河南省周口市太康县第一高级中学2024-2025学年高三上学期第一次测试数学试题

太康县第一高级中学2024-2025学年高三上学期第一次测试 数学试题 满分：150分。时长：120分钟 命雁人：顺本标 一、选舞感：本大题共8小愿，每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日 要求的。 4(,0儿+)B.(m,U+网 C.(,0ul.+) D.a,9 2.设xeR,则+1≤2"是-<2的() A光分不必要条件B.必要不充分条件 C,充要条件 D.气不充分也不必要条件 3。十大世纪中叶。英偶数学家雷科德在（丽智石）一书中首先把一“作为等号使用，后来英偶数学家哈利奥 符首次使用<一和>符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远。若4,6，c∈R, 则下列命恩正确的是() 4.若a>b,则>b C行宁则 D.若a2>b2，则a>b 4.已知0，beR.且2a-6-2-0,则9+子的最小值为() 42 B.4 C.6 D.8 5.己知函数/（国）的定义城为R,f(+2)为偶通数，/代2+)为奇函数。则() A引· B.f(-月=0 c.f2-0 D.f(4-0 6,已知函数/（回的定义搜为我，满足/代x+)/-小，当马，∈电+国），且无*时。 1国-l0 车一无 恒成立，设a=f-),b=f(0).e=代e)(其中e=21828…),则，b,c的大小关系为() AE>难>b B.c>b>a C.bzaxe D.b>exa 7已短话数/-+s到 ->,若存在e,使得/代)小代成立，对实最a的取锁范国 是(） 数学试题第1项。共4页 A.m<-2或>2 B.a>2 C-2<a<2 D.a<2 8知果数小--2小+-功x一之0列在K同两流，则m的最大值为 A.16 B.18 C25 D.Z 二、选拜题：本大题共3小题，每小恩6分，共18分，在每小题给出的四个地项中，有多项符合题目要求， 全都流对的得5分，邮分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a>0,b>0,且a+2b-1.则() 人b的是大鱼号品名最小值为9 C户的最小值据 D.(a+1xb+1的最大值为2 10.函数口在(-。+国单调建减。且为奇通数，若/0=-一1，则满足-1子心x-2)≤1的x的取值范周是 入【-22 B.-l,月 11,以数学家约的卡尔弗里德里希高所的名字命名的“高斯函数为y=小，其中们门表示不超过x的最大 整数，例如中2到-3，【-15-2，则() A姓eR,国--- B.不等式[可-国s2的解集为国-1sx<3到 3 C,00向的小值为25 D.方程2=4小3的解集为同 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 2+6,x20 2已如活数代国E0为浪上的每清数。则代小 13.已知关于x的不等式10g:心匹+2怡有一个是数解，射实数a的取值范国是—一 4。我们如通，函数y=代)的图象关于坐标草点成中心对称图形的充要条件是函数y,代国)为奇函数，有 问学发现可以持其推广为：函数y一代)的图象关于点八，b)成中心对称图形的充要条件是通数 y了（区+■b为充函数 (1)请修利用这个结论求海话数代x)=了+3的对称中心为 QE活数是-当一次-+小有有个交点长小、N小首 马+为十为为“ 数年以题前？顶项，其4页 四、解答题：本大题共5小愿，共门分。解答应写出文字说明、证明过根或演算步深。 15.〔13分)已知琴函数f(因-(2m一m-2在定义城内单调递增. )果（国的解折式： 2求关于x的不等式f+)</(女-2x+3到的解集。 中已时液，程中1中层t里丽合 后特君时中用时的过女E初 65分我.画版是a>0 1名函数y~(国)是奇函数，求a的值 2)请州断函数y=)的单调性。并用定义证明。 同， 利西，会大有明年1士过日， 17.(15分)已知4-0任-)<1，B={r+m+n<0 (若m=-6,-,求4nB。UB) 2若心B-<x<。求m的取值范指 数学试盟第面，共4页 岁衡大一桌弹是十三高手幸00以学中越高一装县魏太 18.《17分)佩口平能起到一定预防新冠裤爽的作用，某料技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口 深的新机器.生产这种机器的月周定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本P)(方元)，当月产量不 足70台时，P)-0r(万元当月产量不小于70台.p的-10+40-200（万元.若每 台机器售价100万元，且技机器能全部卖完白口0上并：过，k业并显式本女， (1)求月利闲y(万元)关于月产量x(台)的函数关系式： (2)月产量为多少台时，谈企业碰在得最大月利国？并求出其利解。 下 19.(17分)已如二次插数/0)=2+2+2 ()诺玉=0，可，使等式/代2)=0成立，求实数a的取值范国 2解关于x的不等式(a+)x2+>国其中aeR。 外 用力扣n知 数学认烟第4镇。共4页答案第 1页，共 6页 太康县第一高级中学 2024-2025 学年高三上学期第一次测试 数学答案 一、单选题： 1．C 【详解】  0 0 11 xA x x x x          ，故    ,0 1,A  R ð ．故选：C 2．B 【详解】 1 2x   ，则 1 3x   ； 1 2x   ，则 1 3x   ， 故“ 1 2x   ”是“ 1 2x   ”的必要不充分条件．故选：B 3．C 【详解】A选项：若 a b ， 0c = ，则 a c b c ，A错误； B选项：取 1, 2a b   ，则 2 2 1 1 11 4a b    ，B错误； C选项：若 2 2 a b c c  ，则 2 0c  ，所以 2 22 2 a bc c c c    ，即 a b ，C正确； D选项：取 3, 2a b   ，满足 2 2a b ，但a b ，D错误．故选：C 4．C 【详解】解：因为 2 2 0a b   ，所以 2 2a b  因为 2 ,3 30, 0a b  所以 2 2 2 2 6 19 3 3 3 3 32 3 2 2 3a a abb b a b       ， 当且仅当 23 3 2 2 a b a b      即 1 2 1 a b       时，取等号，故 19 3 a b 的最小值为 6，故选：C 5．B 【详解】因为函数  2f x  为偶函数，则    2 2f x f x   ，可得    3 1f x f x   ， 因为函数  2 1f x  为奇函数，则    1 2 2 1f x f x    ，所以，    1 1f x f x    ， 所以，      3 1 1f x f x f x      ，即    4f x f x  ，故函数  f x 是以 4为周期的周期函数， 因为函数    2 1F x f x  为奇函数，则    0 1 0F f  ，故    1 1 0f f    ，其它三个选项未知. 故选：B. 6．D 【详解】因为    1 1f x f x   ，所以函数  f x 的图象关于 1x  对称， 答案第 2页，共 6页 因为当  1 2, 1,x x   ，且 1 2x x 时，    1 2 1 2 0 f x f x x x    恒成立，所以函数  f x 在  1, 上是减函数， 又    1 3a f f   ，    0 2b f f  ，且3 e 2  ，所以b c a  ．故选：D． 7．D 【详解】若存在 1 2 1 2, ,x x R x x  ，使得    1 2f x f x 成立，则说明  f x 在 R上不单调， 当 0a  时， 2 , 1 ( ) 1, 1 x xf x x       ，图象如下左图，满足题意； 当 a<0时，函数 2y x ax   的对称轴 0 2 ax   ，其图象如上中图，满足题意； 当 0a  时，函数 2y x ax   的对称轴 0 2 ax   ，其图象如上右图，要使  f x 在 R上不单调，则只要满足 1 2 a  ， 解得 2a  ，即0 2a  ． 综上， 2a  ．故选：D． 8．【答案】B 【详解】 2m  时，抛物线的对称轴为 8 2 nx m     ．据题意，当m>2时， 8 2 2 n m     即 2 12m n  ． 22 6, 18 2 m nm n mn     ．由 2m n 且 2 12m n  得 3, 6m n  ．当 2m  时，抛物线开 口向下，据题意得， 8 1 2 2 n m     即 2 18m n  ． 2 812 9, 2 2 n mn m mn     ．由2n m 且 2 18m n  得 9 2m   ，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有 2 18m n  ( 2, 8)m n ．所以 (18 2 ) (18 2 8) 8 16mn n n       ，所以最大值为 18．选 B．． 二、多选题： 9．BC 【解析】∵a，b均为正数，且 a+2b=1， ∴由基本不等式可得，1=a+2b≥2 2��，解得 ab≤1 8 ，当且仅当 a=2b=1 2 ，即 a=1 2 ，b=1 4 时等号成立， 故 A选项不正确; 1 � +2 � = 1 � + 2 � (a+2b)=1+2� � +2� � +4 ≥5+2 2� � · 2� � =9，当且仅当2� � =2� � ，即 a=b=1 3 时等号成立，故 B选项 正确; 答案第 3页，共 6页 ∵ � = 1 − 2� > 0, � > 0, ∴0<b< 1 2 ，∴a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1=5 �- 2 5 2 +1 5 ，0<b<1 2 ，结合二次 函数的性质可知，当 b=2 5 时，a2+b2取得最小值，为1 5 ，故 C选项正确; ∵a>0，b>0，且 a+2b=1，∴(a+1)(b+1)=1 2 (a+1)(2b+2)≤1 2 × �+1+2�+2 2 2 =2， 当且仅当 a+1=2b+2，且 a+2b=1，即 a=1，b=0 时等号成立，又 b>0，故等号不成立，故 D选项不 正确． 故选 BC． 10．【答案】D 【详解】  f x 是奇函数，故    1 1 1f f    ；又  f x 是减函数， 1 ( 2) 1f x    ， 即  (1) 2 ( 1)f f x f    则有 1 2 1x    ，解得1 3x  ，故选 D. 11．AB 【详解】对选项 A：设 x的整数部分为 a，小数部分为b，则 x a ， 1x  的整数部分为 1a  ， 1 1x a   ，故    1 1x x   ，正确； 对选项 B：    2 2x x  ，则  1 2x   ，故 1 3x   ，正确； 对选项 C： 3 32 2 3x x x x                  ，当且仅当 3x x        ，即 3x    时成立， 3x    不成立， 故等号不成立，错误； 对选项 D：取 19x  ，则  4x  ，代入验证成立，错误；故选：AB 三、填空题： 12． 1 2 ##0.5 【详解】函数  f x 为R 上的奇函数，故  0 1 0f b   ， 1b = - ，     1 11 1 1 2 2 f f            ．故答案为： 1 2 13． 12, 2      【详解】 2log 2x ax  ，画出函数 2logy x 和 2y ax  的图像，如图所示： 不等式 2log 2x ax  恰有一个整数解，则这个整数解为 1x  ， 故 22 log 1a   且 22 2 log 2a   ，解得 12 2 a    ． 故答案为： 12, 2      答案第 4页，共 6页 14． ( 1, 2) 8 【详解】（1）设点 ( , )a b 为函数   3 23f x x x  图象的对称中心， 令        3 23g x f x a b x a x a b        ，则  g x 为奇函数， 所以    g x g x   ，即        3 2 3 23 3           x a x a b x a x a b，可得，   2 3 23 1 3 0a x a a b     ， 所以 3 2 1 0 3 0 a a a b       ，解得 1 2 a b     ，所以函数   3 23f x x x  的对称中心为 ( 1, 2) ．故答案为： ( 1, 2) （2）若函数  y f x 的图象关于点 ( , )P a b 成中心对称图形则函数  y f x a b   为奇函数，所以    f x a b f x a b       ，即     2f x a f x a b     ， 所以函数  y f x 的图象关于点 ( , )P a b 成中心对称图形的充要条件可转化为     2f x a f x a b     ， 因为        3 2 31 2 31 1 3 1 3 2 1 1                      x xg x x x x x x x ，        3 2 31 2 31 1 3 1 3 2 1 1                       x xg x x x x x x x ，所以    1 1 6      g x g x ， 即   3 22 3 1 xg x x x x       对称中心为 ( 1, 3)  ， 因为函数  1 3y k x   的图像是恒过点 ( 1, 3)  的直线，所以交点  1 1,M x y ，  2 2,N x y 的中点为 ( 1, 3)  ， 所以 1 2 1 2 x x   ， 1 2 3 2 y y   ，即 1 1 2 2 2 6= 8      x y x y ．故答案为： 8 四、解答题： 15．(1) 1 2( )f x x ，(2)[ 1,1) (2, )  【详解】（1）幂函数    2 12 2 mf x m m x    在定义域内单调递增，故 22 2 1m m   ，解得 1m   或 32m  ， 当 1m   时，   2f x x 在  0,  上单调递减，在  ,0 上单调递增，不满足； 当 3 2 m  时， 1 2( )f x x 在 0,  上单调递增，满足；故 1 2( )f x x ． （2） 1 2( )f x x 在 0,  上单调递增，    21 2 3f x f x x    ， 故 2 2 1 0 2 3 0 1 2 3 x x x x x x            ，解得 1 <1x 或 2x  ，即 [ 1,1) (2, )x    ． 16．(1) 1a  ，(2)函数 ( )y f x 在R 上为增函数，证明见解析． 【详解】（1）若函数  y f x 为奇函数，则    f x f x   ，   2 1 2 2 1 2 x x x x a af x a a            ，则 1 2 2 1 2 2 x x x x a a a a        ， 解得 1a   ，由 0a  ，得 1a  ； 答案第 5页，共 6页 （2）函数为单调递增函数，证明如下： 设 1 2x x ，          1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 22 2 2 2 2 2 x xx x x x x x aa af x f x a a a a           因为 1 2x x ，所以 1 22 2x x ，即 1 22 2 0x x  ，且 12 0x a  ， 22 0x a  ， 所以    1 2 0f x f x  ，即    1 2f x f x ，所以函数 ( )y f x 在R 上为增函数． 17．(1)  2 3A B x x    ，  1 4A B x x    ，(2)  7, 5  【详解】（1）     2log 1 1 1 3A x x x x      ，    2 6 8 0 2 4B x x x x x       ，  2 3A B x x    ，  1 4A B x x    ． （2）  1 3A x x   ，  2 0B x x mx n    ，  1 4A B x x    ， 故  4B x a x   ，且1 3a  ，则16 4 0m n   ，即 16 4n m   ．    2 16 4h x x mx m    ，则        3 9 3 16 4 0 1 1 16 4 0 h m m h m m             ，解得 7 5m    ，即  7, 5m   ． 18．（1） 21 60 400,0 70, , 2 64001660 , 70, . x x x x y x x x x                 N N ；（2）当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利 润为1500万元． 【详解】（1）当0 70x  时， 2 2 1 1100 40 400 60 400 2 2 y x x x x x            ； 当 70x  时， 6400 6400100 101 2060 400 1660y x x x x x                   ∴ 21 60 400,0 70 , 2 64001660 , 70 . x x x x y x x x x                 N N 且 且 （2）当0 70x  时，  221 160 400 60 1400 2 2 y x x x        ；当 60x  时， y取最大值1400万元； 当 70x  时， 6400 64001660 1660 2 1500y x x x x            ，当且仅当 80x  时，取等号 综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元． 19．(1) 9 , 2 4      ，(2)答案见解析． 【详解】（1）设2x t ，  0,2x ，则  1,4t ，   2 2 2 0f t t at    ， 故 1 2 ta t    ，函数 1 2 ty t    在 1, 2  上单调递增，在  2,4上单调递减， 答案第 6页，共 6页 max 2 1 2 2 2 y      ， min 3 9 9min , 2 4 4 y          ，故 9 , 2 4 a       ． （2）    21a x x f x   ，即   2 21 2 2a x x x ax     ，整理得到   2 1 0x ax   ， ①当 0a  时，不等式的解为 2x  ； ②当 0a  时，不等式的解为 2x  或 1x a   ； ③当 a<0时，若 1 2 a   ，不等式的解为 1 2x a    ； 若 1 2 a   ，不等式的解为；若 10 2 a   ，不等式的解为 12 x a    ； 综上所述：当 0a  时，不等式的解为  1, 2, a         当 0a  时，不等式的解为  2, ； 当 1 0 2 a   时，不等式的解为 12, a      ； 当 1 2 a   时，不等式的解为； 当 1 2 a   时，不等式的解为 1 , 2 a      ；