精品解析：海南省北京师范大学万宁附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度第一学期高三第一次月考 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求得集合和，根据交集的定义即可求解． 【详解】由题可知，，， 所以， 故选：A． 2. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依据递增数列性质结合必要而不充分条件定义即可得到题给两条件间的逻辑关系. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得， 解得或 则中，的正负未定， 此时数列不一定是递增数列； 由数列为递增数列，可得， 所以“”是“数列是递增数列”的必要而不充分条件． 故选：B 3. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值可求得A、B、C错误，由作差法可得D正确. 【详解】由可知，不妨取， 对于A，，所以A错误， 对于C，，可得C错误； 对于B，当时，不成立，即B错误； 对于D，，即可得，即D正确. 故选：D 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 5. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 6. 设函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 当时，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 则在上单调递减，不等式， 即，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 7. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 8. 如图，圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，若与所成角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解余弦值，再利用二倍角公式求出答案即可. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系得：， ，而的夹角为 又 则， 由于， 故选：B. 二、多选题 9. 济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为怠链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 的最小值是a D. 的最大值是a 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断可知A正确，B错误；根据基本不等式求出函数的最小值，可知C正确，D错误. 【详解】定义域为R， ， 故f（x）为偶函数，A正确，B错误； 因为， 所以，当且仅当x=0时取等号，C正确，D错误； 故选：AC 10. 给出下列命题，其中正确的是（    ） A. 幂函数图象一定不过第四象限 B. 函数的图象过定点 C. 是奇函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由幂函数性质可判断A项，由代入求解可判断B项，由奇函数定义可判断C项，运用换底公式及对数函数单调性可判断D项. 【详解】对于A项，根据幂函数的性质，可知幂函数图象一定不过第四象限，故A项正确； 对于B项，函数， 令，可得，代入可得，图象过定点，故B项错误； 对于C项，令，定义域为， 又因为，且的定义域关于原点对称， 所以是奇函数，故C项正确； 对于D项，， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，故D项正确. 故选：ACD． 11. 对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性结合函数的对称性结合函数的单调性分别判断各个选项即可. 【详解】令，因为是奇函数， 所以， 即的图象关于点对称． 令，因为是偶函数， 所以， 即的图象关于直线对称． A选项，由，令，可得， 由，令，可得，故A正确． B选项，由，令，可得，故B正确． C选项，由，令，可得，故C正确． D选项，由在上单调递减，结合的图象关于点对称，可知在上单调递减， 由可知在上单调递减，又的图象关于直线对称，则在上单调递增，故D错误． 故选:ABC． 三、填空题 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意求出公差，进而可求出数列的通项，即可得解. 【详解】设公差为， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 则. 故答案为：. 13. 若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可知，运算求解即可. 【详解】若命题“，”为真命题， 则，解得或， 所以实数m的取值范围是或. 故答案为：或. 14. 已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由已知条件得在上是偶函数，然后根据其单调性从而可求解. 【详解】令，所以， 因为，所以，化简得， 所以在上是偶函数， 因为， 因为当，，所以，在区间上单调递增， 又因为为偶函数，所有在上单调递减， 由，得，又因为，所以， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】通过构造函数，结合已知函数求出函数为偶函数和其单调性，从而求解. 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小， （2）若的角平分线交边于点，且，求边. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和公式的逆用可求得，结合其范围可得； （2）在中利用正弦定理以及可求得，可知是等腰三角形，所以可求出. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 因为，所以，可得. 又，故. 【小问2详解】 如下图所示： 在中，， 所以， 结合，所以， 所以， 可得， 所以是等腰三角形，且， 所以. 16. 已知函数在和处取得极值. （1）求的值及的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），．单调递增区间为，；函数单调递减区间为． （2）,,． 【解析】 【分析】（1），根据函数在和处取得极值．可得导数值为0，即可求解，．进而得出函数的单调区间． （2）由（1）可得，利用函数在上单调性，可得的最大值，利用即可得出的取值范围． 【小问1详解】 ， 函数在和处取得极值． ，， 联立解得：，． ， 令，解得和， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；时，，函数单调递增． 故和是的极值点， 故函数单调递增区间为，；函数单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知在单调递减，在单调递增， 要使得对任意，不等式恒成立，则需且， 故且， 解得，或， 的取值范围是,,． 17. 某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立． （1）若该队员罚点球4次，记积分为，求的分布列与数学期望； （2）记点球积分的概率为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 【答案】（1）的分布列为 4 5 6 7 8 数学期望为； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可取，分别求出相应的概率，列出分布列，求出期望. （2）（ⅰ）根据题意可求出，（ⅱ）要得分，分先得分再点1个球不进，或者先得分再点1个球进球时的概率，因这两种情况互斥，从而可求出为等比数列，再利用累加法从而可求解. 【小问1详解】 由题意得，的所有可能取值为4，5，6，7，8， ， ， 的分布列为 4 5 6 7 8 ． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，． （ⅱ）由题意得，要得分，必须满足以下情形：先得分，再点1个球不进，此时概率为， 或先得分，再点1个球进球，此时概率为， 这两种情况互斥，， 是首项为，公比为的等比数列， ， ， ． 18. 如图，在四棱锥中，. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：设相交于点，因为， 所以四边形 是菱形，所以，且为 的中点， 连接，因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）设相交于点，根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，从而； （2）过点作平面 的垂线，以所在的直线分别为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作平面 的垂线， 以所在的直线分别为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 因为，所以是二面角的平面角， 所以，且结合已知有， 因为在平面内，所以由已知及平面几何的性质，得， 所以， 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）记C的右顶点为A，过点A作直线与C的左支交于两点，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1）； （2） 法1：由（1）知，当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为， 联立方程组，，即， 设，由韦达定理可得 因为，所以， ， ， ， 或， 将代入直线，此时直线MN过定点，不合题意； 将代入直线，此时直线MN过定点， 当直线MN的斜率不存在时，不妨设直线方程为， 因为，所以为等腰直角三角形，此时M点坐标为， 所以（舍）或，此时MN过定点， 综上可知，直线MN恒过定点. 因为，此时存在以AP为斜边的直角三角形， 所以存在定点Q为AP中点满足，此时． 法2：由（1）知，设直线MN方程为， 联立方程组， ， ， 两边同时除以，得， 设，因为，所以， ，，即， 由韦达定理得， 代入直线， 直线过定点． 因为，此时存在以AP为斜边的直角三角形， 所以存在定点Q为AP中点满足，此时． 【解析】 【分析】（1）由已知求出双曲线参数，即可得方程； （2）法1：讨论直线MN的斜率存在性，设直线方程联立双曲线，应用韦达定理及垂直关系列方程求所设直线中的参数关系，代入直线方程确定定点即可；法2：设直线MN方程为，联立双曲线得到，结合直线垂直关系、韦达定理求参数m，进而确定定点. 【小问1详解】 由题意，所以双曲线方程； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：设含参的直线MN方程，联立双曲线，应用韦达定理及已知垂直关系求得直线方程中参数关系或参数值为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高三第一次月考 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 设函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，若与所成角为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为怠链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 的最小值是a D. 的最大值是a 10. 给出下列命题，其中正确的是（    ） A. 幂函数图象一定不过第四象限 B. 函数的图象过定点 C. 是奇函数 D. 11. 对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递减 三、填空题 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 13. 若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是______. 14. 已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为_______________. 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小， （2）若的角平分线交边于点，且，求边. 16. 已知函数在和处取得极值. （1）求的值及的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 17. 某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立． （1）若该队员罚点球4次，记积分为，求的分布列与数学期望； （2）记点球积分的概率为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 18. 如图，在四棱锥中，. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）记C的右顶点为A，过点A作直线与C的左支交于两点，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $