精品解析：安徽省滁州市定远县多校联考2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年度九年级数学阶段反馈 考试范围：（八年级下册+九年级21.1+21.2） 满分150分，考试时间：120分钟； 一、单选题（本题共计10题，每小题4分，共计40分） 1. 下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数”即可求解． 【详解】解：A、，是二次函数，符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，不是二次函数，不符合题意； D、，当时，不二次函数，不符合题意； 故选：A ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式的运算及性质是解题的关键．根据二次根式的运算及性质可求解． 【详解】解：A、，原计算错误； B、是最简二次根式，故选项原说法错误； C、，故选项原说法错误； D、，故选项正确； 故选D． 3. 的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理即可判断③④；根据三角形内角和定理即可判断①②，从而得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ③∵， ∴， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④∵， ∴设，，， ∴， ∴∴是直角三角形，故④符合题意； 综上所述，其中能判断是直角三角形的个数有个， 故选：C． 4. 已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 图象经过原点 C. 开口向上 D. 图象有最低点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象有最高点，当时，，即图象过原点． 故选：B． 5. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2解答． 6. 已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 7. 若，是方程的两个实数根，则的值为 A. 2015 B. C. 2016 D. 2019 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论． 【详解】是方程的两个实数根，，即，则． 故选C． 【点睛】本题考查了方程的解的概念及韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键． 8. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于E，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形中， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选：B． 9. 已知三个实数a，b，c满足，则下列结论正确是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等关系，代入消元，运用解一元二次方程的相关知识，判断各选项即可． 【详解】A．若，则，即，代入第二个等式得，所以A错误； B．若，则，代入后得到，于是解得，所以B选项错误； C．若，则，代入后得到，于是解得；所以C选项错误； D．若，则，，所以D选项正确． 故选D 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键． 10. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；若平分，则，与矛盾，可得③错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明④． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴①正确； ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 同理：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴若平分，则，与矛盾， ∴③错误； 如图所示：连接、， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵中，，中，， ∴， ∴， ∴④正确； 综上可知，正确的有①②④， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 二、填空题（本题共计4题，每小题5分，共计20分） 11. 若函数是关于的二次函数．则常数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式，是解题的关键． 根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 故答案为： 12. 使代数式有意义的x的取值范围是_____． 【答案】x≥0且x≠ 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得2x-1≠0，再解不等式即可． 【详解】由题意得：x≥0且2x−1≠0， 解得x≥0且x≠， 故答案为x≥0且x≠． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．牢记分式、二次根式成立的条件是解题的关键． 13. 已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的解析式为________．（结论用顶点式表示） 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线的图像与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， 这条抛物线与另一条抛物线的顶点坐标相同， ，， 这条抛物线与抛物线形状相同， ， 即， 这条抛物线的解析式为：或 故答案为：， 14. 如图，四边形的对角线与互相垂直，点E，F分别是的中点，连接，已知，，则 （1）四边形的面积为___________； （2）长为__________． 【答案】 ①. 24 ②. 5 【解析】 【分析】（1）将四边形的面积写成，然后用三角形的面积公式和已知条件即可解答； （2）如图：取的中点G，连接，根据三角形中位线的性质可得、，再结合可得，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）如图：四边形的面积为：． 故答案为24． （2）如图：取的中点G，连接． ∵是的中点， ∴, 同理：, ∵, ∴, ∴． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，做辅助线、构造三角形中位线是解答本题的关键． 三、解答题（本题共计9题，共计90分） 15. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， 或， ． 16. 已知函数． （1）当____________时，抛物线有最大值，是____________． （2）当x____________时，y随x的增大而增大． （3）该函数可以由函数的图象经过怎样的平移得到？ （4）该抛物线与x轴交于点____________，与y轴交于点____________．（写坐标） （5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象． 【答案】（1）1；4 （2） （3）见解析 （4）和； （5）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与轴的交点坐标、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标，再根据二次项系数为得出抛物线开口向下，由此即可得出结论； （2）根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴，即可找出单增区间； （3）找出函数的顶点坐标，结合函数的顶点坐标，即可找出平移的方法； （4）令可得出关于的一元二次方程，解方程求出值，由此得出抛物线与轴的交点坐标；令求出值，由此即可得出抛物线与轴的交点坐标； （5）列表，描点，连线即可画出该抛物线的图象． 【小问1详解】 解：函数解析式为， 抛物线的开口向下，顶点坐标为． 当时，抛物线有最大值，是4． 故答案为：1；4； 【小问2详解】 解：抛物线的开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大． 故答案为：； 【小问3详解】 解：函数的顶点坐标为， 将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数的图象． 【小问4详解】 解：令，则有， 解得：，， 该抛物线与轴的交点坐标为和． 当时，， 该抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：和；． 【小问5详解】 解：列表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 描点，连线，该抛物线的图象如图： ． 17. 观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … （1）按照此规律，第个等式是：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据规律可知，第个等式：左边的被开方数是，右边根号外的系数为，被开方数为，据此写出第个等式即可； （2）根据规律可知，等式左边的被开方数为，等式的右边根号外的系数为，被开方数为，然后证明即可． 【小问1详解】 根据规律可知，第个等式是： ， 故答案为：； 【小问2详解】 根据规律猜想第个等式为：， 证明： ， 故猜想成立，即． 【点睛】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，观察所给的式子，找出变化规律是解题的关键． 18. 已知关于x的方程； （1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）该三角形的周长是13或14 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）分当时，当时，求出对应的m，进而求出方程的两个解，再根据三角形三边的关系和三角形周长公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程为， ∴ ， ∴无论m取何值，这个方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵为等腰三角形， ∴或b、c中有一个为5． ①当时，则， ∴， ∴原方程为， 解得， ∴， ∵， ∴4、4、5能构成三角形． ∴该三角形的周长为． ②当时，则是方程的一个根， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得：． ∵4、5、5能组成三角形， ∴该三角形的周长为． 综上所述，该三角形周长是13或14． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，三角形三边的关系，解一元二次方程，等腰三角形的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线常数）经过点且交轴于两点． （1）求抛物线表示的函数解析式； （2）若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积 （1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答； （2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答． 【小问1详解】 解：把代入函数中，得， 解得， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵抛物线为常数）经过点， ∴，解得， ∴抛物线表示的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的函数解析式为， ∴顶点P的坐标为， ∵， ∴轴，， 过点D作于点E，则， ∴； 把代入函数中，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 20. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合证明为矩形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，结合矩形的性质可得，，再解求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵， ∴且 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵是的平分线，， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合应用上述知识是解题的关键． 21. 某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米，已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米，长方形电动车棚的面积为． （1）求与的函数关系式，并写出的取值范围． （2）当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）； （2）小路的宽为1米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决第2问的关键． （1）用木板总长度加2米减去与院墙垂直的两边长，再利用长方形的面积公式列式即可求解； （2）先求出院墙平行的边长，再根据空白面积为54平方米列出方程，求解后进行选择即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即车棚与墙平行的一面长米； ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴的取值范围为； 【小问2详解】 解：当时，， 设小路的宽为x米，根据题意得： ， 整理得， 解得：，（舍去）， 答：小路的宽为1米． 22. 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中______，并补全条形图； （2）样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【答案】（1）25%，图形见解析；（2）5.3，5，5；（3）540名. 【解析】 【分析】（1）用1减去其他人数所占的百分比即可得到a的值，再计算出样本总数，用样本总数×a的值即可得出“引体向上达6个”的人数； （2）根据平均数、众数与中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1200即可． 【详解】解：（1）由题意可得， ， 样本总数为：， 做6个的学生数是， 故答案是：25％， 条形统计图补充如下： （2）由补全的条形图可知， 样本数据的平均数， ∵引体向上5个的学生有60人，人数最多， ∴众数是5， ∵共200名同学,排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个， ∴中位数为， 故答案是：5.3，5，5； （3）该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有： （名）， 即该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有540名． 【点睛】本题主要考查了众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数，平均数，掌握众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数，平均数是解题的关键. 23. 【问题提出】 （1）如图1，在中，可知 ___________；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】 （2）如图2，在菱形中，，E是对角线上一点，延长至点F，使得，连接，．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，某市一湿地公园内有一块形如正方形的观光区，已知．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要沿，分别修建步行景观道，其中，点E，F分别在边和对角线上，．为了节省成本，要使所修的步行景观道之和最短，即的值最小，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 【答案】（1）< （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边的关系直接求解即可； （2）作交于点G，证是等边三角形，继而证是等边三角形，得，从而得，继而证得，即可得出结论； （3）过点B作，且，连接，，证明，得，从而有，所以当点D，点E，点H三点共线时．有最小值，其值为的长，然后过点H作交的延长线于M，于N．求出，继而求得，，则可由求解． 【详解】解：（1）由题意，得． 故答案为：＜； （2）证明：如图2，作交于点G， 在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∵． ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中．， ∴， ∴． （3）如图3，过点B作，且，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴当点D，点E，点H三点共线时．有最小值，其值为的长， 过点H作交的延长线于M，于N． 在正方形中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∴， 故最小值为． 【点睛】本题考查三角形三边的关系，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．本题属四边形综合探究题目，属中考压轴题，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级数学阶段反馈 考试范围：（八年级下册+九年级21.1+21.2） 满分150分，考试时间：120分钟； 一、单选题（本题共计10题，每小题4分，共计40分） 1. 下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 图象经过原点 C. 开口向上 D. 图象有最低点 5. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 若，是方程的两个实数根，则的值为 A. 2015 B. C. 2016 D. 2019 8. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于E，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知三个实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本题共计4题，每小题5分，共计20分） 11. 若函数是关于的二次函数．则常数的值是______． 12. 使代数式有意义的x的取值范围是_____． 13. 已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的解析式为________．（结论用顶点式表示） 14. 如图，四边形的对角线与互相垂直，点E，F分别是的中点，连接，已知，，则 （1）四边形的面积为___________； （2）长为__________． 三、解答题（本题共计9题，共计90分） 15. （1）计算：． （2）解方程：． 16. 已知函数． （1）当____________时，抛物线有最大值，是____________． （2）当x____________时，y随x增大而增大． （3）该函数可以由函数的图象经过怎样的平移得到？ （4）该抛物线与x轴交于点____________，与y轴交于点____________．（写坐标） （5）在下面坐标系中画出该抛物线的图象． 17. 观察下列等式，解答后面问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … （1）按照此规律，第个等式是：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 18. 已知关于x的方程； （1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． （1）求抛物线表示的函数解析式； （2）若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 20. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 21. 某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米，已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米，长方形电动车棚的面积为． （1）求与的函数关系式，并写出的取值范围． （2）当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 22. 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中______，并补全条形图； （2）样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 23. 【问题提出】 （1）如图1，在中，可知 ___________；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】 （2）如图2，在菱形中，，E是对角线上一点，延长至点F，使得，连接，．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，某市一湿地公园内有一块形如正方形观光区，已知．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要沿，分别修建步行景观道，其中，点E，F分别在边和对角线上，．为了节省成本，要使所修的步行景观道之和最短，即的值最小，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$