精品解析：青海省西宁市大通回族土族自治县2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题

青海省大通县教学研究室2025届高三开学摸底考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合，进而可得. 【详解】,， 所以， 故选：B． 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求，再根据复数的模长公式运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A. 3. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径，结合侧面展开图可知底面半径与高，进而可得体积. 【详解】设圆锥的底面圆半径为， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得， 又侧面展开图是半径为的半圆，即圆锥的母线长为， 则圆锥的高， 所以该圆锥的体积为， 故选：D． 4. 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程，将点的坐标代入，求得参数，即可得答案. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 故可设双曲线方程为， 又经过点，故， 故双曲线方程为， 故选：A 5. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座， 共有种排法； 再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法， 故总共有种排法； 故选：D. 6. 已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可． 【详解】圆，圆心，半径， ，圆心，半径， 由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线， ，，的中点， 圆心连线的斜率为，则直线的斜率为， 故的方程：，即,故C正确． 故选：C． 7. 已知等差数列的前n项和为，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质分析可得，进而可得，，结合通项公式可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，即，可知， 设等差数列的公差为，则， 可得等差数列为递减数列，则， 由可得，则， 所以. 故选：B. 8. 已知定义在上的偶函数满足且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期性与对称性可得解. 【详解】由， 令，得， 又令得， 再令，， 又，所以， 又，， 所以，为的一个周期，， 即， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，由线面垂直、线面平行的性质逐项判断即可得出结论. 【详解】对于A，若，是两个不同的平面，则可得，即A正确； 对于B，若，当都平行于两平面的交线时，，可知B错误； 对于C，若，则可能会，即C错误； 对于D，若，又为异面直线，所以，即D正确. 故选：AD 10. 已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 D. 在上仅有1个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期，，． 对于，当时，， 因为在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，因为， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度得到： ，故C错误； 对于D，当时，，仅当，即时，， 即在上仅有1个零点，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的焦点坐标为 B. 曲线过点 C. 若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为 D. 若曲线在的上方，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，可得判定A错误；把点代入圆的方程，可判定B正确；，所以圆过点，所以B正确；设被所截得的线段为，中点为，联立方程组，求得的坐标，代入，可判定C正确；根据圆与抛物线的位置关系，联立方程组，结合，可判定D正确. 【详解】对于A中，由曲线，抛物线的焦点坐标为，所以A错误； 对于B中，圆的标准方程为：， 点代入圆的方程得，所以圆过点，所以B正确； 对于C中，设被所截得的线段为，中点为， 联立方程组，整理得，可得， 则，故，所以， 代入，可得，解得，所以C正确； 对于D中如图所示，曲线在的上方时，抛物线和圆无交点， 联立方程组，整理得， 由，解得，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是____________． 【答案】50 【解析】 【分析】由百分位数的概念求解即可. 【详解】先按照从小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78． 共12个数据，，第9，10个数据分别为47，53，则第75百分位数为． 故答案为：50 13. 已知，，则__________. 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 故答案为： 14. 如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据锐角三角函数可得，即可由数量积的定义求解，结合和差角公式以及三角函数的性质即可求解最值. 【详解】设，则， 故， 故 ， 当时，，即时， 此时取最小值. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于的表达式，从而得解， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为. （1）求角； （2）若的面积为，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和的性质，以及正弦定理，得到，结合余弦定理，即可求解； （2）根据题意，利用面积公式，求得，结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得， 因为 所以， 又由正弦定理得，根据余弦定理得， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：因为的面积为， 可得，所以， 由余弦定理可知，所以. 16. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期.专家预测2024年中国汽车总销售量将超过3100万辆，继续领跑全球.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 （1）完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； （2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，求这4人中青年人数的期望. 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关 （2） 【解析】 【分析】(1)根据题意分别求出愿意购买新能源车的中年人数和青年人数以及愿意购买燃油车中年人数和青年人数，即可补全列联表，再根据公式计算出，根据表格即可判断； (2)先求出抽取9人中青年人数和中年人数，求出青年人数的可能取值及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式即可求解. 【小问1详解】 中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍， 所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人， 愿意购买燃油车的中老年人数为50人，青年共有250人， 愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍， 所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人， 得到如下2×2列联表： 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 200 50 250 中老年 100 50 150 合计 300 100 400 零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关. 【小问2详解】 愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为2：1， 所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人， 记这4人中，青年的人数为，则的可能取值为1，2，3，4， ， ， ，， 所以的分布列如下： 1 2 3 4 ， 所以这4人中青年人数的期望为. 17. 如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，平面，为的中点，且. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 设是的中点，连接， 因为是的中点，则. 因为，所以，所以. 因为平面，平面， 所以， 由平行六面体的性质可得：， 所以. 又因为，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）设是的中点，先根据题目条件得出，，进而得出；根据线面垂直的性质和平行六面体的性质得出；再根据线面垂直的判定定理得出平面；最后根据线面垂直的性质可得出. （2）先建立空间直角坐标系，写出平面与平面的法向量；再根据空间面面所成角的向量计算方法求出平面与平面的夹角的余弦值，进而可得夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 则四边形是正方形， 结合（1）的结论可知，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设， 则，，，， 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则 令，可得. 设平面的一个法向量为， 则，令，可得. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以， 即平面与平面的夹角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点. （i）求与的面积之比； （ii）证明：为定值. 【答案】（1） （2）（i）1；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当点为短轴的端点时，面积最大，然后根据题意建立方程组求解即可； （2）先利用直线与直线平行，设直线方程为，然后计算出，再与椭圆联立，得方程，设点，然后用韦达定理得到，分别计算两个小问即可. 【小问1详解】 根据题意解得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 如图所示： 设直线的方程为，则， 联立方程消去，整理得， ，得 设，则. （i）， ， 与的面积之比为1. （ii）证明： . 综上，. 19. 已知函数（）． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求a的取值范围； （3）若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 由，得，又， 所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 故，所以. 当时，恒成立； 当时，先证：，即证， 设，则，即证（）， 令，则， 所以在上单调递减，故， 即，即. 所以当时， . 综上，. 【解析】 【分析】（1）求导可得，利用导数的几何意义即可求解； （2）利用导数分类讨论当、情况下函数的性质，进而求解； （3）利用取倒数法求得，利用导数证明，结合归纳法和放缩法证明原不等式即可. 【小问1详解】 当时，， 则，得，又， 所以在处的切线为； 【小问2详解】 对恒成立， ， 设，则， 当即时，在上单调递增， 且，所以，即， 此时在上单调递增，且， 所以对恒成立. 当即时，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 所以在上恒有，即， 函数在上单调递减，且， 则在上有，不符合题意. 综上，，即实数a的取值范围为 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和导数与数列的综合问题，第（3）问，利用数学归纳法和进行放缩是解决该问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海省大通县教学研究室2025届高三开学摸底考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前n项和为，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的偶函数满足且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 10. 已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 D. 在上仅有1个零点 11. 已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的焦点坐标为 B. 曲线过点 C. 若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为 D. 若曲线在的上方，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是____________． 13. 已知，，则__________. 14. 如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为. （1）求角； （2）若的面积为，求的长. 16. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期.专家预测2024年中国汽车总销售量将超过3100万辆，继续领跑全球.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 （1）完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； （2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，求这4人中青年人数的期望. 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，平面，为的中点，且. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点. （i）求与的面积之比； （ii）证明：为定值. 19. 已知函数（）． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求a的取值范围； （3）若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $