精品解析：福建省厦门湖里实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

厦门市湖里实验中学2023－2024学年第一学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确答案．） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行分析，实际判断时即两个较小边的和大于第三边即可． 【详解】解：A、因为，所以不能围成一个三角形； B、因为，所以不能围成一个三角形； C、因为，所以能围成一个三角形； D、因为，所以不能围成一个三角形； 故选：C． 3. 在下列图形中，正确画出△ABC的AC边上的高的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】△ABC的AC边上的高的就是通过顶点B作的AC所在直线的垂线段，根据定义即可作出判断． 【详解】解：△ABC的AC边上的高的就是通过顶点B作的AC所在直线的垂线段．根据定义正确的只有C． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，理解定义是关键． 4. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ， ， ， 故选：C 5. 如图所示，若，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】已知，根据全等三角形的对应边相等，可得，即可得到的长． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等． 6. 如图，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 7. 如图，等腰的面积为，底边长为，腰的垂直平分线交于点，交于点，为的中点，为直线上的动点，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，根据垂直平分线的性质可得，即A、M、D三点共线时，最小值为的长，根据面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， 即A、M、D三点共线时，最小值为的长， ∵，点D为的中点， ∴，， ∵等腰的底边长为，面积为， ∴ ∴， ∴周长的最小值为， 故选：D． 8. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ，两边中线的交点处 B. ，两边垂直平分线的交点处 C. ，两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在两边垂直平分线的交点处． 故选：B． 9. 如图，将两块大小相同的三角板（∠B=∠C=30°的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若BE交CF于点D交AC于点M，AB交CF于点N，则下列结论：①∠EAM=∠FAN；②△ACN≌△ABM；③∠EAF+∠BAC=120°；④EM=FN；⑤CF⊥BE中，正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】①由得到，由角的和差解题即可； ②由得到，继而证明即可解题； ③由得到及三角形内角和180°可得，再由角的和差解题即可； ④证明即可解题； ⑤根据四边形内角和360°解题即可． 【详解】① 故①正确； ② 故②正确； ③ 故③正确； ④由①知， 又 故④正确； ⑤在四边形中， 不一定垂直 故⑤错误， 故正确的结论有：①②③④ 故选：B． 【点睛】本题考查三角板的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和360°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10. 如图，是的中线，点为上一点，，连接并延长，交于点，若的面积是，则的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据可得即可解答． 【详解】解：是的中线，的面积是， ， ， ， ， 的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的中线的性质，熟练掌握中线的性质是解题关键． 二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. （1）_______； （2）_______； （3）_______； （4）_______． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）根据同底数幂的计算法则计算即可求解； （2）根据积的乘方运算法则计算即可求解； （3）根据单项式乘以单项式法则计算即可求解； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； 【详解】（1） （2） （3） （4） 12. 点关于轴对称的点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此可直接得到结果． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 13. 小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转45°，再沿直线前进10米后，又向左转45°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______米． 【答案】80 【解析】 【分析】由题意画出示意图，可知小明所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：由题可知，小明的行走路径如图所示， ∴小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转45°， ∵360°÷45°=8， ∴小明共转了8次，一次沿直线前进10米，8次则前进80米． 故答案为：80． 【点睛】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，解题的关键是能够理解题意，熟知多边形的外角和是360°． 14. 已知，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】由可得，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则把所求式子变形求解即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 15. 在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：．的化简结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的新定义，多项式乘多项式运算，关键是读懂新定义，掌握多项式乘多项式运算法则．认真读懂新定义，代入新定义公式化简即可． 【详解】依据新定义可知： ， 故答案为：． 16. 如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为_________________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题解析：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B， ∴∠BA1A==80°， ∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1==40°； 同理可得， ∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°， ∴∠An=． 考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形外角的性质. 三、解答题（本大题共9题，共86分，每题请写出详细的解答过程） 17. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法运算，正确运用计算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （3）根据单项式乘多项式的法则计算即可； （4）逆用积的乘方及同底数幂的乘法进行简便计算． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项，先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，最后将代入化简结果及进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 19. 如图，在中，是的角平分线，于点，若，，求及的度数． 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义和已知得到，进而根据直角三角形的锐角互余求出即可，熟练掌握三角形内角和等于和角平分线的定义是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC，垂足为D，若D是边AC的中点， （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）在线段BD上求作点E，使得CE＝2DE（要求：尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 【答案】（1）证明：∵BD⊥AC，D是边AC的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴BC=AB， ∵AB=AC, ∴AB=AC=BC, ∴△ABC是等边三角形； （2）画图如下： 【解析】 【分析】（1）先证BD垂直平分AC，得到BC=AB,再由AB＝AC证得三边相等，由此证得结论； （2）根据CE＝2DE分析得到CE平分∠ACB，依此画图即可. 【详解】（1）略 (2)∵CE＝2DE, BD⊥AC， ∴∠DCE=30， ∵∠ACB=60， ∴CE平分∠ACB. 【点睛】此题考查等边三角形的判定定理，由“BD⊥AC，D是边AC的中点”这两个条件，可以通过三角形全等或是线段的垂直平分线证得BC=AB，由此得到结论；（2）在画图前先分析怎么画，画的线是什么特殊的线，通过分析得到CE平分∠ACB，然后再画图. 21. 如图，于E，于F，若 （1）求证：平分； （2）直接写出之间的等量关系． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据相“”定理得出，故可得出，所以平分； （2）由（1）中可知平分，故可得出，所以，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：结论： 理由：∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∵ 即：． 22. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【答案】 猜想：，，证明如下： 证明：①， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴(全等三角形的对应边相等)； ②， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：，． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．①利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出，②利用全等得出，再利用三角形的外角和定理得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【详解】略 23. 将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”． （1）如图1，AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，求∠BAD的度数； （2）如图2．在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，且AB=AD，若∠B=2∠DAC，判断直线AD是否是△ABC的对垂线，并说明理由． 【答案】（1）15°； （2）直线AD是△ABC的对垂线．理由如下： ∵AB=AD， ∴∠B=∠BDA． ∵∠B=2∠DAC，∠BDA=∠DAC+∠C， ∴∠DAC=∠C∠B． ∵△ABC中，∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠B∠B=90°， ∴∠B=60°=∠BDA，∠DAC=∠C=30°． 把△ADC沿直线AD折叠，设点C落在C'处，直线AC'交BC于点F，则△ACD≌△AC'D， ∴∠DAC'=∠DAC=30°， ∴△AFD中，∠AFD=180°﹣30°﹣60°=90°， 即AC'⊥BC， ∴AD是△ABC的对垂线． 【解析】 【分析】（1）由“对垂线”的定义可得AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，则可得出∠BAD=∠B'AD，由等边三角形的性质得出∠BAB'∠BAC=30°，则由折叠的性质可得出答案； （2）由等腰三角形的性质得出∠B=∠BDA，可得出∠DAC=∠C∠B，求出∠B=60°，证得∠AFD=90°，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处， ∴AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D， ∴∠BAD=∠B'AD． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°． 又∵AB'⊥BC， ∴∠BAB'∠BAC=30°， ∴∠BAD∠BAB'°=15°； （2）略 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形“对垂线”的概念，折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 24. 如图，在等边中，点M在边上运动，延长至点N，使，连接，交于点P，过M作于点H． （1）求证：； （2）若，请问：在点M运动的过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，请你求出的长；如果变化，试说明理由． 【答案】（1） 证明：过点M作交于点D，， ∴；； ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴在和中， ， ∴， ∴ （2）不变，2 【解析】 【分析】（1）过点M作交于点D，证明，即可得证； （2）利用等边三角形的性质和全等的性质，推出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 线段PH的长不变 解：∵是等边三角形且， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． ∴在点M运动的过程中，线段PH的长不会发生变化，此时，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键． 25. 在中，为的角平分线，点E是直线上的动点． （1）如图所示，若点E恰好是边的中点，过点E作延长线的垂线，垂足为点G，交于点F，交的延长线于点H．求证：； （2）若，，且满足，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：延长至点P，使，连接，延长，交于点Q，如图所示： ∵，点E恰好是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）的度数为或 【解析】 【分析】（1）延长至点P，使，连接，延长，交于点Q，根据中位线性质得出，根据平行线性质得出，证明，得出，根据，，得出，即可证明结论； （2）分两种情况，①当点E在左侧延长线上时，②当点E在右侧延长线上时，分别画出图形，左侧辅助线，求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当点E在左侧延长线上时，如图所示，延长，使得，连接， ∵， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 联立方程组， 解得：； ②当点E在右侧延长线上时，如图所示，延长，使得，连接，延长交于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可知，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是数形结合，左侧辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市湖里实验中学2023－2024学年第一学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确答案．） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列图形中，正确画出△ABC的AC边上的高的图形是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，若，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2.5 6. 如图，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等腰的面积为，底边长为，腰的垂直平分线交于点，交于点，为的中点，为直线上的动点，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ，两边中线的交点处 B. ，两边垂直平分线的交点处 C. ，两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 9. 如图，将两块大小相同的三角板（∠B=∠C=30°的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若BE交CF于点D交AC于点M，AB交CF于点N，则下列结论：①∠EAM=∠FAN；②△ACN≌△ABM；③∠EAF+∠BAC=120°；④EM=FN；⑤CF⊥BE中，正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 如图，是的中线，点为上一点，，连接并延长，交于点，若的面积是，则的面积是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. （1）_______； （2）_______； （3）_______； （4）_______． 12. 点关于轴对称的点的坐标为____________． 13. 小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转45°，再沿直线前进10米后，又向左转45°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______米． 14. 已知，则______． 15. 在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：．的化简结果是_______． 16. 如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为_________________． 三、解答题（本大题共9题，共86分，每题请写出详细的解答过程） 17. 计算 （1） （2） （3） （4） 18. 先化简再求值：，其中． 19. 如图，在中，是的角平分线，于点，若，，求及的度数． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC，垂足为D，若D是边AC的中点， （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）在线段BD上求作点E，使得CE＝2DE（要求：尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 21. 如图，于E，于F，若 （1）求证：平分； （2）直接写出之间的等量关系． 22. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 23. 将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”． （1）如图1，AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，求∠BAD的度数； （2）如图2．在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，且AB=AD，若∠B=2∠DAC，判断直线AD是否是△ABC的对垂线，并说明理由． 24. 如图，在等边中，点M在边上运动，延长至点N，使，连接，交于点P，过M作于点H． （1）求证：； （2）若，请问：在点M运动的过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，请你求出的长；如果变化，试说明理由． 25. 在中，为的角平分线，点E是直线上的动点． （1）如图所示，若点E恰好是边的中点，过点E作延长线的垂线，垂足为点G，交于点F，交的延长线于点H．求证：； （2）若，，且满足，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $