精品解析：2024年上海市1月春考数学试题

2024上海春考数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数性质即可得. 【详解】由题意可得，即定义域为. 故答案为：. 2. 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为， 所以， 所以， 所以直线的倾斜角为． 故答案为：. 3. 已知，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】借助复数的乘法运算与共轭复数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，故. 故答案为：. 4. 展开式中的系数为______. 【答案】15 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果. 【详解】 展开式中令的项为， 所以 展开式中的系数为15. 故答案为：15 5. 三角形中，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【详解】三角形中，， ， 由正弦定理，，， 得． 故答案为：． 6. 已知，的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 7. 数列，，c的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等差数列的定义判定为等差数列，再利用等差数列性质即可求解. 【详解】因为，则， 可知数列为等差数列， 则，解得， 所以c取值范围为. 故答案为：. 8. 三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 9. 已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【解析】 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 10. 在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】 ， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:， 故答案： 11. 正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可. 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接， 不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 12. ，任意，满足，求有序数列有_____对. 【答案】48 【解析】 【分析】先确定，再结合，设，可得到，进而求出这四个数，从而求得答案. 【详解】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合推出时，这四个数的值，进而结合题意求得答案. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. ，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，因为，故，故B成立， 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误； 故选：B. 14. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质结合线线以及线面的位置关系可判断AB；根据面面平行的性质结合线线以及线面的位置关系可判断CD； 【详解】对于A，若，则或， 又，当时，在内必存在直线l和m平行，则； 当时，显然有，所以，故A正确； 对于B，若，则或，由，则与斜交、垂直、平行均有可能，故B错误； 对于C，若，则或，由，则与相交、平行、异面均有可能，故C错误； 对于D，若，则或，又，则或，故D错误. 故选：A. 15. 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可． 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，， ，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 故选：B． 16. 现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（ ） （1）存在与有无穷个交点 （2）存在与有无穷个交点 A. （1）（2）都成立 B. （1）（2）都不成立 C. （1）成立（2）不成立 D. （1）不成立（2）成立. 【答案】D 【解析】 【分析】由延展函数的定义分段求出解析式，作出函数图象，数形结合可得. 【详解】当时，，则， 又，则由延展函数定义可得； 同理可得，当，；； 任意，当时，. 当时，，则，则； 同理可得，当时，；； 当时，； 当，；当，；； 则任意时，当. 如图，作出与大致图像， 因，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立； 又因为当，， 故当时， 直线与的图象在区间的函数部分重合， 即有无穷个交点，故（2）成立； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于理解新定义“延展函数”，能够依次求解出函数在各段的解析式及作出函数图象，数形结合解决函数图象与直线的交点个数问题. 三、解答题（本大题共5题，共分） 17. 已知， （1）设，求解:的值域; （2）的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， 【小问2详解】 由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 18. 如图，、、为圆锥三条母线，. （1）证明:； （2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，则，故可得面，从而得到. （2）利用向量法可求面、面的法向量，计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值. 【小问1详解】 取中点，连接、， 因为，所以， 又因为面面，所以面， 因为面，所以. 【小问2详解】 因为为直径，故为底面圆的圆心，故平面，而 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为， 所以， 则可得， 故， 设为平面的法向量，则， 令，则，所以. 设为平面的法向量， 则， 令，则，所以 则， 设二面角为，则为钝角， 所以二面角的大小为. 19. 水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． （1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； （2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； （3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【答案】（1） （2）一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 （3）方差克，平均数克，预估平均质量为克 【解析】 【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案； （2）利用分层抽样的定义进行求解； （3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量. 【小问1详解】 设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； 【小问2详解】 因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； 【小问3详解】 设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 20. 在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点的横坐标为2，求的长; （2）设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用两点间距离公式计算即得. （2）设，求出，再利用给定关系求出的范围，进而求出的范围. （3）设，利用向量坐标运算及共线向量的坐标表示可得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即得. 【小问1详解】 设，由点为椭圆上一点，得，即，又， 所以. 【小问2详解】 设，而， 则，由，得， 即，又，则，解得，， 所以的范围是. 【小问3详解】 设，由图象对称性，得、关于轴对称，则， 又，于是， 则，同理， 由，得， 因此，即，则， 设直线，由消去得， 则，即，而，解得，， 由，得，所以. 【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21. 记 （1）若，求和; （2）若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. （3）已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）根据函数的单调性，对进行分类讨论，然后求出即可证明; （3）利用偶函数的定义，即可证明必要性，利用，得出两个集合中最小的元素相同，从而，即可证明充分性. 【小问1详解】 由题意得:； 【小问2详解】 由题意知，记，有或2， 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论: 当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件; 当时，，先减后增，， 因为取等号)，所以， 此时，符合条件，且时，； 当时，，在严格增，在严格减，在严格增， ，因为， 此时，，则，则成立; 综上可知，对于任意，都有，且存在，使得. 【小问3详解】 必要性:若为偶函数，则， 当，因为，故; 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为，中最小元素为， 又 则对任意成立，则 ， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， ， 综上，任意，即是偶函数. 故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【点睛】关键点点睛：第二问利用导数求出函数的单调性，然后对进行分类讨论求出函数的值域，第三问结合函数的奇偶性考察逻辑推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024上海春考数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的定义域为_______. 2. 直线的倾斜角为______． 3 已知，则_______. 4. 展开式中的系数为______. 5. 三角形中，，则______ 6. 已知，的最小值为______． 7. 数列，，c的取值范围为___________． 8. 三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 9. 已知，求的的取值范围_______. 10. 在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则________． 11. 正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到） 12. ，任意，满足，求有序数列有_____对. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. ，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 16. 现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（ ） （1）存在与有无穷个交点 （2）存在与有无穷个交点 A （1）（2）都成立 B. （1）（2）都不成立 C. （1）成立（2）不成立 D. （1）不成立（2）成立. 三、解答题（本大题共5题，共分） 17. 已知， （1）设，求解:的值域; （2）的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 18. 如图，、、为圆锥三条母线，. （1）证明:； （2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小 19. 水果分一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． （1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱概率； （2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； （3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 20. 在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点的横坐标为2，求的长; （2）设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 21. 记 （1）若，求和; （2）若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. （3）已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $