．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效； 3．可以直接使用2B铅笔作图； 4．本试卷共5页，共三大题，25小题，满分150分． 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是基础，找到对称轴是关键． 2. 下列算式可以用“积的乘方法则”运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、整式加法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、整式加法法则分别化简，进而判断得出笞案． 【详解】解：A．用到“同底数幂的乘法运算法则”，故此选项不合题意； B．，用到“幂的乘方运算法则”，故此选项不合题意； C．，用到“积的乘方法则”，故此选项符合题意； D．，不是同类项，不能合并，故此选项不合题意， 故选：C． 3. 已知算式“”，其中“”处所代表的整式是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故“”处所代表的整式是， 故选：D． 4. 下列条件中，能说明为等边三角形的是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【详解】解：A、， ， 不能说明为等边三角形， 故A不符合题意； B、，， 是等边三角形， 故B符合题意； C、， ， 不一定是等边三角形， 故C不符合题意； D、， 不一定是等边三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 5. 下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 斜边和直角对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定及直角三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】A、两条直角边对应相等，再加上夹角都等于，根据“边角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意； B、斜边和一锐角对应相等，再加上一对直角相等，根据“角角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意； C、斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意； D、斜边和直角对应相等，不能证明两直角三角形全等，符合题意． 故选：D． 6. 工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得出，即可证明，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7. 如图，已知和关于直线对称，连接，与的延长线交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 直线垂直平分 D. 直线不经过点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握图形轴对称的性质是解题的关键．根据图形轴对称的性质，可判断A、B、C三个选项均正确，对于选项D，根据等腰三角形的判定与性质，及线段垂直平分线的判定，即可解答． 【详解】解：和关于直线对称， ， A选项正确，不符合题意； ， ， ， B选项正确，不符合题意； 和关于直线对称， 点C和点关于直线对称， 直线垂直平分， C选项正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， 点D在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分， 直线经过点， D选项不正确，符合题意． 故选D． 8. 使用a，b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A. 只有a B. 只有b C. a，b都可以 D. a，b都不可以 【答案】B 【解析】 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，由此即可判断． 【详解】解：∵， ∴由三角形三边关系定理得到：只有将铁丝b折成两段才能做成一个三角形框架． 故选：B． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，即两边之和必须大于第三边．解题的关键是将较长边分成两段后可以满足两边之和大于第三边． 9. 在中，，则下列说法正确的是（ ） A. 边上的高线平分 B. 边上的中垂线经过点 C. 边上的中线与垂直 D. 的平分线与垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；根据等腰三角形的性质即可求解； 【详解】解：， ， 故三角形为等腰三角形， 等腰三角形顶角平分线，底边上的中线与底边上的高重合， 即边上的中线与垂直； 故选：C． 10. 如图，在中，，，、分别是斜边和直角边上的两个动点，当最小时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点B关于的对称点D，连接，，过点作于点，，当点三点共线，且点与点重合时最小，可得，再根据直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理一一判断即可． 【详解】解：作点B关于的对称点D，连接，，过点作于点， 则由对称得，， ∴， 当点三点共线，且点与点重合时最小，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴B选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴C选项正确，符合题意； 在中，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴D选项错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的三边关系，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 二．填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 直接写出计算结果： （1）______；（2）______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据同底数幂相乘的乘法法则计算即可得出答案； （2）根据幂的乘方的运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 12. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：1． 13. 如图，在中，为的平分线，于，于，若，，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据角平分线的性质定理得到，即可求出面积． 【详解】解：∵为的平分线，于，于， ∴， ∴， 故答案为：12． 14. 图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据n边形内角和公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形的内角和问题，熟记多边形的内角和公式是解答的关键． 15. 如图，平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上运动，以为腰在的右侧作等腰直角三角形，，记的坐标为，则与的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰直角三角形构造“一线三垂直”全等模型．过点作轴于点，证明，得出，，再利用， ，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键． 作，与的延长线交于点G，作，交于点F，证明，得，再证明进而可得的长． 【详解】解：如图，作，与的延长线交于点G，作，交于点F， ， ， ， ， 同理，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和整式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用单项式与单项式相乘、积的乘方计算即可； （2）利用多项式与多项式相乘，再加减计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，点B，在线段上，，，． 求证：． 【答案】 证明：∵， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】先由平行线的性质得出，再根据证明，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，本题是一道较为简单的题目． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握整式乘法的计算法则，正确把式子化简．利用平方差公式以及多项式乘多项式展开后，再合并同类项，代入即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，中，，平分，于． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，（两点确定一条直线）， ． 【解析】 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）利用等腰三角形的性质得出，，根据线段垂直平分线的判定即可证明． 本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 【小问1详解】 解：，平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，点，分别在边，上，，平分． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质即可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，利用等边对等角得到，根据三角形内角和定理列方程求得的度数，再利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴． 22. 按要求作图： （1）如图1，在平面直角坐标系中，与关于轴对称． ①画出； ②若点在内，则其对称点的坐标为 ； （2）如图2，已知锐角和直角，在内部求作射线，使与互余． （3）近年来，把公园装进“口袋”，将绿色拥入怀里，正成为城市生活的一种新风尚．如图3所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、的距离相等，且到公园出入口、的距离也相等．请在图中求作点的位置． 【答案】（1）①如图：即为所求； ② （2） 如图：即为所求； （3） 如图：点H即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图、尺规作图等知识点，掌握运用尺规作图作基本图形成为解题的关键． （1）①先确定关于y轴的对称点A、B、C,然后再顺次连接即可；②根据点的对称方式和图形的对称方式相同即可解答； （2）根据尺规作图作相等的角即可解答； （3）先用尺规作图作出的角平分线,再作线段的垂直平分线，与的交点即为所求的点． 【小问1详解】 解：①略 ②根据点的对称方式和图形的对称方式相同可知：点在内，则其对称点的坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． （1）图3可以解释的等式为 ； （2）要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； （3）用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）5，46，9 （3） 解：，理由如下： 设， 由题意可得 由于S的值与无关，则，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）设，由图可知，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答． 【小问1详解】 解：由． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9． 【小问3详解】 略 24. 如图，四边形，，，，，等边三角形的顶点，分别在边和上，点在上，，连接，． （1）求证：； （2）求的长度． 【答案】（1） 证明：在线段上取点，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）在线段上取点，使，得到是等边三角形，由是等边三角形，推出，，利用证明，即可证明结论成立； （2）由，推出，再证明，得到，连接，作，证明，推出，证明是等边三角形，四边形是矩形，设，根据，据此列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 连接，作，垂足为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得，即． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，证明和是等边三角形是解题的关键． 25. 如图，在中，，点在上，连接，，的垂直平分线与交于点，连接交于点．以为腰，在的右侧作等腰直角三角形，，连接． （1）试探究：与的数量关系，并说明理由； （2）若，用含、的代数式表示的面积． 【答案】（1）， 理由如下， 的垂直平分线与交于点， ， ， ， ， ，， ， ； （2） ． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，推出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得到，再根据，求出，由三角形外角的性质即可得到结论； （2）过点作于点M，在上，取点，使得，连接，由（1）可得，可证是等腰三角形，推出，，由（1）可得，再根据是等腰直角三角形，得到，易证，推出，，由的面积为即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点M，在上，取点，使得，连接， 由（1）可得， 是等腰三角形， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 由（1）可得， ， ， ， ，， 的面积为， 的面积为． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门六中2023~2024学年第一学期八年级 数学期中检测试卷 注意事项： 1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号； 2．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效； 3．可以直接使用2B铅笔作图； 4．本试卷共5页，共三大题，25小题，满分150分． 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列算式可以用“积的乘方法则”运算的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知算式“”，其中“”处所代表的整式是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 下列条件中，能说明为等边三角形的是（ ） A. B. ， C. D. 5. 下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 斜边和直角对应相等 6. 工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是( ) A. B. C. D. 7. 如图，已知和关于直线对称，连接，与的延长线交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 直线垂直平分 D. 直线不经过点 8. 使用a，b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A. 只有a B. 只有b C. a，b都可以 D. a，b都不可以 9. 在中，，则下列说法正确的是（ ） A. 边上的高线平分 B. 边上的中垂线经过点 C. 边上的中线与垂直 D. 的平分线与垂直 10. 如图，在中，，，、分别是斜边和直角边上的两个动点，当最小时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 直接写出计算结果： （1）______；（2）______． 12. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为____________． 13. 如图，在中，为的平分线，于，于，若，，则的面积为______． 14. 图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数是________． 15. 如图，平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上运动，以为腰在的右侧作等腰直角三角形，，记的坐标为，则与的数量关系为______． 16. 在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，点B，在线段上，，，． 求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，中，，平分，于． （1）若，求的度数； （2）求证：． 21. 如图，在中，点，分别在边，上，，平分． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 按要求作图： （1）如图1，在平面直角坐标系中，与关于轴对称． ①画出； ②若点在内，则其对称点的坐标为 ； （2）如图2，已知锐角和直角，在内部求作射线，使与互余． （3）近年来，把公园装进“口袋”，将绿色拥入怀里，正成为城市生活的一种新风尚．如图3所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、的距离相等，且到公园出入口、的距离也相等．请在图中求作点的位置． 23. 如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． （1）图3可以解释的等式为 ； （2）要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； （3）用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 24. 如图，四边形，，，，，等边三角形的顶点，分别在边和上，点在上，，连接，． （1）求证：； （2）求的长度． 25. 如图，在中，，点在上，连接，，的垂直平分线与交于点，连接交于点．以为腰，在的右侧作等腰直角三角形，，连接． （1）试探究：与的数量关系，并说明理由； （2）若，用含、的代数式表示的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $