精品解析：福建省厦门莲花中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

2023-2024学年福建省厦门市思明区莲花中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题4分，共40分；每题有且只有一个选项正确） 1. 下列图形中，其中一个三角形是通过轴对称得到另一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使五边形木架（用根木条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根木条. A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个长方形的长、宽分别为、，它的面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ） A. 以1m/s的速度，做竖直向下运动 B. 以1m/s的速度，做竖直向上运动 C. 以2m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角 D. 以2m/s的速度，做竖直向下运动 7. 点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2023 D. 8. 观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ） A. （a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 B. （a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2 C. （a+b）（a+2b）=2a2+3ab+b2 D. （a+b（2a+b）=a2+3ab+2b2 9. 如图，已知点在的外部，点在边上，交于，若 ，，则有（ ） A. B. C. D. 10. 两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 三个角都相等 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算_________； _______； _____________； _________． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 13. 若，则“”中应填入的代数式是 ______． 14. 若a2+a+1=2，则（5﹣a）（6+a）=______． 15. 如图，为等边三角形，边长为12，D在上，于E，于F，于H，若点D与点H重合时的长为 _____． 16. 如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）； （3）简算：． 18. 如图，点在线段上，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：．其中，． 20. 小明学完等腰三角形后知道在同一个三角形中等角对等边．于是，他就联想：同一个三角形中2倍角所对的边是否也存在2倍关系呢？你能帮他解决这个问题吗？你若是觉得会，请给出证明；你若是觉得不会，请举一个反例． 21. 设，x，y是正整数，定义新运算（如果有括号，规定先算括号里面的）如：，． （1）若，则 ；若，则 ； （2）若且，求x、y的值． 22. 如图，已知点A、C分别是∠B两边上的定点． （1）求作：线段CD，使得DC∥AB，且，点D在点C的右侧；（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） （2）M是BC的中点，求证:点A、M、D三点在同一直线上． 23. （）当数字之间满足特殊关系时，常常有一些特殊的计算规律，观察下列各式，你能发现什么规律？请用简短的文字叙述． ，，，． （）请用字母表示数证明你发现的规律． （）利用你发现的规律计算： ； ． 24. 如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，过点向坐标轴作垂线，垂足分别是点A和点C．点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E． （1）若点D的坐标为，求点E的坐标（用含t的式子表示）； （2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若点M是x负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且，ND交AO于点G，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年福建省厦门市思明区莲花中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题4分，共40分；每题有且只有一个选项正确） 1. 下列图形中，其中一个三角形是通过轴对称得到另一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的特点解答即可； 【详解】解：观察选项中的图形可知，A、B中的两个图形可以通过旋转得到，D中的两个图形可以通过平移得到，只有C可以通过轴对称得到； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，了解轴对称的性质及定义是解题的关键． 2. 要使五边形木架（用根木条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根木条. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的稳定性分析即可得. 【详解】因为三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，所以将五边形木架钉上2根木条，变成由三个三角形组成，就能使其不变形，如图所示： 故选：B. 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握理解三角形的稳定性原理是解题关键. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误 ，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短． 则选项A 符合要求， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，也考查学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力． 5. 一个长方形的长、宽分别为、，它的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用长方形的面积公式将面积表示出来，再利用整式的乘法化简即可． 【详解】∵长方形的长、宽分别为、 ∴面积为： 故选：B 【点睛】此题考查了整式的乘法运算，掌握整式的乘法运算法则并正确计算是解题关键． 6. 一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ） A. 以1m/s的速度，做竖直向下运动 B. 以1m/s的速度，做竖直向上运动 C. 以2m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角 D. 以2m/s的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【解析】 【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向下运动． 故选：A． 【点睛】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，充分发挥想象能力． 7. 点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2023 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称、解一元一次方程，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 由题意得到关于m和n的方程，然后求出m和n的值，最后代入求解即可． 【详解】解：与点关于轴对称， 解得，． ． 故选B． 8. 观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ） A. （a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 B. （a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2 C. （a+b）（a+2b）=2a2+3ab+b2 D. （a+b（2a+b）=a2+3ab+2b2 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形，大长方形面积等于三个小正方形面积加上三个小长方形的面积和，列出等式即可． 【详解】解：∵长方形的面积=（a+b）（a+2b） 长方形的面积=a2+ab+ab+ab+b2+b2= a2+3ab+2b2， ∴（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2 故选：A． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出几何解释． 9. 如图，已知点在的外部，点在边上，交于，若 ，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，然后根据证明． 【详解】∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴在和中 ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 10. 两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 三个角都相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形性质、互余、对顶角相等、邻补角等知识，根据题意，数形结合，找到各个角之间的关系即可得到答案，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由于书本是矩形，则，，，，， ，， ，， ， ，， ； ，， ， ， ， ， ， 不一定等于， 由，，可知不一定等于， 故选：B． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算_________； _______； _____________； _________． 【答案】 ①. ②. 1 ③. ## ④. 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，零指数幂，单项式乘以多项式，利用同底数幂乘法法则，零指数幂，单项式乘多项式法则，幂的乘方法则及同底数幂除法法则计算即可． 【详解】解：； ； ； 故答案为：；1；；． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 13. 若，则“”中应填入的代数式是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可，掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 若a2+a+1=2，则（5﹣a）（6+a）=______． 【答案】29． 【解析】 【分析】 【详解】解：∵a2＋a＋1＝2， ∴a2＋a＝1， ∴(5﹣a)(6＋a)＝30﹣a﹣a2＝30﹣(a2＋a)＝30﹣1＝29， 故答案为29． 15. 如图，为等边三角形，边长为12，D在上，于E，于F，于H，若点D与点H重合时的长为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质和垂直，得到都是含的直角三角形，利用所对的直角边是斜边的一半，和的边长为12，进行线段的转化和计算即可得解． 【详解】解：如图，设， ∵是等边三角形， ∴， ∵于E，于F，于H， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，以及含角的直角三角形．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 16. 如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____． 【答案】14 【解析】 【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点． ， ， ， ， ， 为等边三角形 ， 的最大值为， 故答案为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）； （3）简算：． 【答案】（1） （2） （3）0.25 【解析】 【分析】本题考查单项式乘单项式，多项式乘多项式，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘单项式法则计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算即可； （3）利用积的乘方法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式： 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定方法，根据平行线的性质可得，再利用即可证明，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】略 19. 先化简，再求值：．其中，． 【答案】化简的结果为：，当，时，代数式的值为 【解析】 【分析】先分别计算多项式除以单项式，多项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入化简后的代数式进行求值即可． 【详解】解： 当，时， 原式 【点睛】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式除以单项式的运算法则及多项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键． 20. 小明学完等腰三角形后知道在同一个三角形中等角对等边．于是，他就联想：同一个三角形中2倍角所对的边是否也存在2倍关系呢？你能帮他解决这个问题吗？你若是觉得会，请给出证明；你若是觉得不会，请举一个反例． 【答案】 解：同一个三角形中2倍角所对的边不存在2倍关系， 反例：在中，，， 则，， ， ， ，而． 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理、直角三角形的性质，根据含角的直角三角形的性质判断即可，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】略 21. 设，x，y是正整数，定义新运算（如果有括号，规定先算括号里面的）如：，． （1）若，则 ；若，则 ； （2）若且，求x、y的值． 【答案】（1）6； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下幂的运算性质，运算律的混合运算和解二元一次方程组， （1）利用新运算的规定列式运算即可； （2）利用新运算的规定列式，再利用幂的运算性质列出关于x，y的方程组，解方程组解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：6；； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． 22. 如图，已知点A、C分别是∠B两边上的定点． （1）求作：线段CD，使得DC∥AB，且，点D在点C的右侧；（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） （2）M是BC的中点，求证:点A、M、D三点在同一直线上． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求 （2） 证明：如图，连接，设与交于点， ， 又 又是的中点 重合 过点， 即点A、M、D三点在同一直线上． 【解析】 【分析】（1）根据题意作，则，在射线上截取，则点即为所求； （2）连接，设与交于点，证明，可得，则重合，即过点，即可证明点A、M、D三点在同一直线上 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，作线段等于已知线段，三角形全等的性质与判定，平行线的判定，掌握基本作图是解题的关键． 23. （）当数字之间满足特殊关系时，常常有一些特殊的计算规律，观察下列各式，你能发现什么规律？请用简短的文字叙述． ，，，． （）请用字母表示数证明你发现的规律． （）利用你发现的规律计算： ； ． 【答案】（）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是；右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出； （）， 证明： ， ， ∴左边右边， ∴成立； （）；． 【解析】 【分析】（）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是；右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出； （）根据（）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明； （）根据所得规律进行计算即可； 本题考查了整式的混合运算的应用，找出题中的规律是解题的关键． 【详解】解：（）发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是；右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字的数相乘； （） 略 （）； ； 故答案为：；． 24. 如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1） 解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2） 解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）当或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，过点向坐标轴作垂线，垂足分别是点A和点C．点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E． （1）若点D的坐标为，求点E的坐标（用含t的式子表示）； （2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若点M是x负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且，ND交AO于点G，求的周长． 【答案】（1）点E（3+t，t）； （2）+=90°，证明： 在AO上截取AU=DC，连结DU，则OU=OD=t， ∴∠OUD=45°， 在△AUD和△DCE中， ， ∴△AUD≌△DCE（SAS）， ∴∠AUD=∠DCE， ∴∠SCE=180°-∠DCE=180°-∠AUD=∠OUD， ∴∠OUD=∠SCE=45° ∵GS⊥OS， ∴∠CES=90°-∠ECS=45°， 延长SE交DF延长线于G， ∵AD=DE，∠ADE=90°， ∴∠AED=∠DAE=45°， ∵∠CES+∠DEC+∠DEA+∠FEG=180°，∠SEC+∠DEA=45°+45°=90°， ∴∠DEC +∠FEG=180°-∠CES-∠DEA=180°-90°=90°， ∵CD⊥OS，GS⊥OS， ∴CB∥SG， ∴∠CFE=∠GEF， 将△AOD绕点A逆时针旋转90°得到△ABD′， ∴AD=AD′，∠OAD=∠BAD′， ∵∠OAD+∠FAB=90°-∠DAF=90°-45°=45°， ∴∠FAD′=∠FAB+∠BAD′=∠FAB+∠OAD=45°， 在△DAF和△D′AF中， ， ∴△DAF≌△D′AF（SAS）， ∴∠AFD=∠AFD′=∠CFE=∠GEF=∠GFE， ∴∠DEC+∠AFD=∠DEC+∠GEF=90°； （3）C△OGD= 6． 【解析】 【分析】（1）过点E作ES⊥x轴于S，由点B（3，3），AB⊥y轴，BC⊥x轴，可得OA=OC=3，由旋转性质可得，DA=DE，∠ADE=90°，可证△AOD≌△DSE（AAS），可得AO=DS=3，OD=SE=t，再求OS=OD+DS=3+t即可； （2）+=90°，在AO上截取AU=DC，连结DU，则OU=OD=t，可得∠OUD=45°，延长SE交DF延长线于G，将△AOD绕点A逆时针旋转90°得到△ABD′，先证△AUD≌△DCE（SAS），可得∠OUD=∠SCE=45°可求∠CES=90°-∠ECS=45°，再证∠AED=∠DAE=45°，可证CB∥SG，可得∠CFE=∠GEF，由旋转可得AD=AD′，∠OAD=∠BAD′，再证△DAF≌△D′AF（SAS）可得∠AFD=∠AFD′=∠CFE=∠GEF=∠GFE即可； （3）连结BD，过B作BW⊥DN于W，先证△ANO≌△BDC（SAS），证明四边形ANDB为等腰梯形，∠NDB=∠ABD，再证△BWD≌△BCD（AAS），BW=BC，WD=CD，三证Rt△ABG≌Rt△WBG（HL），可得AG=WG，即可． 【详解】解：（1）过点E作ES⊥x轴于S， ∵点B（3，3），AB⊥y轴，BC⊥x轴， ∴OA=OC=3， ∵点A绕点D顺时针旋转90°得到点E， ∴DA=DE，∠ADE=90°， ∴∠OAD+∠ADO=∠ADO+∠EDS=90°， ∴∠OAD=∠EDS， 在△AOD和△DSE中， ， ∴△AOD≌△DSE（AAS）， ∴AO=DS=3，OD=SE=t， ∴OS=OD+DS=3+t， ∴点E（3+t，t）； （2）略 （3）连结BD，过B作BW⊥DN于W， ∵， ∴DM=OC=3， ∴MO=MD-OD=OC-OD=DC， 在△ANO和△BDC中， ， ∴△ANO≌△BDC（SAS）， ∴∠AMO=∠BDC， ∴AM∥BD， ∵AB=ND， ∴四边形ANDB为等腰梯形， ∴∠NDB=∠ABD， ∵AB∥OC， ∴∠BDC=∠ABD=∠WDB， ∵BW⊥AD， ∴∠BWD=∠BCD=90°， 在△BWD和△BCD中， ， ∴△BWD≌△BCD（AAS）， ∴BW=BC，WD=CD， 在Rt△ABG和Rt△WBG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△WBG（HL）， ∴AG=WG， C△OGD=OG+GD+OD=OG+GW+DW+OD=OG+AG+DC+OD=OA+OC=3+3=6． 【点睛】本题考查图形旋转，正方形性质，三角形全等判定与性质，平行线性质，等腰梯形判定与性质，三角形周长，本题难度大，跳跃性大，是中考中探究中难题，综合运知识多，关键是利用辅助线画出准确图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $