3.6.3 余角和补角（课件）2024—2025学年华东师大版（2024）数学七年级上册

3.6 角 第三章 图形的初步认识 第3课时 余角和补角 知1－讲 感悟新知 知识点 余角和补角 1 1. 余角  如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角，简称互余 . 数学语言： 如果∠ 1+∠ 2=90°，那么∠ 1 是∠ 2 的余角，或∠ 1 与∠ 2 互为余角，如图 3.6-25. 感悟新知 知1－讲 特别解读 ●互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的. ●互余、互补只与数量有关，与位置无关 . 互余和互补揭示的是两个角之间的数量关系：一个锐角α 的余角为 90°－α，补角为180°－α . 2. 补角  如果两个角的和等于 180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，简称互补 . 数学语言： 如果∠ 3+ ∠ 4=180°， 那么∠ 3 是∠ 4 的补角，或∠ 3 与 ∠ 4 互为补角，如图 3.6-26. 3. 一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相等的， 互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 . 知1－讲 知1－练 [母题 教材 P162 例 3]已知∠ β =72° 35′ 26″，求∠ β 的余角和补角 . 例1 知1－练 解：∠ β 的余角为 90°－72° 35′ 26″ =17° 24′ 34″， ∠ β 的补角为 180°－72° 35′ 26″ =107° 24′ 34″ . 解题秘方：紧扣余角和补角的定义求度数 . 温馨提示：同一个锐角的补角比余角大 90° . 知1－练 1-1.若 ∠ α 与 ∠ β 互为 补 角，∠ β 是 ∠ α 的2 倍，则 ∠ α 的余角为(     ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 60° B 知1－练 [母题 教材 P162 练习 T1 ] 如图 3.6-27，点 O 为直线 AB 上一点，∠ AOC= ∠ DOE=90° . (1) 图中互余的角有几对？分别是哪些？ (2) 图中互补的角有几对？分别是哪些？ 例2 知1－练 解题秘方：由已知条件，结合余角、补角的定义求解 . 知1－练 解：因为点 O 为直线 AB 上一点， 所以∠ BOC+ ∠ AOC=180° . 因为∠ AOC=90°， 所以∠ 1+ ∠ 2=90°， ∠ BOC=180° － ∠ AOC=180° － 90° =90° . 所以∠ 3+ ∠ 4=90° . 因为∠ DOE=90°，所以∠ 2+ ∠ 3=90°， ∠ 1+ ∠ 4=90° . 综上，图 中 互 余 的 角 有 4 对，分 别 是 ∠ 1 和 ∠ 2， ∠ 2 和∠ 3， ∠ 3 和∠ 4， ∠ 1 和∠ 4. (1) 图中互余的角有几对？分别是哪些？ 知1－练 解：由已知得∠ 1+ ∠ BOD=180°， ∠ 4+ ∠ AOE=180° . 因为∠ 1+ ∠ 2=90°， ∠ 2+ ∠ 3=90°， 所以∠ 1=90°－∠ 2， ∠ 3=90°－∠ 2. 所以∠ 1= ∠ 3，所以∠ 3+ ∠ BOD=180° . 因为∠ 2+ ∠ 3=90°， ∠ 3+ ∠ 4=90°， 所以∠ 2=90°－∠ 3， ∠ 4=90°－∠ 3. (2) 图中互补的角有几对？分别是哪些？ 知1－练 所以∠ 2= ∠ 4，所以∠ 2+ ∠ AOE=180° . 又因为∠ AOC+ ∠ BOC=180 °， ∠ AOC+ ∠ DOE=180 °，∠ DOE+ ∠ BOC=180°， 所以图中互补的角有 7 对，分别是∠ 1 和∠ BOD， ∠ 4 和∠ AOE， ∠ 3 和 ∠ BOD， ∠ 2 和 ∠ AOE， ∠ AOC 和 ∠ BOC，∠ AOC 和∠ DOE， ∠ DOE 和∠ BOC. 知1－练 2-1.如图，点 O 是直线 AC 上一点， OB 是一 条 射 线， OD 平 分∠ AOB， OE 在 ∠ BOC内， 且 ∠ DOE=60 °，∠ BOE= ∠ EOC. 则 下 列 四 个 结 论 中 正确的有(     ) ①∠ BOD=30°；② OE 平分∠ AOC； ③ 图 中 与 ∠ BOE 互 余的角有 2 个； ④图中互补的角有6对. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 D 知2－讲 知识点 余角和补角的性质 2 1. 余角的性质 (1)同角的余角相等 (即：如果 ∠ 1+ ∠ 2=90 °，∠ 1+ ∠ 3=90°，那么∠ 2= ∠ 3.) (2) 等角的余角相等(即：如果 ∠ 1+ ∠ 2=90 °，∠ 3+ ∠ 4=90°，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4.) 知2－讲 2. 补角的性质 (1) 同角的补角相等 (即：如果 ∠ 1+ ∠ 2=180 °， ∠ 1+ ∠ 3=180°，那么∠ 2= ∠ 3.) (2)等角的补角相等 (即：如果 ∠ 1+ ∠ 2=180 °， ∠ 3+∠ 4=180°，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4.) 知2－讲 特别提醒 1. “同角”指同一个角， “等角”指度数相等的角. 2. 余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据. 知2－练 如图 3.6-28，已知 O 是直线 AB 上的一点， OC 是一条射线， OD 平分 ∠ AOC，∠ DOE=90 °， 则 OE 平 分 ∠ BOC 吗？为什么？ 例3 解题秘方：紧扣角平分线的定义，利用余角的性质说明∠ COE 与∠ BOE 相等 . 知2－练 解：OE 平分∠ BOC. 理由如下： 因为∠ DOE=90°，所以∠ DOC+ ∠ COE=90° . 又因为∠ AOB=180°，所以∠ AOD+ ∠ BOE=90° . 因为 OD 平分∠ AOC， 所以∠ AOD= ∠ DOC. 所以∠ COE= ∠ BOE，即 OE 平分∠ BOC. 知2－练 3-1.如图， 如果∠ AOB = ∠ COD =90 °，那么 ∠ 1= ∠ 2，这是根据(     ) A. 直角都相等 B. 等角的余角相等 C. 同角的余角相等 D. 同角的补角相等 C 知2－练 如图 3.6-29，直线 AB 与∠ COD 的两边 OC、 OD 分别相交于点 E、 F，∠ 1+ ∠ 2=180° . 找出图中与 ∠ 2相等的角，并说明理由 . 例4 知2－练 解题秘方：先找出与∠ 1 和∠ 2 互补的角，然后利用补角的性质找出与∠ 2 相等的角 . 知2－练 解：因为∠ 1+ ∠ 3=180°， ∠ 1+ ∠ 2=180°， 所以∠ 3= ∠ 2. 因为∠ 1+ ∠ 4=180°， ∠ 1+ ∠ 2=180°， 所以∠ 4= ∠ 2. 因为∠ 2+ ∠ 5=180°， ∠ 6+ ∠ 5=180°， 所以∠ 2= ∠ 6. 所以图中与∠ 2 相等的角有∠ 3、 ∠ 4、 ∠ 6. 同角的补角 相等 同角的补角 相等 同角的补角 相等 知2－练 4-1.如图， O 为直线AB 上一点， OC 平分∠ AOB，∠ DOE=90°. (1)写出 ∠ COD 的余角 . 解：∠COD的余角有∠AOD，∠COE. 知2－练 (2)∠ AOD 和 ∠ COE相等吗？为什么？ (3) 写出 ∠ COD 的补角 . 解：相等．理由如下：由OC平分∠AOB， 易得∠AOC＝∠BOC＝90°，　 所以∠AOD＋∠COD＝90°. 又因为∠DOE＝∠COE＋∠COD＝90°， 所以∠AOD＝∠COE(同角的余角相等)． ∠COD的补角为∠AOE. 余角和补角 数量 定义 性质 余角和补角 余角 补角 课堂小结 $$