3.5 最基本的图形——点和线（课件）2024—2025学年华东师大版（2024）数学七年级上册

3.5 最基本的图形——点和线 第三章 图形的初步认识 知1－讲 知识点 点和线的概念 1 1. 点  通常用一个点表示一个物体的位置，一个点一般用 一个大写字母表示 . 不能用小写字母表示. 感悟新知 2. 线段、射线、直线 (1)在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线等都给我们以线段的形象； (2) 把线段向一端无限延伸所形成的图形叫做射线； (3) 把线段向两端无限延伸所形成的图形叫做直线 . 知1－讲 知1－讲 特别解读 1. 线段和射线都是直线的一部分，线段有长短，可以度量和比较，但射线不行. 2. 线段、射线、直线的表示方法都一样，只是射线有方向性，故用两个大写字母表示时有顺序，而线段和直线没有顺序性 . 3. 在表示直线、射线、线段时，除两个大写字母外，前面还应加上直线、射线或线段，其中表示线段时， “线段”两个字可以省略，而直线、射线不能省略. 3. 线段、射线、直线的区别与联系 知1－讲 直线 射线 线段 区 别 图形 表示方法 直线 AB 或直线BA 或直线 l 射线 OA 或射线l 线 段 AB 或 线段 BA 或线段 a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两端无限延伸 向一端无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分；线段向一端无限延伸就成为射线，向两端无限延伸就成为直线；射线向反方向无限延伸就成为直线 4. 点和直线的位置关系 (1) 点在直线上，或者说直线经过这个点； (2) 点在直线外，或者说直线不经过这个点 . 知1－讲 知1－练 如图 3.5-1，在同一平面内有四个点 A、 B、 C、 D，请你用直尺按下列要求画图： (1)作射线 CD； (2)作直线 AD； (3) 连结 AB； (4)作线段 BD 与直线 AC 相交于点 O. 例1 知1－练 解：(1)(2)(3)(4) 如图 3.5-2 所示 . 解题秘方：紧扣线段、射线、直线的概念画图 . 知1－练 1-1.如图，在同一平面内有三个点 A、 B、 C. 按下列要求画出图形(在原图上画)： (1)画直线 AB； (2)画射线 BC； (3)画线段 AC. 解：(1)(2)(3)如图所示． 知2－讲 知识点 线段和直线的基本事实 2 1. 线段的基本事实 线段的基本事实 两点间的距离 举例 两 点 之 间， 线段最短 定义 性质 在所有连结 A、 B 两点的线中，线段 AB 是最短的，线段 AB 的长度就是点 A 与点 B 之间的距离 连结两点的线段的长度，叫做这两点间的距离 (1)存在性；(2)最短性；(3)唯一性 知2－讲 2. 直线的基本事实  经过两点有一条直线，并且只有一条直线 . 即两点确定一条直线 . 知2－讲 警示误区 两点间的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形，因此不能把 A、 B两点之间的距离说成是线段 AB. 另外，连结两点是指画出以这两点为端点的线段. 知2－练 在同一所学校上学的小明、小亮、小红三位同学分 别住在 A、 B、 C 三个住宅区，如图 3.5-3， A、 B、 C 三点共线，且AB=40 m， BC=100 m，他们打算合租一辆车去上学 . 由于车位紧张，他们准备在三个住宅区之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在何处？ 例2 知2－练 解题秘方：先根据停靠点的不同位置，分别计算他们步行到停靠点的路程之和，再进行比较即可确定位置 . 解：分情况讨论如下： 若停靠点设在 A 住宅区，则他们步行的路程总和为 40+100+40=180(m)； 若停靠点设在 A 住宅区与 B 住宅区之间(不包括 知2－练 A、 B 住宅区)，则他们步行的路程总和大于 140 m 且小于 180 m； 若停靠点设在 B 住宅区，则他们步行的路程总和为 40+100=140(m)； 若停靠点设在 B 住宅区与 C 住宅区之间(不包括 B、 C 住宅区)，则他们的路程总和大于 140 m 且小于 240 m； 若停靠点设在 C 住宅区，则他们步行的路程总和为 40+100+100=240(m) . 综 上 所 述，为 使 三 位 同 学 步 行 到 停 靠 点 的 路 程 之 和 最小，停靠点应设在 B 住宅区 . 知2－练 2-1. [中考·柳州]如图，从学校A 到书店B 有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是(     ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 知2－练 2-2.如 图， A、 B 是 河流 l 两 旁 的 两 个 村 庄，现 要 在 河 边 修 一 个 抽水站向两村供水，问抽水 站 修 在 什 么 地 方 才能 使 所 需 的 供 水 管 道最 短？ 请 在 图 中 表 示出抽水站的位置，说明你的理由 . 并说说你认为 应 用 数 学 知 识 为 人类服务时应注意什么 . 知2－练 解：点P即为抽水站位置，如图所示． 理由：两点之间的所有连线中，线段最短． 我认为应用数学知识为人类服务时应注意不能以破坏环境为代价．(合理即可) 知2－练 如图 3.5-4，有一个正方体盒子放在桌面上，一只虫子在顶点 A 处，一只蜘蛛在顶点 B 处，蜘蛛准备沿着盒子表面爬到 A 处捉住虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，应该怎样走？你能画出来吗？与你的同伴交流一下 . 例3 知2－练 解题秘方：蜘蛛要想最快地捉住虫子， 需走最短的路径，而蜘蛛走的路径是正方体的不同侧面，因此应在正方体的侧面展开图中寻找 . 其实质是把立体图形展开为平面图形，也就是把正方体的不同面展开放在同一平面内，利用“两点之间，线段最短”确定最短的路径 . 知2－练 解：有四种走法，分别是： B → F → A， B → G → A，B → M → A， B → N → A(F、 G、 M、 N 分 别 为 DE、 CD、 KE、KH 的中点)，如图 3.5-5 所示 . 知2－练 3-1.如 图，一 观 测 塔底座部分是长方体，现从 下 底 面 A 点 处 修 建钢 结 构 扶 梯，经 过 点M、 N 到 点 D ′，再 进入顶部的观测室 . 已知AB=BC，试确定使扶梯的总长度最小时点 M、N的位置 . 知2－练 解：如图，将观测塔底座部分的三个侧面展开到同一平面内，连结AD′，分别与BB′、CC′交于点M、N，点M、N即为所求． 知3－讲 知识点 线段的画法及长短比较 3 1. 线段的长短比较方法 (1) 度量法： 利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 . (2) 叠合法： 把两条线段中的一条线段移到另一条线段所在直线上，使它们有一个端点重合，另一个端点在重合端点同侧，然后根据另一个端点的位置进行比较 . 知3－讲 2. 画一条线段等于已知线段 a (1) 方法一： 利用刻度尺先量出已知线段 a 的长度，再画 一条等于这个长度的线段 . (2) 方法二： 如图 3.5-6，用直尺画射线 AC，再用圆规在射线AC 上截取 AB=a. 知3－讲 特别解读 1. 当两条线段的长短差别不大，而又不方便放在一起比较时，运用度量法； 当两条线段能够放在一起比较而又不需要知道相差的具体数值时，可用叠合法. 2. 度量法和叠合法是从“数”和“形”两个方面进行比较的，从 “数”的方面比较，一般用度量法； 从“形” 的方面比较，一般用叠合法. 知3－练 如图 3.5-7 是一张三角形纸片，试比较线段 AB 与线 段 BC 的长短 . 例4 知3－练 解题秘方：可以利用度量法，分别量出每条线段的长度，然后进行比较，或者利用叠合法进行比较 . 解：方法一(度量法)： 用刻度尺量得 AB=2.1 cm， BC=1.7 cm，所以 AB>BC. 知3－练 方法二(叠合法)： 如图 3.5-7，将圆规的针尖放在 B 点，装 有 铅 笔 的 一 脚 放 在 C 点，将 圆 规 绕 B 点 旋 转，画 圆 弧 与AB 交于 D 点，说明 BC 与 AB 叠合后 C 点会落在 AB 上 . 所以AB>BC. 知3－练 4-1.要比较线段AB 与CD 的大小，小明将点A与点C 重合并使两条线段在一条直线上，且点B与点D在点A的同一侧，结果点 B 在 CD 的 延 长线 上，则AB 与CD 的大小关系为(     ) A. AB<CD B. AB>CD C. AB=CD D. 无法判断 B 知4－讲 知识点 线段的和差倍分 4 1. 线段的和与差 如图 3.5-8，已知线段 a、 b(a>b) . (1) 线段的和： 在直线 l 上作线段 AB=a，在 AB 的延长 线 上 作 线 段 BC=b，则 线 段 AC 就 是 a 与 b 的和，记作 AC=a+b，如图 3.5-9 ①所示 . 知4－讲 (2) 线段的差： 在直线 l 上作线段 AB=a，在线段 AB 上作线段BD=b，则线段 AD 就 是 a 与 b 的 差，记 作 AD=a－b，如 图3.5-9 ②所示 . 知4－讲 2. 线段的倍与分  如图 3.5-10， 射线 AE 上有 B、 C、 D三点， 它们的长度关系是 AB=BC=CD， 则 AC=2AB，AD=3AB， AB= AC， AB= AD， AC= AD. 知4－讲 特别提醒 1. 几何中线段的和差与代数中的数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和差，在图形上作线段的和差得到的图形是一条线段. 2. 用尺规作线段的和时，依次向右截取；作线段的差时，从最右边的端点向左截取 . 知4－练 [母题 教材 P150 练习 T1 ]如图 3.5-11，若 BC=CD，则 BD=____CD， BC=____ BD， BC ____CE， AC____ CD. (后两空填“ >”“ <” 或“ =”) 例5 2 < > 知4－练 解题秘方：紧扣线段的和差倍分的意义进行解答 . 解：因为 BC=CD， 所以 BD=BC+CD=CD+CD=2CD， BC= BD， BC=CD=CE － DE<CE， AC=AB+BC=AB+CD>CD. 知4－练 5-1.如图， C、 D 是线段 AB 上的两点，且AD=CD，若 AB=5 cm，BC=2 cm，则 AD 的 长为(     ) A.1 cm B.1.5 cm C.3 cm D.3.5 cm B 知5－讲 知识点 线段的中点 5 1. 线段的中点的概念 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点 . 如图 3.5-12，如果 M 是线段 AB 的中点，那么AM=BM= AB. 知5－讲 2. 线段的三等分点(拓展) 把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点 . 如图 3.5-13，如果 M、 N 是线段 AB 的三等分点，那么 AM=MN=NB= AB. 知5－讲 特别提醒 线段的中点只有一个，且一定在线段上 .类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上 . 知5－练 [母题 教材 P150 练习 T2 ]如图 3.5-14，点 M 是线段 AC 的中点，点 B 在线段 AC 上，且 AB=4， BC=2AB，求线段 MC 和线段 BM的长 . 例6 知5－练 解题秘方：紧扣中点的意义及要求的线段与已知线段之间的数量关系，求线段长 . 解：因为 AB=4， BC=2AB，所以 BC=8. 所以 AC=AB+BC=4+8=12. 又因为 M 是线段 AC 的中点，所以 AM= AC=6. 所以 BM=AM－AB=6－4=2. 知5－练 6-1.如图，已知线段AB=10 cm，点 N 在 AB上， NB=2 cm， M 是 AB的中点，则线段 MN 的长为(     ) A. 5 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 2 cm C 知5－练 6-2.如图， 点 C 是线段 AB 的中点， E、 F是 AC 的 三等分点 . 若BF=8 cm，则 线 段 AB的长是 _________cm. 12 最基本的图形——点和线 直线的 确定性 线段的 最短性 三线(直线、 射线、线段) 定义 端点数 表示法 两点间的距离 课堂小结 $$