第2章 轴对称图形 闯关练习-2024－2025学年苏科版数学八年级上册

第2章轴对称图形闯关练习-数学八年级上册苏科版 典型例题 1．如图，在中，，是的角平分线；平分，交于点D，． (1)求的度数． (2)猜想：与的位置关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟记性质与判定定理． （1）根据角平分线定义得出，根据，得出，根据三角形内角和得出，即可求出结果； （2）先由，根据等角对等边得出，又平分，根据等腰三角形三线合一的性质得到． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）解：猜想：．理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴（等腰三角形三线合一）． 2．如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒．    (1)点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； (2)当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； (3)当时，判断与的位置关系． 【答案】(1)４； (2)，理由见解析； (3)与互相垂直． 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题的关键． ()根据相遇问题，由路程速度时间，建立等式求出的值即可； ()根据若是等边三角形，此时点在上，点在上，且，进而得出，求出即可； ()根据，运动速度得出，是等边三角形，得求出即可； 【详解】（1）解：设点从出发到相遇所用时间是， 根据题意得： ， 解得， 故答案为：； （2）如图，若是等边三角形，此时点在上，    点在上，， 和都是边长为4厘米的等边三角形， ， ， 则，即， 解得， ∴当时，也是等边三角形； （3）与互相垂直，理由如下： 如图，根据题意得：，取的中点，    ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，与互相垂直． 3．在中，边上的高，点P是直线上任意一点，过P作于E，于F，且． (1)如图①，若点P在边上时，三者关系如何？请说明理由； (2)如图②，③，若点P在或的延长线上时，三者关系又如何？（直接写出结论，不需说明理由） (3)若点P是直线上的点，，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)在图②中，；在图③中， (3)的值为3或13 【分析】（1）连接，根据面积法可得，即可得到，即； （2）点在或的延长线上时，连接，根据面积法可得，，三者关系； （3）当，时，根据上述结论中，，三者关系即可得到的值． 本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，运用面积法得出线段之间的数量关系，解决问题的关键是作辅助线，运用分类思想解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ，，， 又 ， ， ，即； （2）解：如图，点在的延长线上时，连接， ， ， ，即； 如图，点在的延长线上时，连接， ， ， ，即； （3）解：当点P在边上时，由（1）可知，， 那么， 故； 当点在的延长线上时，由（2）可知，， 那么， 故（舍去）； 当点在的延长线上时，由（2）可知，， 那么， 故． 综上所述，的值为3或13． 第三部分 跟踪训练 一、单选题 1．下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．将等腰直角三角板与直尺按如图方式叠放一起，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．已知等腰三角形的三边长分别是2，，6，则这个等腰三角形的周长是（    ） A． B．10 C．10或14 D．14 4．已知的周长为7，，则下列直线一定是的对称轴的是（    ） A．的边的垂直平分线 B．的平分线所在的直线 C．的边上的高所在的直线 D．的边上的中线所在的直线 5．如图，面积是16，，，点A与点C关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为（　　）    A．8 B．10 C．12 D．14 6．如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．下列结论： ①平分；②；③；④．正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 8．如图，在中，交于D，平分交于E，F 为延长线上一点，交的延长线于点M，交的延长线于点 G，的延长线交于点 H，连接，则下列结论∶①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．等腰三角形的一个角比另一个角大，则顶角为 度． 10．如图，一张宽度相等的长方形纸条，如图所示折叠一下，那么 ．    11．如图，在中，，垂直平分，分别交于点D、E，且，则为 12．如图，在等腰三角形中，，，则 度．    13．如图，在正六边形的内部作正五边形，连接并延长，交于点N，则的度数为 ． 14．在等腰中，，，为直线上一个动点，当时，则的度数为 ． 15．如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线，交于点． 如果的面积为9，则的面积为 ． 16．如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 三、解答题 17．如图，已知中，过点作的平分线的垂线，垂足为，作交于，求证：． 18．已知三角形的中线，通常把中线延长一倍，构造全等三角形．如图，中，是中线，也是角平分线，求证：是等腰三角形． 19．如图，在四边形中，，，，点E为上一点，连接，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，则的长为______． 20．如图，中，，平分交于是上一点，且，求证：． 21．如图1，等边，延长至点，使，连接，点是边上任意一点，以为边作等边，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若点在的延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 22．如图，在中，，点D是上一点，于点E，于点F． (1)若点D是的中点，求证：； (2)若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D D B B A C 1．B 【分析】本题考查的是轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质可求出的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解∶如图， 根据题意，得，， ∴， 故选∶A． 3．D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．分两种情况讨论：若等腰三角形的腰长为2，底边长为6，则等腰三角形不存在；若等腰三角形的腰长为6，底边长为2，则周长为14，即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形； 若等腰三角形的腰长为6，底边长为2， 则等腰三角形的周长是， 故选：D 4．D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及对称轴的定义，判断出是等腰三角形，是底边是解题的关键．首先判断出是等腰三角形，是底边，然后根据等腰三角形的性质和对称轴的定义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰三角形，是底边， ∴一定为的对称轴的是的边上的中线所在的直线， 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键． 连接，，由等腰三角形三线合一的性质得，，，则有，要使的周长为最小值，只需、、三点共线，进而问题可求解． 【详解】解：连接，，如图所示：   ，点是的中点，， ，， 面积是16， ， ， ∵点A与点C关于直线对称， ， ， 要使的周长为最小值，只需、、三点共线，即， 的周长为最小值为． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查角平分线的作图，含30度角的直角三角形，根据作图可知平分，进而推出为等腰三角形，结合含度角的直角三角形的性质和角平分线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， 即：； 综上，正确的是①②④共3个； 故选B． 7．A 【分析】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 根据得出点在的平分线上，再证明和即可证明． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线， ∴点在的平分线上，故B正确， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故C正确， ∴，故D正确． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，余角的性质等知识，利用余角的性质可判定①、②；利用角平分线的性质可判断③；利用全等三角形的判定可判定④． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 而无法判断， ∴无法判断，故①错误； ∵，， ∴，， ∴，故②正确； ∵平分， ∴E到、的距离相等，设这个距离为 ∴，故③正确； 在和中， ， ∴，故④正确， 故选：C． 9．或 【详解】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．题目中没有明确顶角或底角的度数，解答时要注意分情况进行讨论，这是解题的关键． 【解答】解：①较大的角为顶角，设这个角为，则两个底角均为， 依题意，得：， 解得：； ②较大的角为底角，设顶角为，则两个底角均为， 依题意，得：， 解得：， ∴等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 10．65 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质．根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，   ，， ， ， 故答案为：65． 11．2 【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，根据中垂线的性质，推出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 12．70 【分析】本题主要考查了等边对等角的性质，三角形内角和问题，根据等腰三角形等边对等角可得出，再根据三角形三角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：70． 13．/72度 【分析】根据正六边形的内部作正五边形，求得各个多边形的内角的度数，利用等腰三角形的性质，角的差，四边形内角和定理计算即可． 本题考查了正多边形的内角和定理，四边形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握正多边形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的内部作正五边形， ∴， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是分情况讨论； 由等腰三角形的性质得到，当在上时，由等腰三角形的性质求出，从而求解；当在的延长线上时，由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出，从而求的度数即可求解； 【详解】解：如图： ，， ， 当在上，即点位置时， ， ， ， 当在的延长线上，即点位置时， ， ， ， ， ， 的度数为或， 故答案为：或 15．21 【分析】本题考查三角形综合，涉及尺规作图-角平分线、角平分线的性质、三角形面积等知识，先根据题中的尺规作图得到是的角平分线，过点作于，过点作于，如图所示，由角平分线的性质得到，结合已知条件，根据三角形的面积求出，进而得到，即可得到答案，熟记尺规作图-角平分线、角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： 由题中的尺规作图可知，是的角平分线， ， 的面积为9， ，即，解得，则， ， ， ， 故答案为：． 16．9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形． 由线段垂直平分线的性质得到，由补角的性质推出，由证明，得到，，又，推出，得到，求出，即可得到． 【详解】解：过作交延长线于，连接， 于点，且， ， ，， ， 于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 17．见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判断与性质，用到的知识点是角平分线的定义，平行线的性质、三角形的内角和．根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，再根据，得出，，即可得出，从而得出，再根据，即可得出． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 18．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用．延长至，使．根据证明，进一步可得到，，从而求得，根据等角对等边即可求得结论． 【详解】证明：延长到，使，连接，， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形． 19．(1)等边三角形，理由见解析 (2)2 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）先证明为等边三角形，进而得到，结合平行线的性质，推出时等边三角形即可； （2）连接交于点，易得垂直平分，三线合一，结合平行线的性质，推出，进而求出的长，等边三角形的性质，得到的长，利用求出的长即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：2． 20．见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质．作于，则，由得出，由角平分线的定义可得，证明，即可得证． 【详解】证明：作于， ， ， ， ， 平分交于， ， 在和中， ， ， ， ． 21．(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)（1）中的结论还成立，理由见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点G，使得，由是等边三角形得到，证明，则，证明垂直平分，得到，由等量代换即可得到，即可证明是等腰三角形； （2）延长到点H，使得，证明，由是等边三角形得到，证明，则，证明垂直平分，则，由等量代换即可得到，即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 理由如下：延长到点G，使得， 则， ∵等边，延长至点，使， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：（1）中的结论还成立， 理由如下：延长到点H，使得， 则， ∵等边，延长至点，使， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， 即（1）中的结论还成立． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，，证明，即可得出； （2）先求出，由垂线的定义可得，求出，由等边对等角得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，，点是的中点， ∴，， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， 在中，， ∴， ， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$