上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

南洋模范中学高三开学考数学试卷 2024.09 一.填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分) 1.已知a,b均为实数,(2+i)1+ai=i(b+i),则ab= 2.(x2+)3的展开式中,常数项为 3.已知平面向量a,方的夹角为,|a上2,11,则1a+2bF 4.不等式,一 x 21的解集为 x2-4x+6 5.设A={x|x2-5x+4=0},B={x|ax-1=0},若AUB=A,则实数a的取值集合为 6.圆x2+y2+ax+2y+2a2+a-1=0的半径的最大值为 7已知sma+学+ma-=9,则s2a-马- 6 &已奥点P为双自线三是-1(0>0,b>0)右支上的-点,点5、E分别为双由 线的左、右焦点,若M为 PFE的内心,且S PM=S Pw+ 2aws5’则双曲线的离 心率为 9.在一座尖塔的正南方向地面某点A,测得塔顶的仰角为30 ,又在此尖塔北偏东30 地 面某点B,测得塔顶的仰角为45 ,且A,B两点距离为7,在线段AB上的点C处测得塔 顶的仰角为最大,则C点到塔底O的距离为 10.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且任意x∈R,都有f(x)=f(2-x),当 -1≤x<0时,f(x)=l1og2(-x),则函数g(x)=f(x)+2在区间(-1,8)内所有零点之和为 3x,0≤x≤1 11.己知函数f(x)= Inx,x>1 ,若存在实数x,名满足0≤x<x,且fx)=f(), 则x,-6x的取值范围为 12.定义:对于函数y=f(x)和数列{xn},若(x1-xn)f"(x)+f(x)=0,则称数列{x} 具有“f(x)函数性质”.已知二次函数y=f(x)图象的最低点为(0,-4),且 f(x+1)=f(x)+2x+1,若数列{x}具有“f(x)函数性质”,且首项为1的数列{an}满足 a,=n(x,+2)-n(x,-2),记{a,}的前n项和为S。,则数列{S.(号-5}的最小值为一 二.选择题(本大题共4题,满分20分) 13.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛,通过简单随机抽样,抽得10个班的比赛得 分如下:91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,则这组数据的75%分位数为() A.93 B.93.5 C.94 D.94.5 14.已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面a,B,则() A.若a∥B,mca,ncB,则m∥n B.若mca,ncB,m⊥n,则⊥B C.若m⊥a,n⊥m,则n∥a D.若a∩B=n,mca,m∥B,则m∥n 15.已知函数f(x)=V3sin2x+cos2x.若存在t、t2∈[- ,2 ],使得f(G)f(2)=4, 则t-2的最大值为() A B. C.3ie D.2 16.在平面直线坐标系中,定义d(A,B)=max{x-x2l乃-y2}为两点A(x,乃)、 B(x22)的“切比雪夫距离”,又设点P及1上任意一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P 到直线1的“切比雪夫距离”,记作d(P,),给出下列命题:①已知点P(3,1)和直线 1:2x-y-1=0,则d(P,)=行②定点F(-c,0)、E(c,0),动点P(x)满足 |d(P,F)-d(P,F)=2a(2c>2a>0),则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且 仅有2个公共点,下列说法正确的是() A.命题①成立,命题②不成立 B.命题①不成立,命题②不成立 C.命题①②都成立 D.命题①②都不成立 三.解答题(本大题共有5题,满分76分】 17.如图,在直三棱柱ABC-AB,C中,所有棱长均为4,D是AB的中点. (1)求证:BC,∥平面ADC; (2)求异面直线AD与BC所成角的正弦值, 18.己知函数f)=a-3 一是定义在R上的奇函数(a>0,b>0). 3+ (1)求y=f(x)的解析式: (2)求当x∈[0,1]时,函数g(x)=f(x) (3+1)+9-1的值域. 19.某大学数理教学部为提高学生的身体素质,并加强同学间的交流,特组织以“让心灵沐 浴阳光,让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛,其中A、B两名学生进入趣味运动比赛 的关键阶段,该比赛采取累计得分制,规则如下:每场比赛不存在平局,获胜者得1分,失 败者不得分,其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利,但本次比赛最多进行6场.假 设每场比赛中A同学获胜的概率均为,且各场比赛的结果相互独立 (1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率: (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X,求X的分布列及数学期望, 20.已知椭圆C:)+y=1,点F、乃分别为椭圆的左、右焦点 (1)若椭圆上点P满足PF⊥FF2,求|PF|的值: (2)点A为椭圆的右顶点,定点T(t,0)在x轴上,若点S为椭圆上一动点,当ST取得最 小值时点S恰与点A重合,求实数t的取值范围: (3)已知m为常数,过点F,且法向量为(L,-m)的直线1交椭圆于M、N两点,若椭圆C 上存在点R满足OR=OM+uON(元、 eR),求 的最大值. 21.我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数,其一般形式为y=[(x)] ((x)>0) 对幂指函数求导时,可以将函数“指数化”再求导,例如:对于幂指函数 y=x*,yx)=[(elx)*=(exlnx)'=exx(Inx+1). x+ (1)已知f(x)=x:(x>0),求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程: 2))若a>0且a1,所究函数g()=(牛0)(x>0)的单调性 (3)已知m,,5,!均大于0.且m≠m,讨论("于y和(“青”y的大小关系