精品解析：山东省威海市塔山中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

第一章 反比例函数 达标测试 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 1. 给出下列函数关系式：①；②；③；④；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函数的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 常数 B. 在每个象限内，随的增大而增大 C. 若，在图象上，则 D. 若在图象上，则也在图象上 4. 已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　） A. B. C. D. 5. 在反比例函数图象上有两点A（，）B（，），＜0＜，＜，则m的取值范围是（ ） A. m＞ B. m＜ C. m≥ D. m≤ 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 7. 反比例函数y=的图像与一次函数y=x+2的图像交于点A（a，b）,则a－b+ab的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. 2 8. 如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，直线y=x－2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点A，连接OA，若S△AOBS△BOC = 1∶2，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 4 11. 如图，点A，B都在反比例函数的图象上，点P是直线上的一个动点，当最小时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接，，，写出下列五个结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分） 13. 若反比例函数的图象经过，则的值是________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为___________． 15. 某产品的进价为元，该产品的日销量（件）是日销价（元）的反比例函数，且当售价为每件元时，每日可售出件，为获得日利润为元，售价应定为________元． 16. 若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为________． 17. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________． 18. 如图，，，…都是等腰直角三角形，直角顶点，，…都在函数的图象上，若三角形依次排列下去，则的坐标是________． 三、解答题（本大题共7个小题，满分78分） 19. 已知与成反比例，且当时，，求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，的值． 20. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为6 （1）求的值； （2）若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． 21. 某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间少于4小时（）时，眼睛疲劳系数与睡眠时间成反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0，根据图像，回答下列问题： （1）求当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式； （2）如果某人睡2小时后，再连续睡小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求的值． 22. 如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 23. 如图，一次函数＝k x ＋ b （k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标； （3）将直线向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值时，求x的取值范围． 24. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究． 下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数y＝的自变量x的取值范围是　 　； (2)下表是y与x的几组对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … m 0 ﹣1 3 2 … 则m的值为　 　； (3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质　 　； (5)若函数y＝的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为　 　； 25. 如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6 （1）求k值和点D的坐标； （2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 反比例函数 达标测试 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 1. 给出下列函数关系式：①；②；③；④；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函数的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案． 【详解】解∶ ①是正比例函数，故不符合题题意； ②，y是x的反比例函数，故符合题意； ③，y是x的反比例函数，故符合题意； ④，y不是x的反比例函数，故不符合题意； ⑤由2xy＝1得，y是x的反比例函数，故符合题意； ⑥由－xy＝2得，y是x的反比例函数，故符合题意； 其中②③⑤⑥为反比例函数， 故选B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握反比例函数的定义是解题关键． 2. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3. 如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 常数 B. 在每个象限内，随的增大而增大 C. 若，在图象上，则 D. 若在图象上，则也在图象上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键．结合函数图象逐一分析四个选项的对错，由此即可得出结论． 【详解】解：A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限， ∴， ∴A错误，故本选项不符合题意； B、根据函数图象可得出：在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴B错误，故本选项不符合题意； C、根据函数图象可得出：在第三象限内，，在第一象限内，， ∵，， ∴， ∴C正确，故本选项符合题意； D、由反比例函数的对称性可知： 若在图象上，则在图象上， ∴D错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：若反比例函数 经过第一、三象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经过第一、二、三象限； 若反比例函数经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限． 故选项A正确； 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 5. 在反比例函数图象上有两点A（，）B（，），＜0＜，＜，则m的取值范围是（ ） A. m＞ B. m＜ C. m≥ D. m≤ 【答案】B 【解析】 【详解】对于反比例函数y=，当k＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大． 本题根据题意可得：k＞0，即1－3m＞0， 解得：m＜． 故选：B． 【点睛】考点：反比例函数的性质． 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当时，，该项正确； 当当时，，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 7. 反比例函数y=的图像与一次函数y=x+2的图像交于点A（a，b）,则a－b+ab的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】把点A（a，b）分别代入反比例函数y=与一次函数y=x+2，求得ab和a＋b的值，即可得到答案． 【详解】∵反比例函数y=的图象与一次函数y=x+2的图象交于点A（a，b）， ∴b=，b=a+2， ∴ab=3，a-b=-2， ∴a-b+ab=-2+3=1． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出ab=3、a-b=-2是解题的关键． 8. 如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】设P（0，b）， ∵直线AB∥x轴， ∴A，B两点的纵坐标都为b， 而点A在反比例函数y=﹣的图象上， ∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b）， 又∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b）， ∴AB=﹣（﹣）=， ∴S△ABC=•AB•OP=•b=3． 故选A． 9. 如图，直线y=x－2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点A，连接OA，若S△AOBS△BOC = 1∶2，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过A作AD⊥y轴，AE⊥x轴，由S△AOBS△BOC = 1∶2可得AD：OB=3：2，从而可求AD=3，代入直线解析式可求AE=1，进而确定k=3． 【详解】解：如图，过A作AD⊥ｙ轴，AE⊥x轴， ∵S△AOBS△BOC = 1∶2 ∴S△AOCS△BOC = 3∶2 ∴AD：OB=3：2 令y=0，即x-2=0 ∴x=2，即AD=3， 把AD=3代入y=x-2，得y=1，即AE=1； ∴k=AD×AE=3×1=3． 故选B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果． 【详解】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示， ∵P点纵坐标为：2， ∴P点坐标表示为：（，2），PQ=2， 由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°， ∴∠MQN=30°， ∴MN=，QN=， ∴， 即：， 解得：k=， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是k的几何意义，表示出对应线段是解题的关键． 11. 如图，点A，B都在反比例函数的图象上，点P是直线上的一个动点，当最小时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，以及轴对称求最小值问题，解答本题的关键是求出A关于直线的对称点，利用数形结合的思想解答．先根据A，B都在反比例函数图象上，求出A，B坐标，再求出A的对称点，利用两点之间，线段最短来解答即可． 【详解】解：∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴A，B， 作点关于直线的对称点，则：，， ∴， ∴当三点共线时，，最小， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 故选：B． 12. 如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接，，，写出下列五个结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，根据三角形的面积求出的面积，同法求出的面积，即可判断①；由①的结论可得和两三角形边上的高相等，进而可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③；由，可得，可判断④；证出平行四边形和平行四边形，可推出，进而可判断⑤；于是可得答案． 【详解】解：①设，则，由图象可知，， ∴的面积是：， 设，则， 由图象可知：，， 的面积是：， ∴的面积的面积，故①正确； ②和以为底，则两三角形边上的高相等， ∴，故②正确； ③∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，而只有当时，才有， 即不一定等于，故不一定成立；故③错误； ④∵， ∴，故④正确； ⑤∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴，故⑤正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：C． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、全等三角形的判定以及平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分） 13. 若反比例函数的图象经过，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、解一元一次方程等，根据题意，将代入表达式得到方程，求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过， ，解得， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于D，由菱形的性质可知．根据反比例函数中k的几何意义，得出的面积，从而求出菱形的面积． 【详解】解：如图，连接交于D． ∵四边形是菱形， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴的面积， ∴菱形的面积的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 15. 某产品的进价为元，该产品的日销量（件）是日销价（元）的反比例函数，且当售价为每件元时，每日可售出件，为获得日利润为元，售价应定为________元． 【答案】 【解析】 【分析】由y与x成反比例函数关系，可设出函数式为y＝（k≠0），然后根据当售价为每件100元时，每日可售出40件求出k的值，再设为获得日利润1500元，售价应定为x元，根据每天可售出y件，每件的利润是（x−50）元，总利润为1500元，根据利润＝售价−进价可列方程求解． 【详解】设y与x的函数解析式为y＝（k≠0）． 由题意得 40＝， 解得k＝4000， 所以y＝． 设为获得日利润1500元，售价应定为x元， 根据题意得y（x−50）＝1500， 即（x−50）＝1500， 解得x＝80． 经检验：x＝80是原分式方程的解． 答：为获得日利润1500元，售价应定为80元． 故答案为80元． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，利用待定系数法确定反比例函数的解析式，根据利润＝售价−进价列方程是解题的关键． 16. 若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为________． 【答案】y2＜y1＜y3 【解析】 【详解】分析：设t=k2﹣2k+3，配方后可得出t＞0，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论． 详解：设t=k2﹣2k+3， ∵k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0， ∴t＞0． ∵点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=（k为常数）的图象上， ∴y1=﹣，y2=﹣t，y3=t， 又∵﹣t＜﹣＜t， ∴y2＜y1＜y3． 故答案为y2＜y1＜y3． 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键． 17. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可． 【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E， ∴CD∥BE， ∵四边形ABCO为平行四边形， ∴ ，即，OC=AB， ∴四边形CDEB为平行四边形， ∵CD⊥OA， ∴四边形CDEB为矩形， ∴CD=BE， ∴在Rt△COD和Rt△BAE中， ， ∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL）， ∴S△OCD=S△ABE， ∵OC=AC，CD⊥OA， ∴OD=AD， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴S△OCD=S△CAD=， ∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2， ∴S△OBA=， ∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质． 18. 如图，，，…都是等腰直角三角形，直角顶点，，…都在函数的图象上，若三角形依次排列下去，则的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】由于△OP1A1是等腰直角三角形，可知直线OP1的解析式为y＝x，将它与y＝联立，求出方程组的解，得到点P1的坐标，则A1的横坐标是P1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，则A1P2∥OP1，直线A1P2可看作是直线OP1向右平移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1P2的解析式，同样，将它与y＝联立，求出方程组的解，得到点P2的坐标，则P2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A2009的坐标． 【详解】过P1作P1B1⊥x轴于B1， 易知B1（2，0） 0）是OA1的中点， ∴A1（4，0）． 可得P1的坐标为（2，2）， ∴P1O的解析式为：y＝x， ∵P1O∥A1P2， ∴A1P2的表达式与P1O的解析式一次项系数相等， 将A1（4，0）代入y＝x＋b， ∴b＝−4， ∴A1P2的表达式是y＝x−4， 与y＝（x＞0）联立，解得P2（2＋2，−2＋2）， 仿上，A2（4，0）． P3（2＋2，−2＋2 ），A3（4，0）． 依此类推，点A2009的坐标是（4，0）． 故答案为（4，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解． 三、解答题（本大题共7个小题，满分78分） 19. 已知与成反比例，且当时，，求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求自变量的值： （1）根据题意，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，则：， 解得：． 20. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为6 （1）求的值； （2）若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． 【答案】（1）b=9 （2）C(4,0)，或C(8,0) 【解析】 【分析】（1）把y=6代入得到x=2，得到A(2,6)，把A(2,6)代入，得到b=9； （2）解方程组，得到 x=2(舍去)，或x=4，，得到B(4,3)，设C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，得到AE=6，BF=4，根据时，x=6，得到D(6,0)，推出，根据=3，求得x=3，或x=9，得到C(4,0)，或C(8,0)． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的纵坐标为6， ∴，x=2， ∴A(2,6)， ∴，b=9； 【小问2详解】 ，即， ∴x=2(舍去)，或x=4， ∴， ∴B(4,3)， 设C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F， 则AE=6，BF=3， 时，x=6， ∴D(6,0)， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴x=4，或x=8， ∴C(4,0)，或C(8,0)． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形面积计算公式． 21. 某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间少于4小时（）时，眼睛疲劳系数与睡眠时间成反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0，根据图像，回答下列问题： （1）求当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式； （2）如果某人睡2小时后，再连续睡小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求的值． 【答案】（1）；（2）3 【解析】 【分析】（1）根据图像经过的两点利用待定系数法确定函数的解析式即可； （2）根据图像经过(2,4)点，利用待定系数法求出反比例函数解析式，求出t=2时y=4，函数值减少3得y=1＜2，再把y=1代入一次函数解析式，求出x的值，即可求出m的值． 【详解】解：（1）当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为， 因为图像经过点和， 所以解得， 所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是． （2）当睡眠时间少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， 因为图像经过点，所以． 解得． 所以眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为． 当时，． 代入得 ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是仔细读题，并从中整理出解决问题的函数模型，难度不大． 22. 如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=； （2）图中阴影部分的面积为7． 【解析】 【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3， ∴点A的坐标为(-1，3)， ∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)， ∴k=-1×3=-3， ∴反比例函数的解析式为y=； 【小问2详解】 解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称， ∴设直线l′的解析式为y=-x+m， 把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2， ∴直线l′的解析式为y=-x+2， 直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)， 直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)， ∴图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD=×6×3-×2×2=9-2=7． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键． 23. 如图，一次函数＝k x ＋ b （k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标； （3）将直线向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值时，求x的取值范围． 【答案】（1）y1＝x＋1；；（2）N（0，7）或（0，－5）；（3）－2＜x＜－1或1＜x＜2 【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求反比例函数解析式，再求出B点坐标，再求一次函数解析式即可； （2）根据面积求出MN长，再根据M点坐标求出N点坐标即可； （3）求出直线y3解析式，再求出它与反比例函数图象的交点坐标，根据图象，可直接写出结果． 【详解】解：（1）∵过点A（1，2）， ∴m＝1×2＝2， 即反比例函数：， 当x＝－2时，a＝－1，即B（－2，－1） y1＝kx＋b过A（1，2）和B（－2，－1） 代入得，解得， ∴一次函数解析式为y1＝x＋1， （2）当x＝0时，代入y＝x＋1中得，y＝1，即M（0，1） ∵S△AMN＝1 ∴MN＝6， ∴N（0，7）或（0，－5）， （3）如图，设y2与y3的图像交于C，D两点 ∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x＋1 ∴y3＝x－1， 联立得解得或 ∴C（－1，－2），D（2，1）， 在A、D两点之间或B、C两点之间时，y1＞y2＞y3， ∴－2＜x＜－1或1＜x＜2． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形结合思想解决问题． 24. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究． 下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数y＝的自变量x的取值范围是　 　； (2)下表是y与x的几组对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … m 0 ﹣1 3 2 … 则m的值为　 　； (3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质　 　； (5)若函数y＝的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为　 　； 【答案】(1)x≠3；(2)； (3)如图所示； (4)当x>3时y随x的增大而减小等(答案不唯一)； (5)<< 【解析】 【分析】（1）分式有意义,分母不等于零, （2）将x=-1代入即可, （3）图像见详解, （4）根据增减性即可得出结论,见详解, （5）在图像中找到满足<3<<的三个点比较纵坐标即可得到结论. 【详解】解：(1)因为分式有意义,分母不等于零，所以x-3≠0，即x≠3； (2)将x=-1代入，解得 m=； (3)略 (4)当x>3时y随x的增大而减小(答案不唯一)； (5)当x＜3时，y＜1，当x>3时，y＞1且y随x的增大而减小，所以<< 【点睛】本题考查了反比例函数的简单应用,中等难度,熟悉反比例函数图像和性质是解题关键. 25. 如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6 （1）求k值和点D的坐标； （2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标． 【答案】（1），点 D 坐标为（4，3）；（2）点E的坐标为（－8，2） 【解析】 【分析】（1）结合反比例函数的几何意义即可求解值；由轴可知轴，利用平行线分线段成比例即可求解D点坐标； （2）可知和的面积相等，由函数图像可知、、的面积关系，再结合题意，即可求CD边上高的关系，故作，垂足为F，即可求解E点横坐标，最后由E点在直线AB上即可求解． 【详解】解∶（1）设点 D 坐标为（m，n）， 由题意得． ∵点 D在的图象上，． ∵直线的图象与轴交于点A， ∴点A 的坐标为（－4，0）． ∵CHx轴，CH//y 轴．． 点D在反比例函数的图象上， 点 D 坐标为（4，3） （2）由（1）知轴，． ． 过点E作EFCD，垂足为点 F，交y轴于点M， ． ． ∴点 E 的横坐标为－8. ∵点E 在直线上，∴点E的坐标为（－8，2）． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、的几何意义，属于中档难度的综合题型．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $