精品解析：2025届上海市高三数学一模暨春考数学试卷1

2025届高三数学一模暨春考数学试卷1 时间：120分钟 满分：150 一､填空题： 1. 已知集合，集合，则____. 2. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_________. 3. 现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为__________. 4. 若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差 __． 5. 在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为____. 6. 设函数，若，，成等差数列（公差不为零），则______. 7. 已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 8. 设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________． 9. 已知，，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围______. 10. 已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 11. 如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最小值是______. 12. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ①函数的定义域为，值域为； ②函数在上增函数； ③函数是周期函数，最小正周期为； ④函数的图象关于直线对称. 其中正确命题序号是________ 二､选择题： 13. 设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14 关于函数有下述四个结论： ①是偶函数 ②的最大值为2 ③在有4个零点 ④在区间单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 15. 如图，面为的中点，为内的动点，且到直线的距离为则的最大值为 A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 16. 已知数列{an}满足：an（n∈N*）．若正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则k＝（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 三､解答题： 17. 在平面直角坐标系中，已知点、，其中. （1）若，求证：. （2）若，求的值. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 19. 某化工单位采取新工艺、把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨．最多为600吨，处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．已知月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为．每吨的平均处理成本． （1）该单位每月处理为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N. （1）求椭圆C的方程； （2）求的最小值，并求此时圆T的方程； （3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值. 21. 已知函数 （1）若为极值点，求实数的值； （2）若在上为增函数，求实数的取值范围； （3）当时，方程有实根，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三数学一模暨春考数学试卷1 时间：120分钟 满分：150 一､填空题： 1. 已知集合，集合，则____. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知集合A表示四个实数，而集合B表示非负实数，所以两个集合交集为.最后结果需用集合形式，是解答本类题目的注意点. 考点：集合的运算. 2. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：先由复数乘法化为，再由纯虚数的概念得即正确解答本题需正确理解纯虚数概念. 考点：复数运算，纯虚数的概念. 3. 现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为__________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：从甲、乙、丙人中随机选派人，共有甲乙、甲丙、乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为.枚举法是求古典概型概率的一个有效方法. 考点：古典概型概率计算方法. 4. 若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差 __． 【答案】##5.2 【解析】 【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，运算求解． 【详解】由题意可得：，解得a＝5， ∴该组数据的方差 故答案为：． 5. 在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为____. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为抛物线的焦点为所以又所以而双曲线的渐近线方程为即.解答本题需注意双曲线的焦点位置. 考点：双曲线的渐近线及准线，抛物线焦点. 6. 设函数，若，，成等差数列（公差不为零），则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可得，化简，代入化简即可. 【详解】因为，，成等差数列， 所以， 故答案为：2 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及分式的加减运算，属于基础题. 7. 已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据函数恒成立的等价条件及基本不等式，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据复合函数单调性及指数函数单调性，对数函数的最值，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据两个命题中有且只有一个是真命题，我们分真假和假真，两种情况讨论，即可得到实数的取值范围． 【详解】解：，不等式恒成立； 即恒成立； 由于的最小值为2， 故为真命题时， ，有最小值． 表示以为底的对数函数为增函数，且恒成立 即，解得 故为真命题时， 两个命题中有且只有一个是真命题， 当真假时，或，，，或， 当假真时，这样的值不存在 故实数的取值范围是或 故答案为：或. 【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，全称命题，二次函数的性质，对数函数的值域与最值，函数恒成立问题，基本不等式在求最值时的应用，其中分别求出命题和命题为真命题时，实数的取值范围，是解答本题的关键． 8. 设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________． 【答案】2x2﹣2y2=1 【解析】 【详解】试题分析：椭圆中，∵中心在原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，∴双曲线中，∵椭圆的离心率为，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为， ∴双曲线中，，，∴双曲线的方程为. 考点：1.双曲线的标准方程；2.椭圆的简单性质；3.双曲线的简单性质． 9. 已知，，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围______. 【答案】且 【解析】 【分析】根据向量的夹角为锐角其数量积大于0，且不同向共线，即可得答案； 【详解】，， ，即， 又，不共线，∴， ∴且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查向量夹角的计算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量同向共线夹角不为锐角. 10. 已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的范围确定的值域和的值域，根据成立，推出的值域和的值域交集非空，先求二者交集为空集时的取值范围，进而可求交集非空时的取值范围. 【详解】当时 ，在上单调递减， 所以，即，， 当时，， 所以，可得在单调递增， 所以，即， 所以的值域为， 因为且 ， 所以，即， 因为，所以，所以 所以的值域为， 因为存在，使得成立，所以， 若，则或，此时或， 所以当时，的取值范围是：. 所以实数的取值范围是， 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的单调性的判断，利用了导数研究函数的单调性，同时考查了利用单调性研究函数的值域问题，属于中档题. 11. 如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积为，化简得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】设，因为，可得且， 所以梯形的面积为， 则，所以， 令，可得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 即. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程及几何性质，以及导数的实际应用，其中解答中结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ①函数的定义域为，值域为； ②函数在上是增函数； ③函数是周期函数，最小正周期为； ④函数的图象关于直线对称. 其中正确命题的序号是________ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】求出函数的定义域和值域，可判断①；化简函数在上的解析式，可判断②的正误；利用函数周期性的定义可判断③；利用函数对称性的定义可判断④. 【详解】对于①，函数的定义域为， 对任意的，存在，使得，则，可得， 则，①对； 对于②，， 当时，则，此时，则函数在上不单调，②错； 对于③，对任意的，存在，使得， 则，， 所以，， 故函数是周期函数，最小正周期为，③对； 对于④，当时，则存在，使得， 所以，，则， ，，则， 所以，， 当时，则，，则， 此时， ，此时， 综上所述，对任意的，当时，. 所以，函数的图象关于直线对称，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数基本性质的判断，解题的关键在于充分利用函数的新定义，结合函数基本性质的定义判断即可. 二､选择题： 13. 设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由“”，得， 得或或， 即或或， 由，得， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选C． 【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题． 14. 关于函数有下述四个结论： ①是偶函数 ②的最大值为2 ③在有4个零点 ④在区间单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析. 【详解】解：定义域为， 因为， 故为偶函数，结论①正确， 当， 当， 故当时， 根据函数为偶函数，作出大致图象，如图所示 故函数最大值为2，结论②正确， 根据图象可得，在有3个零点，故结论③错误， 由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，考查学生的推理论证能力和运算求解能力等. 15. 如图，面为的中点，为内的动点，且到直线的距离为则的最大值为 A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：解：空间中到直线CD的距离为的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，b=，a=，则c=1，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角，在短轴的端点取得最大，故为60°．故选B 考点：椭圆的简单几何性质 点评：本题是立体几何与解析几何知识交汇试题，题目新，考查空间想象能力，计算能力． 16. 已知数列{an}满足：an（n∈N*）．若正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则k＝（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，将n换为n+1，两式相除整理得an2＝an+1﹣an+1，n≥6，求得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5，结合已知条件，即可得到所求值． 【详解】解：an（n∈N*）， 即a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31， n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，所以a1a2…an＝1+an+1， 两式相除可得an， 则an2＝an+1﹣an+1，n≥6， 由a62＝a7﹣a6+1， a72＝a8﹣a7+1， …， ak2＝ak+1﹣ak+1，k≥5， 可得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5 a12+a22+…+ak2＝20+ak+1﹣a6+k﹣5＝ak+1+k﹣16， 且a1a2…ak＝1+ak+1， 正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立， 则ak+1+k﹣16＝ak+1+1， 则k＝17， 故选：B． 【点睛】本题考查数列的递推公式，考查累加法求和，解题关键是由n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，a1a2…an＝1+an+1，两式相除得出，目的是配出． 三､解答题： 17. 在平面直角坐标系中，已知点、，其中. （1）若，求证：. （2）若，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）用坐标表示出，，求出它们的数量积，利用可证. （2）由，可求解得，进而可求得，即可求得. 【详解】（1）由题设知，. 所以 因为，所以.故. （2）因为，所以，即，解得. 因为，所以.因此，. 从而. 【点睛】本题以向量为载体，考查三角函数，数量积的运算，考查两角和的正弦公式，属于中档题. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见详解；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，连接，由三角形中位线定理，可得，由线面平行的判定定理，即可得平面. （2）由已知中正方体的棱长为2，点到平面的距离为1，求出棱锥底面面积，代入棱锥体积公式，即可求出三棱锥的体积. 【详解】 （1）连接与交于点，连接； 因为为的中点，为的中点. 所以， 又平面，平面. 所以平面. （2）由于点到平面的距离为1， 故三棱锥的体积. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题. 19. 某化工单位采取新工艺、把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨．最多为600吨，处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．已知月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为．每吨的平均处理成本． （1）该单位每月处理为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 【答案】（1）吨 （2）该单位每月不能获利，需要国家至少补贴40000元才能使单位不亏损 【解析】 【分析】（1）设每吨的平均处理成本为（元），得到，结合基本不等式求解即可； （2）设该单位每月获利（元），得到函数表达式，结合二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 设每吨的平均处理成本为（元）， 则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以该单位每月处理为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 【小问2详解】 设该单位每月获利（元）， 则， 函数图像开口向下，对称轴， 所以函数在单调递减， 所以， 所以该单位每月不能获利，需要国家至少补贴40000元才能使单位不亏损 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N. （1）求椭圆C的方程； （2）求的最小值，并求此时圆T的方程； （3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）依题意，得，，由此能求出椭圆C的方程. （2）点与点关于轴对称，设，，设，由于点在椭圆C上，故，由，知，由此能求出圆T的方程. （3）设，则直线MP的方程为：，令，得，同理：，由此能证明为定值. 【详解】（1）依题意，得，， ， 故椭圆C的方程为. （2）点与点关于轴对称，设，，设， 由于点在椭圆C上，所以， 由，则， . 由于， 故当时，的最小值为，所以，故， 又点在圆T上，代入圆的方程得到. 故圆T的方程为： （3）设，则直线MP的方程为：， 令，得，同理：. 故 又点与点在椭圆上， 故，代入上式得： ， 所以 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题. 21. 已知函数 （1）若为的极值点，求实数的值； （2）若在上为增函数，求实数的取值范围； （3）当时，方程有实根，求实数的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）0. 【解析】 【分析】（1）根据建立关于的方程求出的值. （2）本小题实质是在区间上恒成立，进一步转化为在区间上恒成立, 然后再讨论和两种情况研究 （3）时，方程可化为, 问题转化为在上有解， 利用导数研究函数的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解. 【详解】解：（1） 因为为的极值点，所以，即，解得. 又当时，，从而为的极值点成立． （2）因为函数在上为增函数，所以 在上恒成立. ①当时，在上恒成立， 所以在上为增函数，故符合题意. ②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立， 故只能，所以在上恒成立. 令函数，其对称轴为， 因，所以，要使在上恒成立，只要即可， 即，所以. 因为，所以. 综上所述，的取值范围为. （3）当时，方程可化为. 问题转化为在上有解， 即求函数的值域. 因为函数，令函数， 则， 所以当时，，从而函数在上为增函数， 当时，，从而函数在上为减函数， 因此. 而，所以，因此当时，取得最大值0． 【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，函数的最值，构建函数是关键，还考查恒成立问题，正确分离参数是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$