精品解析：河南省洛阳市、平顶山市、许昌市、济源市四市联盟2023届高三上学期第一次质量检测文科数学试题

洛平许济2022——2023学年第一次质量检测 高三文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 5. 在中，是的中点，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，当时，的最大值为（ ）. A. B. C. D. 7. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆的方程是（ ）． A. B. C. D. 8. 函数是定义在上的偶函数，且， 则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 9. 已知菱形ABCD的边长为2，，E是AD的中点，沿BE将折起至的位置，使，则下列结论中错误的是（ ）． A. 平面平面PDE B. 平面平面PBC C. 平面平面BCDE D. 平面平面BCDE 10. 已知数列的通项公式为， 若该数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍， 纵坐标不变， 得到函数的图象. 若函数在上恰有 3 个零点， 则正数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13. 双曲线的渐近线方程为________ 14. 已知函数则_____. 15. 三棱锥的外接球的表面积为是该球的直径，，则三棱锥 的体积为_____. 16. 已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在以为直径的圆上．线段与轴交于点，，则椭圆的长轴长为_____． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）求的取值范围． 18. 已知等比数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若构成等差数列的前3项，求数列的前项和. 19. 如图，四面体中，是的中点. （1）当在线段上移动时，判断与是否垂直，并说明理由； （2）若，当是线段的中点时，求到平面的距离. 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明: . 21. 已知椭圆的右焦点为F，离心率为，上顶点为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若，，判断是否为定值？并说明理由． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． ［选修：坐标系与参数方程］ 22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）． （1）求直线与曲线的普通方程，并说明是什么曲线？ （2）设M，N是直线与曲线的公共点，点的坐标为，求的值． ［选修4-5：不等式选讲］ 23. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）设函数的最小值为m，且正实数a，b，c满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛平许济2022——2023学年第一次质量检测 高三文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数真数大于零可求得集合，由交集定义可得结果. 【详解】由得：，即，又，. 故选：B. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法运算可求得，由虚部定义可得结果. 【详解】，的虚部为. 故选：A. 3. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出不等式组表示的区域，表示两点、连线的斜率，结合图形可得答案. 【详解】不等式组表示的区域如下： 表示两点、连线的斜率， 由图可得，当时取得最小值， 由可得，此时取得最大值， 所以的取值范围为， 故选：C 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数几何意义和垂直关系可得，解方程即可. 【详解】令，则， 在点处的切线与垂直，，解得：. 故选：A. 5. 在中，是的中点，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理以及向量的线性运算即可求解． 【详解】∵ ∴． 故选：D． 6. 已知函数，当时，的最大值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角关系和二倍角的正弦公式化简整理得，结合正弦函数的单调性运算求值. 【详解】， ∵在的单调递增， ∴在上的最大值为. 故选：C. 7. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程与抛物线方程联立可得，结合中点坐标公式可得圆心坐标，利用抛物线焦点弦长公式可求得半径，由此可得圆的方程. 【详解】由抛物线方程知：，则， 由得：， 设，，则， ，中点为，即， 又所求圆的半径， 以为直径的圆的方程为：. 故选：C. 8. 函数是定义在上的偶函数，且， 则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的周期为8，再利用函数的周期性和奇偶性求值. 【详解】由题得 所以. 所以函数的周期为8. 所以. 故选：C 9. 已知菱形ABCD的边长为2，，E是AD的中点，沿BE将折起至的位置，使，则下列结论中错误的是（ ）． A. 平面平面PDE B. 平面平面PBC C. 平面平面BCDE D. 平面平面BCDE 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面垂直的判断定理分析判断. 【详解】如图1，在菱形ABCD中，连接BD，则为等边三角形，且E是AD的中点， ∴， 如图2，在四棱锥中，， ，平面， ∴平面， 平面，则平面平面PDE，A正确； ∵，即， ∴， ，平面， ∴平面， 又∵，则平面， 平面，则平面平面PBC，B正确； ∵， ，平面， ∴平面， 平面，则平面平面BCDE，C正确； ∵平面，平面，则平面内不存在与平面垂直的直线， ∴平面不与平面垂直，D错误； 故选：D. 10. 已知数列的通项公式为， 若该数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简通项公式，利用裂项相消法即可求解. 【详解】因为数列的通项公式为， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 ， 故选：B. 【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 11. 把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍， 纵坐标不变， 得到函数的图象. 若函数在上恰有 3 个零点， 则正数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象变换求得，再以为整体结合正弦函数分析运算. 【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到， 再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到， ∵，，则， 令则，， 若函数的图象在上恰有3个交点，则. 故正数的取值范围是. 故选：B. 12. 已知，则这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较，在同一坐标系中作出与的图象，结合图象与幂函数的性质可比较，即可求解 【详解】令，则， 由，解得，由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 因为， 所以，即， 所以，所以， 又递增， 所以，即； ， 在同一坐标系中作出与的图象，如图： 由图象可知在中恒有， 又，所以， 又在上单调递增，且 所以，即； 综上可知：， 故选：A 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13. 双曲线的渐近线方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】令双曲线右边为，再求解关于与的关系式，从而得到渐近线方程. 【详解】 故答案为：. 14. 已知函数则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由定义域与解析式逐步代值可得答案. 【详解】由题，则 故答案为: 15. 三棱锥的外接球的表面积为是该球的直径，，则三棱锥 的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作图，证明为三棱锥的高，利用勾股定理求出的值，以及求出，进而利用体积公式，即可求解. 【详解】 如图，设球的半径为，由已知得，解得，则， 又由，所以，取中点，为所在外接圆的圆心， 故平面，又因为，所以，平面，得到， 在中， 由，，得到， 所以，，所以， 故答案为： 16. 已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在以为直径的圆上．线段与轴交于点，，则椭圆的长轴长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得，，进而可得，可得，求出的值，再由离心率求出，即可得到答案． 【详解】由题意得， 点在以为直径的圆上，则， 因为，， 所以，所以， 所以，可得， 又，所以， 所以椭圆的长轴长为． 故答案为：． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由正弦定理边化角再根据角度范围得角得大小； 根据锐角三角形得角得范围，然后将转化为关于角的正弦型三角函数，根据正弦型函数性质从而可得取值范围. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得：， 又因为锐角中，，所以， 则，即，故； 【小问2详解】 解：由（1）得，，所以， 又因为锐角中得：，所以， 所以， 因为，所以，所以， 即的取值范围为. 18. 已知等比数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若构成等差数列的前3项，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由、两式相减得，可得公比，再求出首项，即可写出通项公式； （2）由等差中项性质列式求出m，即可求出数列、通项公式，最后用错位相减法即可求和 【小问1详解】 依题意：， 当时，， 两式相减得：，（）． ∵数列是等比数列，∴． 当时，，即，解得． ∴． 【小问2详解】 由（1）知，，， 依题意可得：，， 则等差数列前3项分别为8，12，16，公差， ∴． ． ．…① ①得：．…② ②①得：． ∴． 19. 如图，四面体中，是的中点. （1）当在线段上移动时，判断与是否垂直，并说明理由； （2）若，当是线段的中点时，求到平面的距离. 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可判断，根据线面垂直来证明异面直线垂直即可； （2）利用三棱锥体积转换法求解到平面的距离. 【小问1详解】 解：，理由如下： 连接，， ∵，，， ∴． ∴，又是的中点 ∴． ∵，∴，且，平面． ∴平面，又平面． ∴． 【小问2详解】 解：由，，可得， ∵是的中点，∴． 由（1）知，且， ∴，． 可得． 又，，平面 ∴平面． 当是线段中点时到平面的距离与到平面的距离相等． 因为是线段中点，所以到平面的距离为， 由题可知， 设到平面的距离为h，， 由， 即 ∴． 即到平面的距离为． 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明: . 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增． （2）∵， 设， ， 设 ， ∴在上单调递增，，． ∴，在上单调递增． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调区间； （2）计算，构造函数，，求出，对再一次求导（需引入新函数），确定的单调性后得其正负，从而确定的单调性，得证结论成立． 【小问1详解】 ， 若，，即，此时在R上单调递减． 若，解得， 解得， ∴在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 略 21. 已知椭圆的右焦点为F，离心率为，上顶点为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若，，判断是否为定值？并说明理由． 【答案】（1） （2）为定值，理由如下： 由（1）可得， 由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：，则， 联立方程，消去y得， 则， ， ∵，，则，可得， （定值）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解；（2）由题意知可知直线AB的斜率存在，设其方程为，则，由已知向量等式可得，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明为定值. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆C的方程. 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题.定值问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． ［选修：坐标系与参数方程］ 22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）． （1）求直线与曲线的普通方程，并说明是什么曲线？ （2）设M，N是直线与曲线的公共点，点的坐标为，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）消去参数即可得到直线与曲线的普通方程即可说明曲线. （2）将直线参数方程代入圆的普通方程即可得到与，根据参数的几何意义讨论求得的值. 【小问1详解】 由题意可得：直线l的参数方程为消去参数 得：. 曲线的参数方程为.消去参数 得： 曲线表示以原点为圆心，以为半径的圆. 【小问2详解】 由（1）知：将直线的参数方程代入 得： 可知，，故与异号. 不妨设 , 易知，故= = 同理， 易知，故= = 综上： ［选修4-5：不等式选讲］ 23. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）设函数的最小值为m，且正实数a，b，c满足，求证：． 【答案】（1） （2）∵，当且仅当时等号成立， ∴函数的最小值为，则， 又∵，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； 上式相加可得：，当且仅当时等号成立， ∴. 【解析】 【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得，再利用基本不等式即可证明. 【小问1详解】 由题意可得：， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述：不等式的解集为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $