浙江省杭州市西湖区紫金港中学2023—-2024学年上学期九年级月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列函数中，是的二次函数的为　　 A． B． C． D． 2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．抛掷硬币时，正面朝上 B．明天太阳从东方升起 C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀” 3．（3分）二次函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 4．（3分）将抛物线向下平移4个单位长度，得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 5．（3分）如表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为　　 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 0.25 0.76 A． B． C． D． 6．（3分）设二次函数，是常数，，已知，则该函数图象可能是　　 A． B． C． D． 7．（3分）抛物线与坐标轴的交点个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（3分）有2件不同款式的衬衣和3条不同款式的裤子，各取一件衬衣和一条裤子搭配，则不同的搭配共有　　 A．2种 B．4种 C．5种 D．6种 9．（3分）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论中，正确的一项　　 A． B． C． D． 10．（3分）如图，在菱形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 　　． 12．（4分）函数是二次函数，则　 　． 13．（4分）二次函数的图象经过点，则代数式的值为 　　． 14．（4分）某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表： 投篮总次数 10 20 50 100 200 500 1000 投中次数 8 18 42 86 169 424 854 投中的频率 0.8 0.9 0.84 0.86 0.845 0.848 0.854 根据上表，该运动员投中的概率大约是 　　（结果精确到． 15．（4分）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　　． 16．（4分）已知：如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“优美三角形”．若抛物线的“优美三角形”的斜边长为4，求的值 　　． 三、解答题（共8小题，满分66分） 17．（6分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的黄球、绿球和红球共12个，其中红球有2个． （1）摸到红球的概率是 　　； （2）若摸到绿球的概率是，求袋子中黄球的个数． 18．（6分）如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 19．（8分）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张后，小亮再从剩下的卡片中抽取一张．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜． （1）请用列表法或树状图等方法求小明获胜的概率； （2）你认为该游戏对双方是否公平？请说明理由． 20．（8分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知，，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）求过，，三点的抛物线的解析式； （3）设点关于抛物线的对称轴的对称点为，求△的面积． 21．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：．篮球．乒乓球．羽毛球．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 　　人； （2）请你将条形统计图 （2）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，共有几种选择？（用树状图或列表法解答） 22．（8分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）如果设涨价为元，销量为　　．（请用含的代数式表示） （2）该玩具销售单价定为多少元时，商场能获得12000元的销售利润？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于46元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少． 23．（10分）在二次函数中． （1）若它的图象过点，则的值为多少？ （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 24．（12分）顶点为的抛物线交轴于、，交轴于点，直线经过点，交轴于． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点为线段上不与、重合的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值； （3）点为轴的正半轴上一个动点，过作轴的垂线，交直线于，交抛物线于，连接，将沿翻折，若点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出点的坐标． 2023-2024学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列函数中，是的二次函数的为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的定义：形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、是二次函数，故此选项正确； 、是一次函数，故此选项错误； 、是一次函数，故此选项错误； 、是三次函数，故此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．抛掷硬币时，正面朝上 B．明天太阳从东方升起 C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀” 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：、抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，不符合题意； 、明天太阳从东方升起，是必然事件，符合题意； 、经过红绿灯路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； 、玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．（3分）二次函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】二次函数的顶点坐标是． 【解答】解：根据二次函数的顶点式方程知，该抛物线的顶点坐标：． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的、所表示的意义． 4．（3分）将抛物线向下平移4个单位长度，得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平移的规律：上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可． 【解答】解：将抛物线向下平移4个单位长度，得到的抛物线是：． 故选：． 【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 5．（3分）如表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为　　 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 0.25 0.76 A． B． C． D． 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由此即可得出结论． 【解答】解：当时，；当时，． 一元二次方程的一个近似解的范围为． 故选：． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 6．（3分）设二次函数，是常数，，已知，则该函数图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据得出，异号，然后判断即可． 【解答】解：， ，异号， 即时，或时，， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数性质的掌握． 7．（3分）抛物线与坐标轴的交点个数为　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】当时，计算出，则抛物线与轴的交点坐标为，再根据△得出抛物线与轴没有交点，从而得出结论． 【解答】解：当时，， 抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， △， 方程没有实数解， 抛物线与轴没有交点， 抛物线与坐标轴有1个交点． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 8．（3分）有2件不同款式的衬衣和3条不同款式的裤子，各取一件衬衣和一条裤子搭配，则不同的搭配共有　　 A．2种 B．4种 C．5种 D．6种 【分析】列出得出所有等可能的情况数即可． 【解答】解：列表如下：上衣用，表示，裤子用，，表示， 所有等可能的情况有6种， 故选：． 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 9．（3分）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论中，正确的一项　　 A． B． C． D． 【分析】先根据题意画出草图，再由抛物线与轴的交点判断与0的关系，根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：二次函数的对称轴为直线，图象经过， 抛物线与轴另一交点为， 抛物线与轴有两个交点，， ，选项错误； 画出草图，可知抛物线与轴交于负半轴，则，选项错误； 由图象可知，时，，即，则，选项错误； ，． 图象开口向上，， ， ， 即，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点位置确定．根据条件画出草图，利用数形结合的思想是解题的关键． 10．（3分）如图，在菱形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是　　 A． B． C． D． 【分析】先证明、都是等边三角形，再分、、三种情况画出图形，根据图形得到函数解析式，由二次函数、一次函数的图象与性质逐项排除即可得到正确解． 【解答】解：四边形为菱形， ，． 、都是等边三角形， ． 如图1所示，当时，，， 作于， ， ， 故选项不正确； 如图2，当时，，， 作于点， ， ， 故选项不正确； 如图3，当时，，， ， 作于点， ， ． 故选项不正确， 故选：． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数的图象与性质，利用三角函数解直角三角形等知识，综合性比较强．根据题意分类讨论列出各种情况下函数的解析式是解题的关键． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 　　． 【分析】先应用无理数的定义进行判定，再应用概率公式进行计算即可得出答案． 【解答】解：，是无理数， （恰好是无理数）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键． 12．（4分）函数是二次函数，则　2　． 【分析】根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，求出的值即可． 【解答】解：由题意得：， 解得， ， 整理得，， 解得，，， 综上所述，． 故答案为2． 【点评】本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0． 13．（4分）二次函数的图象经过点，则代数式的值为 　7　． 【分析】代入点的坐标以后即可得出结论． 【解答】解：代入点得， 解得： 故答案为：7． 【点评】本题考查图象与点的关联，能够熟练把点代入解析式是解题关键． 14．（4分）某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表： 投篮总次数 10 20 50 100 200 500 1000 投中次数 8 18 42 86 169 424 854 投中的频率 0.8 0.9 0.84 0.86 0.845 0.848 0.854 根据上表，该运动员投中的概率大约是 　0.85　（结果精确到． 【分析】利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可； 【解答】解：大量重复试验后投中的概率逐渐稳定到0.85左右， 所以去投篮一次，投中的概率大约是0.85， 故答案为：0.85． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是仔细观察数据，看逐渐稳定到那个数据附近即可确定答案． 15．（4分）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　　． 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案． 【解答】解：， 图象的开口向下，对称轴是直线， 关于直线的对称点是， ， ， 故答案为． 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 16．（4分）已知：如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“优美三角形”．若抛物线的“优美三角形”的斜边长为4，求的值 　　． 【分析】设抛物线的顶点式，根据“优美三角形”的条件得为等腰直角三角形，得，从而得出点的坐标，将点的坐标代入顶点式表达式即可求解． 【解答】解：设抛物线的顶点的坐标为， 抛物线的顶点式为：， 又抛物线的“优美三角形”， 为直角三角形， 根据抛物线的对称性质，可知， 为等腰直角三角形， 设与对称轴交于点，如图， ， ， 或， 或， 或， 故答案为：． 【点评】此题考查了二次函数的综合应用，正确理解新定义“优美三角形”、熟练掌握二次函数的顶点式、图象的对称性质以及图象上点的特征是解答此题的关键． 三、解答题（共8小题，满分66分） 17．（6分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的黄球、绿球和红球共12个，其中红球有2个． （1）摸到红球的概率是 　　； （2）若摸到绿球的概率是，求袋子中黄球的个数． 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）设袋子中黄球的个数为个，利用概率公式得到，然后解方程即可． 【解答】解：（1）摸到红球的概率； 故答案为； （2）设袋子中黄球的个数为个， 根据题意得，解得， 即袋子中黄球的个数为2个． 【点评】本题考查了概率公式：某事件的概率某事件所占的结果数除以所有结果数． 18．（6分）如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标； （2）求出关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案． 【解答】解：（1）把和代入得： ， 解得， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为； （2）如图： 点关于对称轴直线的对称点， 当时，的范围是． 【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式． 19．（8分）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张后，小亮再从剩下的卡片中抽取一张．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜． （1）请用列表法或树状图等方法求小明获胜的概率； （2）你认为该游戏对双方是否公平？请说明理由． 【分析】（1）将所有可能的情况在图中表示出来即可； （2）计算出和为奇数与和为偶数的概率，即可得到游戏是否公平． 【解答】解：（1）列表如下： 小明 小亮   1   2 3   1   2   3 由上表可知，所有等可能的结果共有6种． （2）共有6种等可能的情况数，其中和为奇数的有4种，和为偶数的有2种， （和为奇数），（和为偶数）， ， 这个游戏规则对双方是不公平的． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 20．（8分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知，，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）求过，，三点的抛物线的解析式； （3）设点关于抛物线的对称轴的对称点为，求△的面积． 【分析】（1）如果过作轴，垂足为，作轴垂足为．不难得出和全等，那么的横坐标就是点纵坐标的绝对值，的纵坐标就是点的横坐标的绝对值，由此可得出的坐标． （2）已知了，的坐标，根据（1）求出的点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式． （3）根据（2）的解析式可得出对称轴的解析式，然后根据点的坐标得出的坐标，那么就是三角形的底边，的纵坐标与的纵坐标的差的绝对值就是的高，由此可求出其面积． 【解答】解：（1）作轴，垂足为，作轴垂足为． 则， ． 又， ． 在和中， ． ，． 点的坐标为． （2）因抛物线过原点， 故可设所求抛物线的解析式为． 将，两点代入， 得， 解得：， 故所求抛物线的解析式为． （3）在抛物线中，对称轴的方程是 点是关于抛物线的对称轴的对称点， 故坐标， 在△中，底边，高的长为2． 故． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识点． 21．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：．篮球．乒乓球．羽毛球．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 　200　人； （2）请你将条形统计图 （2）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，共有几种选择？（用树状图或列表法解答） 【分析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的比例即可； （2）求出喜欢的人数，补全条形统计图即可； （3）根据题意列出表格，即可得出结论． 【解答】解：（1）这次被调查的学生共有：（人， 故答案为：200； （2）类的人数有：（人， 补全条形统计图（2）如下： （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 由表可知，共有6种选择． 【点评】本题考查的是用列表法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22．（8分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）如果设涨价为元，销量为　　．（请用含的代数式表示） （2）该玩具销售单价定为多少元时，商场能获得12000元的销售利润？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于46元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少． 【分析】（1）由题意得：如果设涨价为元，销量为：，即可求解； （2）设：该玩具销售单价定为元时，商场能获得1200元的销售利润，由题意得：，即可求解； （3）由题意得：，，解得：，则，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：如果设涨价为元，销量为：， 故答案为：； （2）设：该玩具销售单价定为元时，商场能获得1200元的销售利润， 由题意得：， 即， 解得：或70， 答：销售单价定为60或70元时，商场能获得12000元的销售利润； （3）设销售单价为元时，获得的利润时元， 由题意得：，，解得：， 则， ，故有最大值， 当时，随的增大而增大， 当时，的最大值为：10000， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 23．（10分）在二次函数中． （1）若它的图象过点，则的值为多少？ （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【分析】（1）将代入即可得； （2）抛物线对称轴为．若，有，若，有，解方程并检验可得的值为； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【解答】解：（1）将代入得： ， 解得：； （2）抛物线对称轴为． 若，当时函数取最小值， ， 解得； 若，当时函数取最小值， ， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为； （3），都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． 24．（12分）顶点为的抛物线交轴于、，交轴于点，直线经过点，交轴于． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点为线段上不与、重合的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值； （3）点为轴的正半轴上一个动点，过作轴的垂线，交直线于，交抛物线于，连接，将沿翻折，若点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）将点代入直线解析式中，可求出点的坐标，将点、代入抛物线解析式中，可求出抛物线解析式． （2）将抛物线解析式配成顶点式，可求出点的坐标，设直线的解析式，代入点、，可求出直线的解析式，则可表示，则可表示． （3）设点的坐标，则点的坐标可表示，点的坐标可表示，长度可表示，利用翻折推出，列等式求解即可． 【解答】解：（1）将点代入直线解析式中， ， 解得， 解析式为， ， ， 则有 解得 抛物线的解析式为：． （2）， ， 设直线的解析式为，代入点、， 解得 直线的解析式为， 则点的坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为． （3）存在 如图所示， 设点的坐标为， 则点，， ， 沿翻折，的对应点为点，落在轴上， 而轴， ，，， ， ， ， ， ， ， 当时， 解得（舍，， 此时点． 当时， 解得（舍，， 此时点，． 综上，点的坐标为或，． 【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，最后一问推出为解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/19 0:03:51；用户：佩服还小飞飞；邮箱：orFmNt06nLZ6osDiSU3_grzcMSxM@weixin.jyeoo.com；学号：26025303 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$