浙江省杭州市西湖区公益中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区公益中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题。（本大题共10小题，共30分） 1．（3分）下列各组线段的长度成比例的是　　 A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．3，4，5，6 D．5，10，15，20 2．（3分）如图，，，，则的长为　　 A．3 B．4 C．6 D．9 3．（3分）如图，能使成立的条件是　　 A． B． C． D． 4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是　　 A． B． C．或 D．或 5．（3分）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 6．（3分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为　　 A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.9 7．（3分）如图，是的边的延长线上的一点，连接，交边于点．若，则与的周长之比为　　 A． B． C． D． 8．（3分）如图，在中，，中线，相交于点．，交于点．，则的长为　　 A．5 B．6 C．10 D．12 9．（3分）如图，在正方形中，点，分别在边和上，，垂足为，若，则的值为　　 A． B． C． D． 10．（3分）如图，在矩形中，，交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点，连接，，若，有下列结论： ①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的是　　 A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题。（本大题共6小题，共24分） 11．（4分）在比例尺为的地图上，在地图上的面积为，则在实际中的面积为 　　． 12．（4分）如图，在矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 　　． 13．（4分）一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的示意图，图③是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：．则在图③时，点，之间的距离为 　　． 14．（4分）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 　　． 15．（4分）已知线段，点是线段的黄金分割点，以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，则　　． 16．（4分）工人师傅在修葺一人字架屋顶时需要加固，计划焊接三根钢条，，．在如图所示的中，，，于点，点，，分别是，，上的点（如图中位置），连接，，交于点，与交于点，当为的中点，， 时，　　，的面积为 　　． 三、解答题。（本大题共7大题，共66分） 17．（6分）已知， （1）求代数式的值； （2）如果，分别求出，，的值． 18．（8分）如图，在矩形中，是边的中点，于点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 19．（8分）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20．（10分）如图，在平行四边形中，点是上一点，射线与的延长线交于点，与边交于点，连接． （1）若，求证：； （2）若点是中点，，求的长． 21．（10分）如图，在中，是角平分线，平分交于点，且． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 22．（12分）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长出五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形的边，的延长线相交于点，， 的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）求的值． 23．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． （1）已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； （2）如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； （3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 2023-2024学年浙江省杭州市西湖区公益中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 参考答案与试题解析 一、选择题。（本大题共10小题，共30分） 1．（3分）下列各组线段的长度成比例的是　　 A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．3，4，5，6 D．5，10，15，20 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【解答】解：、，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 2．（3分）如图，，，，则的长为　　 A．3 B．4 C．6 D．9 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：，，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 3．（3分）如图，能使成立的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定求解即可． 【解答】解：由题意得，， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断，故本选项符合题意； 、、均不能判定，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是　　 A． B． C．或 D．或 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答． 【解答】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小， 点的对应点的坐标是或， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 5．（3分）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：为的黄金分割点，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 6．（3分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为　　 A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.9 【分析】由题意可知，，，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 答：树的高度为， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 7．（3分）如图，是的边的延长线上的一点，连接，交边于点．若，则与的周长之比为　　 A． B． C． D． 【分析】由四边形是平行四边形，得，则，可推导出，由，得，则． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明是解题的关键． 8．（3分）如图，在中，，中线，相交于点．，交于点．，则的长为　　 A．5 B．6 C．10 D．12 【分析】首先根据三角形重心的定义得出点为的重心，由重心的性质得出．再证明，求出，那么，，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【解答】解：在中，中线，相交于点， 点为的重心，，， ． ， ， ， ， ， ， 在中，，是中线， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线． 9．（3分）如图，在正方形中，点，分别在边和上，，垂足为，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】设，证明，可得，利用勾股定理求出，然后证明，对应边成比例得，求出，进而可以解决问题． 【解答】解：设， 四边形是正方形， ，， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键． 10．（3分）如图，在矩形中，，交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点，连接，，若，有下列结论： ①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的是　　 A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】①证明，得，然后证明四边形是平行四边形，可得结论； ③证明，推出，再证明，，可得结论； ④证明是等边三角形，然后得，可得结论； ②结合④，根据菱形的一条对角线平分一组对角，可得结论． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，故①正确， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，故③正确， 四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形；故④正确； ， ， 不是菱形的对角线， ，故②错误， 综上所述：正确结论是①③④， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题。（本大题共6小题，共24分） 11．（4分）在比例尺为的地图上，在地图上的面积为，则在实际中的面积为 　25　． 【分析】根据面积比是比例尺的平方比，列比例式求得在实际中的面积． 【解答】解：设在实际中的面积为 ， 则， 解得． ． 则在实际中的面积为． 故答案为：25． 【点评】本题考查了比例尺的定义，注意面积比是比例尺的平方比． 12．（4分）如图，在矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 　　． 【分析】相似多边形对应边的比相等，由此即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， ，， 矩形矩形， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的对应边成比例． 13．（4分）一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的示意图，图③是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：．则在图③时，点，之间的距离为 　20　． 【分析】连接，先证明四边形是矩形，即可得到． 【解答】解：连接，如图， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 故答案为：20． 【点评】本题考查矩形的判定，解答时涉及平行线的判定，平行四边形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 14．（4分）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 　140　． 【分析】根据相似三角形的判定可得△，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度 【解答】解：， ，． △． 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得， ， 解得． 灯泡离地面的高度为； 故答案为：140． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质． 15．（4分）已知线段，点是线段的黄金分割点，以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，则　4　． 【分析】过点作，交的延长线于点，利用平行线的性质和角平分线的定义可得是等腰三角形，从而可得，再根据黄金分割的定义可得，从而可得，然后证明8字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，交的延长线于点， ， 平分， ， ， ， 点是线段的黄金分割点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（4分）工人师傅在修葺一人字架屋顶时需要加固，计划焊接三根钢条，，．在如图所示的中，，，于点，点，，分别是，，上的点（如图中位置），连接，，交于点，与交于点，当为的中点，， 时，　　，的面积为 　　． 【分析】过点作交于点，利用已知条件易证，，，，同时可求出，的长，利用勾股定理求出的长，结合已知求出，的长；利用直角三角形的性质，可证得，，由此可证，，利用相似三角形的性质，可求出的长及与的比值；设，则，用含的代数式表示出，的长，由此建立关于的方程，解方程求出的值；然后证明，利用相似三角形的性质求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积． 【解答】解：过点作交于点， ，， ，， ，，，， ， ，， ， 解得：，， 在中，点是的中点， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 解得：， 设，则， ，， ， 解得：， 经检验，符合题意， ， ， ， ， 即， 解得， ， 故答案为：，． 【点评】此题考查相似三角形的应用，等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 三、解答题。（本大题共7大题，共66分） 17．（6分）已知， （1）求代数式的值； （2）如果，分别求出，，的值． 【分析】（1）利用设法进行计算，即可解答； （2）利用设法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）设， ，，， ； （2）设， ，，， ， ， 解得：， ，，． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键． 18．（8分）如图，在矩形中，是边的中点，于点． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【分析】（1）由四边形为矩形，，可得，即可证明结论； （2）为的中点，根据勾股定理可得，再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得的长，进而求得的长即可． 【解答】（1）证明：四边形为矩形，， ， ， ， ， ． （2）解：为的中点， ， 在中，由勾股定理可知，． ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（8分）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，得出，由得出比例式，求出，即可得出的长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， 又， ， ， ； （2）解：，，， ，， 是的中点， ， ， ， 即， ， ． 【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 20．（10分）如图，在平行四边形中，点是上一点，射线与的延长线交于点，与边交于点，连接． （1）若，求证：； （2）若点是中点，，求的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，从而有，即可证得，根据相似三角形的性质：对应边成比例即可得证； （2）由平行四边形的性质可得，，，加上对顶角相等得，得，结合点是的中点，可求得；再由是的中点，得点是的中点，从而可求得的长度，即可求的长度． 【解答】（1）证明：平行四边形，射线与的延长线交于点， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：平行四边形，射线与的延长线交于点， ，，， ， ， ， ， 点是的中点， ，点是的中点， ， 解得：， ， ． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件与性质，平行四边形的性质，并灵活运用． 21．（10分）如图，在中，是角平分线，平分交于点，且． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 【分析】（1）由平分交于点，得，由，得，，则，而，即可证明，得，所以； （2）由，得，由，得，所以，而，则，再证明，则，即可由，得，再证明，则． 【解答】（1）证明：平分交于点， ， ， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【点评】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明是解题的关键． 22．（12分）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长出五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形的边，的延长线相交于点，， 的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）求的值． 【分析】（1）根据正五边形的性质可得，从而利用平角定义可得，进而利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可证，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）设，利用（1）的结论可得：，从而可得，在利用（1）的结论可得：，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再利用线段的和差关系可得，最后利用（1）的结论可得：，从而可得，进行计算即可解答； （3）连接，，根据正五边形的性质可得，，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，然后利用（1）的结论可得：，从而可证利用可证，再利用（2）的结论可得：，从而可得，进而可得，最后设的面积为，则的面积为，从而可得的面积的面积，的面积的面积，进而可求出五边形的面积，再进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：五边形是正五边形， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， 由（1）可得：， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 解得：或（舍去）， ， 的长为； （3）连接，， 五边形是正五边形， ，， ， ，，， ，， ，， 由（1）可得：， ，， ， 由（2）得：， ， ， 设的面积为，则的面积为， 的面积的面积，的面积的面积， 五边形的面积的面积的面积的面积， ， 的值为． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的性质，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． （1）已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； （2）如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； （3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 【分析】（1）根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得； （2）①先判断出，得出即可； ②由得出，再由知，即可得出结论； （3）过点作于点，证，得，即，再由推出，据此可得答案． 【解答】（1）解：①当时，， ， ，（成立）； ②当时，， ，（成立）； ③当时，， ，（成立）； 综上所述，满足条件的的长为或9或； （2）证明：， ， ，， ， ， 即， ， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形． （3）解：如图2，过点作于点， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 即， ， 又， ， ， ，， ， ． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、比例三角形的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/18 23:17:37；用户：佩服还小飞飞；邮箱：orFmNt06nLZ6osDiSU3_grzcMSxM@weixin.jyeoo.com；学号：26025303 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$