精品解析：广西北海市北京市第八中学北海实验学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

数学试卷 考试范围：必修二 选择性必修一第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二备课组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ） A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第50百分位数的定义计算即得. 【详解】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数， 所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为. 故选：B 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则进行求解即可. 【详解】∵，∴， 故选：C 3. 已知向量，，，若，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件求得，再结合夹角公式即可求解. 【详解】由于， 故，即， 又因为， 所以，所以与的夹角为. 故选：C. 4. 有两条不同的直线，，以及两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质及线线、线面、面面相关判定，判断各选项的正误. 【详解】A：若，，则或，错误； B：若，，，仅当时，错误； C：若，，必有，正确； D：若，，，则可能平行、相交或异面，错误； 故选：C. 5. 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和． 【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”， ∴P(A)，P(B)， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A和事件B为互斥事件， 则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为 P（A∪B）＝P(A)+P(B)， 故选：A． 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题． 6. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A. 计算机行业好于化工行业 B. 建筑行业好于物流行业 C. 机械行业最紧张 D. 营销行业比贸易行业紧张 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值，比值越大，就业形势越好，故选B． 考点：本题主要考查不等式的概念、不等式的性质． 点评：解答此类题目，首先要审清题意，明确就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值． 7. 棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出正三棱锥的表面积. 【详解】由题意，多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球， 由题意可知面交于，连接，则 且其外接球的直径为AE，易求正四面体ABCD的高为. 设外接球的半径为R，由得. 设正三棱锥的高为h，因为，所以. 因为底面的边长为a，所以， 则正三棱锥的三条侧棱两两垂直. 即正三棱锥的表面积， 故选：A. 【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球问题，通过求得半径求出四面体的边长是解题的关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题． 8. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 二、多选题 9. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数的概念先求出平均数，再结合方差的公式求得，进而求出. 【详解】设除记错以外的数据为， ， 因为 所以 所以 所以. 故选：AC. 10. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P、Q分别为线段、上的动点(不包括端点)，则下列说法正确的是( ) A. 存在点P、Q，使得 B. 三棱锥的体积不变 C. 直线和直线异面 D. 周长的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：在上取E，使得CE=BQ，证明DE∥AQ，DE和互为异面直线即可；B：，易知和Q到平面的距离均为定值，据此即可判断；C：在上取F，使得AF=BQ，与选项A同理即可判断；D：将三棱锥的侧面展开到与△在同一平面的平面图，当、P、Q三点共线时，周长取最小值． 【详解】对于A，在上取E，使得CE=BQ， 易知QE∥BC且QE=BC，又BC∥AD且BC=AD， 故QE∥AD且QE=AD，故四边形ADEQ是平行四边形，∴AQ∥DE， ∵D、E、∈平面，，P平面，∴DE和互为异面直线，∴和AQ互为异面直线，故不可能存在P、Q，使，故A错误； 对于B，，其中h为Q到平面的距离，易知∥平面，而Q∈，故h为定值1，又∵也为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，在上取F，使得AF=BQ，与选项A同理可知CQ∥DF，DF与异面，故直线和直线异面，故C正确； 对于D， 将三棱锥展开成平面图如图： 连接分别交和和P、Q，此时△周长为最短，即为， 易知，， ∴根据余弦定理得=，故D正确． 故选：BCD． 11. 如图，在三棱柱中，M，N分别是线段上的点，且．设，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由空间向量的运算法则和空间向量的夹角公式、模长公式、数量积的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，，，所以与的夹角为，又， 所以与的夹角为，故A错误； 对于B，因为，， 所以， ， ，故B正确； 对于C，，，， ，，， ， .故C错误； 对于D，， .故D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________. ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 【答案】①④ 【解析】 【分析】在①中，由对立事件定义得与为对立事件；有②中，与有可能同时发生；在③中，与有可能同时发生；在④中，（C）（E）；在⑤中，从而（B）（C）． 【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球， 事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”， “取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”， ①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确； ②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误； ③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误； ④，（C），（E），， 从而（C）（E），故④正确； ⑤，，从而（B）（C），故⑤错误． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件等基本概念的合理运用． 13. 在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为___________. 【答案】50.4 【解析】 【分析】分别计算男生平均身高、女生平均身高、50人平均身高，结合方差公式即可求解. 【详解】设24名男生的身高分别为，平均数为， 26名女生的身高分别为，平均数为， 样本中人的身高平均为， ，可得 ，可得 ，可得： ，可得 故答案为：50.4. 14. 设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为锐角时，的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于在正方体中，所以建立空间直角坐标系，由为锐角，可得，再结合在线段上，可求出的取值范围 【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则， 由得，则， 因为为锐角， 所以， 解得或， 又因为动点在棱长为1的正方体的对角线上， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】此题考查利用空间向量解决线线角问题，属于基础题. 四、解答题 15. 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图： （1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数； （2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率. 【答案】（1）分；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用频率分布直方图，能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数． （2）“良”、“中”的频率分别为0.4，0.2．又班级总数为40．从而“良”、“中”的班级个数分别为16，8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2．由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率． 【详解】（1）得分的频率为；得分的频率为； 得分的频率为； 所以得分的频率为 设班级得分的中位数为分，于是，解得 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为分. （2）由（1）知题意 “良”、“中”的频率分别为又班级总数为 于是“良”、“中”的班级个数分别为. 分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为 因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗. 所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为 则为两个评定为“中”的班级. 把4个评定为“良”的班级标记为 2个评定为“中”的班级标记为 从这6个班级中随机抽取2个班级用点表示，其中.这些点恰好为方格格点上半部分（不含对角线上的点），于是有种. 事件仅有一个基本事件. 所以 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为. 【点睛】本题考查中位数、概率的求法，考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16. 某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为. （1）分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率； （2）求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，根据已知条件以及事件的相互独立性列出方程组求解即可； （2）将至少有两位小孩需要照顾分类，结合互斥事件以及对立事件的概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，， 则由题意得，解得. 即甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，. 【小问2详解】 设事件A:这一小时内至少有两位小孩需要照顾， 这一小时内恰好有两位小孩需要照顾的概率为 ， 这一小时内三位小孩都需要照顾的概率为， 则， 即这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率. 17. 如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1） 连结，因为点是的中点，则， 则点是的中点，且是的中点， 所以， 且平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，结合中位线的性质，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用向量公式，即可求解二面角的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系， ，，， ，， 设平面的法向量， ，令，则，， 则平面的法向量， 平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 所以. 二面角的平面角的正切值为 18. 如图，在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为，点P在线段SD上，且△SAC的面积为1. （1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC； （2）是否存在点P，使得直线SC与平面ACP所成角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 如图，连接交于点，连接， 则，且平面， ，， 故， 因为点P是SD的中点， 所以， 又因平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2） 假设存在， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 设， ， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 即直线SC与平面ACP所成角的正弦值为， 所以直线SC与平面ACP所成角的余弦值为， 解得或（舍去）， 所以当点位于靠近点的三等分点时，直线SC与平面ACP所成角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，则，且平面，根据△SAC的面积根据求得，再证明，从而可得平面，即可得证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，. （1）求角A； （2）若，求bc的值； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与和角公式即可推理计算得到； （2）设利用向量数量积定义式和等面积计算即得； （3）利用余弦定理，推理求出，将恒成立转化为在上恒成立问题，求出在上的最小值即得. 【小问1详解】 由可得，， 由正弦定理，，即， 因代入可得：， 因，则，故，得； 【小问2详解】 设则由可得， ，整理得，①， 又由可得，， 整理得，； 【小问3详解】 在中，由余弦定理，，即② 分别在中，由余弦定理，， 将三个等式左右分别相加，， 将①，②代入整理得，，于是， 从而，， 依题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立， 因，当且仅当时等号成立， 故有，即实数n的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合图形利用等面积得到，求得的值；多次利用余弦定理推理得到，从而求得，将不等式恒成立问题转化为求相关函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 考试范围：必修二 选择性必修一第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二备课组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ） A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.7 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 4. 有两条不同的直线，，以及两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A. 计算机行业好于化工行业 B. 建筑行业好于物流行业 C. 机械行业最紧张 D. 营销行业比贸易行业紧张 7. 棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题 9. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P、Q分别为线段、上的动点(不包括端点)，则下列说法正确的是( ) A. 存在点P、Q，使得 B. 三棱锥的体积不变 C. 直线和直线异面 D. 周长的最小值为 11. 如图，在三棱柱中，M，N分别是线段上的点，且．设，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________. ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 13. 在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为___________. 14. 设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为锐角时，的取值范围是__________． 四、解答题 15. 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图： （1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数； （2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率. 16. 某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为. （1）分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率； （2）求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率. 17. 如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的正切值. 18. 如图，在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为，点P在线段SD上，且△SAC的面积为1. （1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC； （2）是否存在点P，使得直线SC与平面ACP所成角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由． 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，. （1）求角A； （2）若，求bc的值； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $