期末专题复习九大类型 课件2024－2025学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上数学期末专题复习 1、代数计算 2、分式方程及其应用 3、恒等变换 4、几何计算 5、几何证明 6、作图专题 7、辅助线作法 8、动点问题 9、规律探究 人教版八年级上册数学期末复习 专题一 代数计算 一、整式的计算 1.计算( -3)0的结果是( ) A.0 B.1 C.3- D. -3 B 2.下列计算正确的是( ) A.a3+a3=a6 B.3a-a=3 C.(a3)2=a5 D.a a2=a3 D 3.计算a2 a4 (-a2)2的结果是( ) A.a B.a2 C.-a2 D.a3 B 4.计算: (1)(-2x2y-2xy) (-2xy); 解:原式=(-2x2y-2xy) (- ) =(-2x2y) (- )-2xy (- ) =x+1 (2)(x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy; 解:原式=x2-y2-x2-xy+2xy =xy-y2 (3)(x-2y)2-(x-y)(x+y). 解:原式=x2-4xy+4y2-x2+y2 =5y2-4xy 5.化简求值: (x+2)2+(2x+1)(2x-1)-4x(x+1),其中x=- . 解:原式=x2+4x+4+4x2-1-4x2-4x =x2+3 当x=- 时,原式=(- )2+3=2+3=5. 6.先化简,再求值:(x-1)(x-2)-(x+1)2,其中x= . 解:原式=(x-1)(x-2)-(x+1)2] =x2-2x-x+2-x2-2x-1 =-5x+1 当x= 时,原式=-5 +1=- . 7.化简求值. [(2x+y)(2x-y)+(x+y)2-2(2x2-xy)] (-4x),其中x+4y=8. 解:原式=(4x2-y2+x2+y2+2xy-4x2+2xy) (-4x) =(x2+4xy) (-4x) =- -y =- (x+4y) ∵x+4y=8, ∴原式=- 8=-2 二、整式的因式分解 8.多项式a2-4a分解因式,正确的结果是( ) A.a(a-4) B.(a+2)(a-2) C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4 A 9.下列四个多项式中,能分解因式的是( ) A.a2+1 B.a2-6a+9 C.x2+5y D.x2-5y B 10.下列因式分解错误的是( ) A.x2-y2=(x+y)(x-y) B.x2+6x+9=(x+3)2 C.x2+xy=x(x+y) D.x2+y2=(x+y)2 D 11.分解因式: (1)2+4x=_; (2)4x2-1=_; (3)x2-6x+9=_. 2(2x+1) (2x+1)(2x-1) (x-3) 12.分解因式: (1)x4-1=_; (2)x2y-9y=_; (3)x3+4x2+4x=_. (x+1)(x-1)(x +1) y(x+3)(x-3) x(x+2) 13.分解因式: (1)(m+1)(m-9)+8m; 解:(m+1)(m-9)+8m =m2-9m+m-9+8m =m2-9 =(m+3)(m-3) (2)x2(x+y)-(x+y). 解:x2(x+y)-(x+y) =(x+y)(x2-1) =(x+y)(x+1)(x-1) 14.给出三个多项式:①2x2+4x-4;②2x2+12x+4;③2x2 -4x.请你把其中任意两个多项式进行加法运算(写出所有可 能的结果),并把每个结果因式分解. 解:①+②:(2x2+4x-4)+(2x2+12x+4)=4x2+16x=4x(x+4) ①+③:(2x2+4x-4)+(2x2-4x)=4x2-4=4(x+1)(x-1) ②+③:(2x2+12x+4)+(2x2-4x)=4x2+8x+4=4(x+1)2 三、分式的计算 15.函数y= 中,x的取值范围是( ) A.x≠0 B.x>-2 C.x<-2 D.x≠-2 D 16.若分式 的值为0,则x的值是( ) A.-3 B.-2 C.0 D.2 D 17.计算 - 的结果为( ) A.1 B.x C. D. A 18.化简 的结果是( ) A. B. C. D.2(x+1) A 19.计算: - =_. 20.计算: . 解:原式= = 21.计算: . 解:原式= = = 22.计算: . 解:原式= = =a 23.化简: . 解:原式= = = 24.化简: . 解:原式= = =x2+1 25.化简: . 解:原式= = 26.先化简,再求值: ,其中x= -1. 解:原式= = = =x+1 ∴当x= -1时,原式=( -1)+1= . 27.先化简,后求值: ,其中x=3. 解:原式= = = ∴当x=3时,原式= =1. 28.先化简,再求值: 其中x2+2x-15=0. 解:原式= = = = = = 由x2+2x-15=0知,x2+2x=15.所以原式= . 谢谢! 人教版八年级上册数学期末 专题二 分式方程及其应用 一、分式方程的解法 1.分式方程 =1的解为( ) A.x=-1 B.x= C.x=1 D.x=2 A 2.分式方程 的解为( ) A.x= B.x= C.x= D.x= B 3.解方程 . 解:方程两边同乘以x(x-1),得3x=4(x-1) 解得x=4 检验:当x=4时,x(x-1)≠0. 所以,原分式方程的解为x=1. 4.解方程 =4. 解:方程两边都乘以(x-1),得x-2=4(x-1) 解得x= 检验:当x= 时,x-1≠0. 所以,原分式方程的解为x= . 5.解方程 =0. 解:方程两边都乘以x(1+x),得2(1+x)-x=0 解得x=-2 检验:当x=-2时,x(1+x)≠0. 所以,原分式方程的解为x=-2. 6.解方程 . 解:方程两边都乘以(2x-2),得2x-2(2x-2)=3 解得x= 检验:当x= 时,2x-2≠0 所以,原分式方程的解为x= . 7.解方程 . 解:方程两边都乘以(x+1)(x-1),得 3(x-1)=x(x+1)-(x+1)(x-1) 解得x=2 检验:当x=2时,(x+1)(x-1)≠0. 所以,原分式方程的解为x=2. 8.解方程 . 解:方程两边同乘以x2-4,得 (x-2)2-(x2-4)=16 解得x=-2 检验:当x=-2时,x2-4=0, 因此x=-2不是原分式方程的解 所以,原方程无解. 二、分式方程的应用 9.为加快“最美毕节”环境建设,某园林公司增加了人力进行 大型树木移植,现在平均每天比原计划多植树30棵,现在植 树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同,设现在平 均每天植树x棵,则列出的方程为( ) A. B. C. D. A 10.动车的开通为扬州市民的出行带来了方便,从扬州到 合肥,路程为360 km,某趟动车的平均速度比普通列车 快50%,所需时间比普通列车少1小时,求该趟动车的平 均速度. 解:设普通列车的速度为x km/h,动车的平均速度为1.5x km/h, 由题意得, =1, 解得:x=120, 经检验,x=120是原分式方程的解,且符合题意. 动车的平均速度=120 1.5=180 km/h, 答:该趟动车的平均速度为180 km/h. 11.端午节那天,“味美早餐店”的粽子打九折出售,小红 的妈妈去该店买粽子花了54元钱,比平时多买了3个,求 平时每个粽子卖多少元. 解:设平时每个棕子卖x元,依题意,有 +3 解得x=2 经检验,x=2是原方程的解且符合题意. 答:平时每个棕子卖2元. 12.某生态示范园计划种植一批核桃,原计划总产量为36万 千克,为了满足市场需求,现决定改良核桃品种,改良 后平均每亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加 了9万千克,种植面积减少了20亩.原计划平均每亩产量 是多少万千克? 解:设原计划平均每亩产量是x万千克, 则改良后平均每亩产量是1.5x万千克. 原计划种植亩数为 ,改良品种后种植的亩数为 . 依题意有 -20= 解得x=0.3 经检验,x=0.3是原分式方程的解且符合题意. 答:原计划平均每亩产量是0.3万千克. 13. 某服装店用4 500元购进一批衬衫,很快售完,服装店老板 又用2 100元购进第二批该款式的衬衫,进货量是第一次 的一半,但进价每件比第一批降低了10元. (1)这两次各购进这种衬衫多少件? (2)若第一批衬衫的售价是200元/件,老板想让这两批衬衫 售完后的总利润不低于1 950元,则第二批衬衫每件至少 要售多少元? 解:(1)设第一批衬衫每件进价是x元,则第二批每件进价是 (x-10)元,根据题意可得: = , 解得x=150 经检验x=150是原方程的解, 第一批衬衫每件进价是150元,第二批每件进价是140元, =30(件), =15(件), 答:第一批衬衫进了30件,第二批进了15件; (2)设第二批衬衫每件售价y元,根据题意可得: 30 (200-150)+15(y-140)≥1 950, 解得y≥170 答:第二批衬衫每件至少要售170元. 14. 一项工程,甲、乙两公司合作,12天可以完成,共需付施 工费102 000元;如果甲、乙两公司单独完成此项工程, 乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费 比甲公司每天的施工费少1 500元. (1)甲、乙两公司单独完成此项工程各需多少天? (2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少? 解:(1)设甲公司单独完成此项工程需x天,则乙公司单独完成此项 工程需1.5x天, 根据题意,得 , 解得x=20, 经检验知x=20是方程的解且符合题意, 1.5x=30 故甲公司单独完成此项工程,需20天,乙公司单独完成此 项工程,需30天; (2)设甲公司每天的施工费为y元,则乙公司每天的施工费为 (y-1 500)元, 根据题意得12(y+y-1 500)=102 000, 解得y=5 000, 甲公司单独完成此项工程所需的施工费: 20 5 000=100 000(元); 乙公司单独完成此项工程所需的施工费: 30 (5 000-1 500)=105 000(元); 故甲公司的施工费较少. 15. 图书馆理员小张4小时清点完一批图书的一半,图书管理员 小李加入清点另一半图书的工作,两人合作1.5小时清点完 另一半图书.如果图书管理员小李单独清点这批图书,需 要的时间是_. 4.8h 谢谢! 人教版八年级上册数学期末 专题三 恒等变形 一、幂运算的恒等变形 1.已知xm=2,xn=3,则xm+n的值为( ) A.5 B. C.9 D.6 D 2.如果xm=3,xn=2,那么xm-n的值是( ) A.1.5 B.6 C.8 D.9 A 3.计算 的结果是( ) A.0 B.1 C.-1 D.24 028 B 4.如果ax=3,那么a3x=_;若4x=2x+3, 则x=_. 27 3 5.已知:am=3,an=5,求am+2n的值. 解: am+2n=am (an)2=3 52=75 6.已知2 8x 16=223,求x的值. 解:2 8x 16 =2 23x 24 =23x+5 =223 ∴3x+5=23 ∴x=6 7.已知10a=3,10b=5,10c=7,试把105写成底数是 10的幂的形式. 解:105=3 5 7 =10a 10b 10c =10a+b+c 8.已知10a=2,10b=3,求值: (1)102a+103b; (2)102a+3b. 解:(1)102a+103b =(10a)2+(10b)3 =22+33 =4+27 =31 (2)102a+3b=102a 103b =(10a)2 (10b)3 =22 33 =4 27 =108 二、乘法公式的恒等变形 9.若(x+3)2=x2+ax+9,则a的值为( ) A.3 B. 3 C.6 D. 6 10.若a-b=8,a+b=4,则a2-b2=_. C 32 11.已知(x-y)2=49,xy=2,则x2+y2的值为( ) A.53 B.45 C.47 D.51 A 12.已知正数x满足x2+ =62, 则x+ 的值是_. 8 13.已知a+b=3,ab=2,求a2+b2的值. 解:a2+b2 =(a+b)2-2ab =32-2 2 =5 14.已知a2+b2=25,且ab=12,求a-b的值. 解:∵(a-b)2 =a2+b2-2ab =25-2 12 =1 ∴a-b= 1 15.若a2+b2+4a-6b+13=0,试求ab的值. 解:∵a2+b2+4a-6b+13 =a2+4a+4+b2-6b+9 =(a+2)2+(b-3)2 =0 ∴a=-2,b=3 ∴ab=(-2)3=-8. 三、图形的恒等变形 16.如图①,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形 (a>b),把余下的部分剪拼成一个长方形,如图②,通过计 算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式 是( ) A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 A 17.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀 均匀分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形. (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长为_; (2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积. 方法1:_(只列式,不化简); 方法2:_(只列式,不化简). m-n (m-n) (m+n) -2m 2n (4)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=8, ab=5,求(a-b)2的值. 解:(3)(m+n)2=(m-n)2+4mn (4)(a-b)2=(a+b)2-4ab =82-4 5 =64-20 =44 (3)观察图②你能写出下列三个式子之间的关系吗? (m+n)2,(m-n)2,mn. 18.如图①,边长为a的大正方形中有四个长均为b的小正方 形,小华将阴影部分拼成了一个长方形(如图②),则这个长 方形的面积为( ) A.a2-4b2 B.(a+b)(a-b) C.(a+2b)(a-b) D.(a+b)(a-2b) A 19.当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时,可 以得到一个等式.例如,由图①,可得等式:(a+2b)(a+b) =a2+3ab+2b2. (1)由图②可得等式: ; (2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知a+b+c =11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值; (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (2)解:a2+b2+c2 =112-2 38 =45 (3)利用图③中的纸片(足够多),画出一种拼图,使该拼图可用 来验证等式:2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b); (4)小明用2张边长为a的正方形,3张边长为b的正方形,5张 宽、长分别为a,b的长方形纸片重新拼出一个长方形,那么该 长方形较长的一条边长为_. 解:(3)如图所示: (4)根据题意得: 2a2+5ab+3b2=(2a+3b)(a+b) 则较长的一边长为2a+3b. 谢谢! 人教版八年级上册数学期末 专题四 几何计算 一、多边形的内角和与外角和 1.内角和为720 的多边形是( ) A B C D D 2.正十边形的每个外角等于( ) A.18 B.36 C.45 D.60 B 3.在四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为 2∶3∶4∶3,则∠D等于( ) A.60 B.75 C.90 D.120 C 4.一个正多边形的内角和为540 ,则这个正多边形的每一 个外角等于( ) A.108 B.90 C.72 D.60 C 5.正多边形的一个内角是150 ,则这个正多边形的边数 为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 C 6.如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且 ∠1=∠2=∠3=∠4=70 ,则∠AED的度数是( ) A.110 B.108 C.105 D.100 D 7.已知一个多边形的内角和与外角和相加为2 160 ,求这 个多边形的边数和对角线的条数. 解:设这个多边形的边数为n,则其内角和为(n-2) 180 . 依题意,有(n-2) 180 +360 =2 160 解得n=12 ∴这个多边形的对角线条数为 12 (12-3)=54. 二、三角形的内角与外角 8.在 ABC中,若∠A=95 ,∠B=40 ,则∠C的度数 为( ) A.35 B.40 C.45 D.50 C 9.如图,直线AB∥CD,AE平分∠CAB.AE与CD相交于点E, ∠ACD=40 ,则∠BAE的度数是( ) A.40 B.70 C.80 D.140 B 10.如图,直线m∥n,∠1=70 ,∠2=30 ,则∠A等 于( ) A.30 B.35 C.40 D.50 C 11.如图,已知a∥b,直角三角板的直角顶角在直线b上,若 ∠1=60 ,则下列结论错误的是( ) A.∠2=60 B.∠3=60 C.∠4=120 D.∠5=40 D 12.如图,在 ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2, ∠3=∠4,∠BAC=63 ,求∠DAC的度数. 解:∵∠3=∠1+∠2,∠1=∠2 ∴∠3=2∠1 又∠3=∠4 ∴∠4=2∠1 ∴∠DAC=180 -(∠3+∠4)=180 -4∠1 ∴∠BAC=∠1+∠DAC =∠1+(180 -4∠1) =180-3∠1 又∵∠BAC=63 ∴180 -3∠1=63 ∴∠1=39 ∴∠DAC=180 -4∠1=180 -4 39 =24 . 13.如图, ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC =35 ,则∠ADB的度数为( ) A.25 B.60 C.85 D.95 D 14.如图,在等腰 ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC =72 ,则∠ABD等于( ) A.36 B.54 C.18 D.64 B 15.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB, 已知∠ADE=40 ,则∠DBC=_ . 15 16.如图,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠ =40 ,则∠ 等于_度. 20 17.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AB边的垂直平分线 DE交BC于点D,交AB于点E,连接AD,AD将∠CAB分 成两个角,且∠1∶∠2=2∶5,求∠ADC的度数. 解:设∠1=2x ,则∠2=5x . ∵DE是线段AB的垂直平分线, ∴DA=DB.∴∠B=∠2=5x , ∴∠ADC=∠B+∠2=10x ∵∠C=90 , ∴∠ADC+∠1=90 ,即10x +2x =90 ∴x=7.5,∴∠ADC=10x =75 . 三、三角形的边 18.若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能 是( ) A.6 B.3 C.2 D.11 A 19.一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长 为( ) A.12 B.16 C.20 D.16或20 C 20.如果三角形的两边长分别为3和5,第三边长是偶数,则 第三边长可以是( ) A.2 B.3 C.4 D.8 C 21.如图, EFG≌ NMH,EG=3.3 cm,HG=1.6 cm, 则GN的长度是_cm. 1.7 22.如图,已知BC⊥CA,ED⊥AB,BD=BC,AE=8 cm, DE=6 cm,则AC等于( ) A.10 cm B.12 cm C.14 cm D.16 cm C 23.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30 方向,距离灯 塔4海里的A处,该海轮沿南偏东30 方向航行_ 海里后,到达位于灯塔P的正东方向的B处. 4 24.如图,在 ABC中,DE是AC的垂直平分线, ABC的周 长为19 cm, ABD的周长为13 cm,则AE的长为( ) A.3 cm B.6 cm C.12 cm D.16 cm A 25.如图①,在 ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 过点O作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E. (1)若BD=4,CE=3,求DE的长; (2)若AB=12,AC=9,求 ADE的周长; (3)若将原题中平行线DE的方向改变,如图②,OD∥AB, OE∥AC,BC=16,求 DOE的周长. 解: (1)∵BO平分∠ABC, ∴∠ABO=∠OBC ∵DE∥BC ∴∠DOB=∠OBC ∴∠ABO=∠DOB ∴BD=DO ∴ DBO是等腰三角形. 同理, EOC也是等腰三角形 ∵DO=BD=4,OE=CE=3 ∴DE=DO+OE=4+3=7 (2)由(1)可得DO=DB,OE=EC ∴AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE =AD+DB+EC+AE =AB+AC =12+9 =21 ∴ ADE的周长是21. (3)∵BO平分∠ABC, ∴∠ABO=∠OBC ∵OD∥AB ∴∠DOB=∠ABO ∴∠OBC=∠DOB ∴BD=OD 同理,EC=OE ∴OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16 ∴ ODE的周长是16. 四、含30 的直角三角形 26.如图是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横梁AD, AB=6 m,∠A=30 ,则立柱BC的长度为( ) A.3 m B.6 m C.10 m D.12 m A 27.如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,∠B=15 ,DE垂 直平分AB,交BC于点E,垂足为D,BE=6 cm,则AC 等于( ) A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm D 28.如图,已知 ABC中,AB=AC,∠C=30 ,AB⊥AD, AD=4 cm.求BC的长. 解:∵AB=AC ∴∠B=∠C=30 . 又∵AB⊥AD,∴∠BAD=90 . ∴∠ADB=90 -30 =60 ,BD=2AD=2 4=8(cm) ∴∠DAC=60 -∠C=60 -30 =30 ∴∠DAC=∠C,∴AD=CD=4 cm ∴BC=BD+CD=8+4=12(cm) 29.如图,在 ABC中,AB=AC,∠BAC=120 ,D为BC 的中点,DE⊥AC于E,AE=8,求CE的长. 解:连接AD. ∵AB=AC,D是BC的中点 ∴AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD= ∠BAC= 120 =60 . ∵DE⊥AC,∴∠AED=90 ∴∠ADE=90 -∠DAE=90 -60 =30 . ∴AD=2AE=2 8=16. 又∠B=90 -∠BAD=90 -60 =30 ∴AB=2AD=2 16=32 ∴CE=AC-AE=AB-AE=32-8=24 谢谢! 人教版八年级上册数学期末 专题五 几何证明 一、证明三角形全等 1.如图,已知 ABC和 DAE,D是AC上一点,AD=AB, DE∥AB,DE=AC.求证:AE=BC. 证明:∵DE∥AB, ∴∠ADE=∠BAC. 在 ADE和 BAC中 ∴ ADE≌ BAC(SAS), ∴AE=BC. 2.如图, ABC中,∠ACB=45 ,AD⊥BC于D,CF交AD 于点F,连接BF并延长交AC于点E,∠BAD=∠FCD.求证: ABD≌ CFD. 证明:∵AD⊥BC, ∴∠ADC=∠FDB=90 . ∵∠ACB=45 , ∴∠ACB=∠DAC=45 , ∴AD=CD, ∵在 ABD和 CFD中, ∴ ABD≌ CFD(ASA) 3.如图,已知AB∥CD,OA=OD,点F、D、O、A、E在 同一条直线上,AE=DF.请证明: ABE≌ DCF. 证明:∵AB∥CD, ∴∠ABO=∠DCO,∠BAO=∠CDO. 在 AOB和 DOC中, ∴ AOB≌ DOC(AAS), ∴AB=CD 又∵∠EAB=∠AOB+∠ABO,∠FDC=∠DOC+∠DCO ∠AOB=∠DOC ∴∠EAB=∠FDC, 在 ABE和 DCF中, ∴ ABE≌ DCF(SAS) 二、证明线段相等 4.如图,在 ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE 相交于点O.求证:OB=OC. 证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵BD、CE是 ABC的两条高线, ∴∠BEC=∠BDC=90 , ∵BC=CB,∴ BEC≌ CDB, ∴∠DBC=∠ECB,∴OB=OC. 5.如图, ABC和 ADE是等边三角形,AD是BC边上的 中线.求证:BE=BD. 证明:∵ ABC和 ADE是等边三角形, AD为BC边上的中线, ∴AE=AD,AD为∠BAC的角平分线, 即∠CAD=∠BAD=30 , ∴∠BAE=∠BAD=30 , 在 ABE和 ABD中 ∴ ABE≌ ABD(SAS),∴BE=BD. 6.如图,在 ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线 交AB于点E,交AC于点F.求证:AF=ED. 证明:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∵AD的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F, ∴AE=DE,∠AOE=∠AOF=90 , ∴∠AEF=∠AFE, ∴AE=AF,∴AF=ED. 7.如图,在 ABC中,AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC, E是垂足,ED的延长线交CA的延长线于点F. 求证:AD=AF. 证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∵DE⊥BC, ∴∠C+∠F=90 ,∠B+∠BDE=90 , ∴∠F=∠BDE, ∵∠ADF=∠BDE, ∴∠F=∠ADF,∴AD=AF. 8.如图,已知AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角 形ABE的高,如果AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE. 证明:∵AD,AF分别是两个钝角 ABC 和 ABE的高,且AD=AF,AC=AE,∴Rt ADC≌Rt AFE(HL). ∴CD=EF. ∵AD=AF,AB=AB, ∴Rt ABD≌Rt ABF(HL). ∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF.即BC=BE. 9.如图,在 ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的 延长线上,且BD=CE,DE交BC于点F. 求证:DF=EF. 证明:过D点作DG∥AE交BC于G点,如图. ∴∠1=∠2,∠4=∠3, ∵AB=AC, ∴∠B=∠2,∴∠B=∠1,∴DB=DG, 而BD=CE, ∴DG=CE, 在 DFG和 EFC中 ∴ DFG≌ EFC. ∴DF=EF. 三、证明角相等 10.如图,点C是AE的中点,∠A=∠ECD,AB=CD. 求证:∠B=∠D. 证明:∵点C是AE的中点, ∴AC=CE, 在 ABC和 CDE中, ∴ ABC≌ CDE, ∴∠B=∠D. 11.如图,在 ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线 BE⊥AC于点E. 求证:∠CBE=∠BAD. 证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC, ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90 , ∠CAD=∠BAD, ∴∠CBE=∠BAD. 12.如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线 交于点E,OA=OC,EA=EC. 求证:∠A=∠C. 证明:连接OE, 在 AOE和 COE中, ∵ ∴ AOE≌ COE(SSS), ∴∠A=∠C. 13.已知 ABN和 ACM的位置如图,AB=AC,AD=AE, ∠1=∠2.求证:∠M=∠N. 证明:在 ABD和 ACE中, ∴ ABD≌ ACE(SAS), ∴∠B=∠C, ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE, 即∠BAN=∠CAM, 在 ACM和 ABN中, ∴ ACM≌ ABN(ASA), ∴∠M=∠N. 14.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,点D为 BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF. 求证:∠ADC=∠BDF. 证明:作BG⊥CB,交CF的延长线于点G,如图所示: ∵∠ACB=90 ,CF⊥AD, ∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+ADC=90 , ∴∠CAD=∠BCG. 在 ACD和 CBG中, ∴ ACD≌ CBG(ASA). ∴CD=BG,∠CDA=∠CGB ∵CD=BD, ∴BG=BD. ∵∠ABC=45 , ∴∠FBG=∠CBG-∠FBD=90 -45 =45 =∠FBD 在 BFG和 BFD中, ∴ BFG≌ BFD(SAS), ∴∠FGB=∠FDB, ∴∠ADC=∠BDF. 四、证明线段垂直 15.如图,AD为 ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F, 且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC. 证明:∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90 . 又∵BF=AC,FD=CD. ∴ ADC≌ BDF(HL). ∴∠EBC=∠DAC 又∵∠DAC+∠ACD=90 , ∴∠EBC+∠ACD=90 . ∴∠BEC=90 ,∴BE⊥AC. 16.如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,点E在BC 上,过点C作CF⊥AE于点F,延长CF使CD=AE,连接 BD.求证:BD⊥BC. 证明:∵∠ACB=90 , ∴∠BCD+∠ACF=90 , ∵CF⊥AE于点F,∴∠AFC=90 . ∴∠ACF+∠EAC=90 . ∴∠DCB=∠EAC. 在 DBC和 ECA中, ∴ DBC≌ ECA. ∴∠DBC=∠ACB=90 . 即BD⊥BC. 17.如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足 分别为E,F.连接EF,EF与AD交于点G.试判断线段AD与 EF的位置关系,并证明你的结论. 解:AD垂直平分EF.理由如下: ∵AD为 ABC的角平分线, DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∴DE=DF. ∴点D在EF的垂直平分线上,∠DEF=∠DFE, ∵∠DEA=∠DFA=90 , ∴∠FEA=∠EFA. ∴AE=AF. ∴点A在EF的垂直平分线上, ∴AD垂直平分EF. 18.如图,已知BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB. 求证:AM⊥AN. 证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB, ∴∠1+∠BMF=90 , ∠2+∠CME=90 , ∵∠BMF=∠CME(对顶角相等), ∴∠1=∠2. 在 ABM和 NCA中, ∴ ABM≌ NCA(SAS), ∴∠3=∠N, ∵CF⊥AB,∴∠4+∠N=90 , ∴∠3+∠4=90 ,即∠MAN=90 , 因此,AM⊥AN. 五、证明等边三角形 19.已知:如图,AB=BC,∠CDE=120 ,DF∥BA, 且DF平分∠CDE.求证: ABC是等边三角形. 证明:∵DF平分∠CDE, ∴∠CDF=∠EDF= ∠CDE, ∵∠CDE=120 , ∴∠CDF=60 . ∵DF∥BA,∴∠ABC=∠CDF=60 . ∵AB=BC,∴ ABC是等边三角形. 20.如图, ABC为等边三角形,且ED⊥BC,垂足为D, FE⊥AC,垂足为E,DF⊥AB,垂足为F,则 DEF是 等边三角形吗?为什么? 解: DEF是等边三角形.理由如下: ∵ ABC为等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60 . ∵DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB, ∴∠AEF=∠BFD=∠CDE=90 . ∴∠AFE=∠BDF=∠CED=30 . ∴∠FED=∠EDF=∠DFE=60 . ∴ DEF是等边三角形. 21.如图, ABC是等边三角形,D是BC延长线上一点, CE平分∠ACD,且CE=BD.求证: DAE为等边三 角形. 证明:∵ ABC为等边三角形, ∴∠B=∠ACB=60 ,AB=AC, 即∠ACD=120 . ∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE=60 . 在 ABD和 ACE中, ∴ ABD≌ ACE(SAS). ∴AD=AE,∠BAD=∠CAE. 又∵∠BAC=60 , ∴∠DAE=60 . ∴ ADE为等边三角形. 六、证明c=a+b 22.如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,BE平分∠ABC, 交AC于点E,DE垂直平分AB,交AB于点D. 求证:BE+DE=AC. 证明:∵∠ACB=90 ,∴AC⊥BC. ∵ED⊥AB,BE平分∠ABC, ∴CE=DE. ∵DE垂直平分AB,∴AE=BE. ∵AC=AE+CE,∴BE+DE=AC. 23.如图,AC平分∠MAN,∠MAN=120 ,∠ABC= ∠ADC=90 .求证:AB+AD=AC. 证明:∵∠MAN=120 ,AC平分∠MAN, ∴∠CAD=∠CAB=60 . 又∠ABC=∠ADC=90 , ∴AD= AC,AB= AC, ∴AB+AD=AC. 24.如图,在 ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C. 试说明:CD=AB+BD. 证明:在CD上取一点E使DE=BD,连接AE, ∵AD⊥BC, ∴ ABE是等腰三角形. ∴AB=AE,∠B=∠AEB. ∵∠B=∠AEB=2∠C, 又∵∠AEB=∠C+∠EAC, ∴∠EAC=∠C.∴AE=EC. ∴CD=DE+EC=AB+BD. 25.如图,已知 ABC和 BDE均为等边三角形,试说明: BD+CD=AD. 证明:∵ ABC和 BDE均为等边三角形, ∴∠ABC=60 =∠DBE, AB=BC,BD=BE=DE. ∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE. 即∠ABE=∠DBC. ∵AB=BC,BE=BD, ∴ ABE≌ CBD(SAS).∴AE=CD. ∵BD=DE,点E在AD上, ∴AD=AE+DE=CD+BD. 谢谢! 人教版八年级上册数学期末 专题六 作图专题 一、五个基本尺规作图 1.作一条线段等于已知线段. 已知:线段a. 求作:线段AB,使AB=a. 解:作法: (1)作射线AC; (2)在射线AC上截取AB=a,则线段AB就是所要求作 的线段. 2.作一个角等于已知角. 已知:∠ . 求作:∠ECF,使∠ECF=∠ . 解:作法:画射线CF; 再以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB于E、D; 以C为圆心,OD长为半径; 然后再以N为圆心,ED长为半径画弧,交前弧于M,过M作 射线AE可得∠ECF. 如图所示:∠ECF即为所求. 3.作一个角的平分线. 已知:∠AOB. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 解:作法:①以O为圆心,适当长为半径画弧交OA于点M,交OB 于点N(如图); ②分别以M、N为圆心,都以不小于 MN长为半径画 弧,两弧交于点C; ③作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线. 4.作一条线段的垂直平分线. 已知:线段AB. 求作:线段AB的垂直平分线MN. 解:作法如下:如图, (1)分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径画弧, 两弧相交于M、N两点; (2)作直线MN.直线MN就是所求作的垂直平分线. 5.过一点作已知直线的垂线. (1)已知:直线l与直线外一点A. 求作:直线AB,使AB⊥l于B. 解:作法:如图:①在直线l上任取两点M、N; ②分别以点M、N为圆心,MA,NA长为半径画弧,两弧相交 于点Q ③连接AQ,交直线l于B.则直线AB就是所求作的直线. (2)已知:直线l与直线l上一点A. 求作:直线AB,使AB⊥l于A. (2)解:作法:如图:①以A为圆心, 适当长为半径画弧,交l于M、N两点; ②分别以M、N为为圆心,以大于 MN长为半径画弧, 两弧分别相交于P、B两点; ③连接AB,则直线AB就是所要求作的. 二、作角平分线及综合 6.如图,在直线a上找出点P,使得点P到OA和OB的距离 相等. 作法:作∠AOB的平分线,交直线a于点P,则点P就是所要求作的点. 7.如图,在 ABC中,∠B=50 ,∠C=60 . (1)用尺规作出∠BAC的平分线交BC于点D. (2)求∠ADC的度数. 解:(1)如图 (2)∵∠BAC=180 -∠B-∠C =180 -50 -60 =70 ∴∠DAC= ∠BAC= 70 =35 ∴∠ADC=180 -∠DAC-∠C =180 -35 -60 =85 . 8.已知 ABC,AB=AC,∠A=36 . (1)用尺规作∠ABC的平分线交AC于点D. (2)证明 BCD是等腰三角形. (1)解:如图所示,BD即为所求; (2)证明: ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C. ∵∠A=36 , ∴∠ABC=∠ACB=(180 -36 ) 2=72 , ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC=36 , ∴∠BDC=36 +36 =72 =∠C. ∴BD=BC, ∴ DBC是等腰三角形. 三、作垂直平分线及综合 9.如图,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N是 位于公路AB两侧的村庄,当汽车行驶到哪个位置时,与 村庄M,N的距离相等?请画图说明. 解:(1)连接MN; (2)作线段MN的垂直平分线l, 交直线AB于C点, 则C点即为所求. 10.如图,A,B,C三点表示三个村庄,为了解决村民子女 就近入学的问题,计划新建一所小学,要使学校到三个村 庄距离相等,请你在图中确定学校的位置. 解:如图,作出AB和BC的中垂线,相交于点P, 则点P是所求的到三村距离相等的点 11.如图,在 ABC中,AB=AC,∠BAC=120 . (1)用尺规作出AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F. (2)若BF=3,求CF的长度. 解:(1)如图所示: (2)连接AF. ∵AB=AC,∠BAC=120 ∴∠B=∠C= (180 -120 )=30 又由(1)知BF=AF ∴∠FAB=∠B=30 ∴∠FAC=120 -30 =90 ∴CF=2AF=2BF=2 3=6 12. 如图,已知甲村和乙村靠近公路a,b,为了发展经济, 甲、乙两村准备合建一个工厂,经协商,工厂必须满足 以下要求: (1)到两村的距离相等; (2)到两条公路的距离相等.你能帮忙确定工厂的位置吗? 解:设a、b相交于点O.甲村为点E,乙村为点D. ①以O为圆心,以任意长为半径画弧,分别交于直线a、b于 点A、B; ②分别以A、B为圆心,大于 AB长为半径画弧,两弧交于 点C,连接OC; ③连接ED,分别以E、D为圆心,以大于 ED长为半径 画弧,两弧交于F、G两点,连接FG; ④FG与OC相交于点H, 则H即为工厂位置. 四、网格作图 13.如图,在平面直角坐标系中, ABC的顶点A(0,1), B(3,2),C(1,4)均在正方形网格的格点上. (1)画出 ABC关于x轴的对称图形 A1B1C1; (2)将 A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位长度后得到 A2B2C2,写出顶点 A2,B2,C2的坐标. 解:(1)如图所示: A1B1C1即为所求; (2)如图所示: A2B2C2即为所求, 点A2(-3,-1),B2(0,-2),C2(-2,-4). 14.在3 3的正方形网格图中,有格点三角形ABC和格点三角 形DEF,且 ABC和 DEF关于某直线成轴对称(A,B,C 的对称点依次分别是D,E,F),请在图中画出三个这样的 DEF. 解:如图 15.如图,在平面直角坐标系中, ABC的三个顶点分别为 A(2,3),B(3,1),C(-2,-2). (1)请在图中作出 ABC关于y轴的轴对称图形 A′B′C′(A,B,C 的对称点分别是A′,B′,C′),并直接写出A′,B′,C′的坐标. (2)求 A′B′C′的面积. 解:(1)如图所示,点A′(-2,3), B′(-3,1),C′(2,-2); (2)用大正方形面积减去三个直角三角形面积, S A′B′C′=25- =6.5. 16.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,四边形 ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上,点E在BC边上, 且点E在小正方形的顶点上,连接AE. (1)在图中画出 AEF,使 AEF与 AEB关于直线AE对称,点F 与点B是对称点; (2)请直接写出 AEF与四边形ABCD的重叠部分的面积. 解:(1) AEF如图所示: (2)重叠部分的面积= 4 4- 2 2 =8-2 =6. 五、最短路径问题 17.如图,小红要从一间房的A点出发到河岸打水后再送到 另一间房的B点,请通过作图替小红找出最短的路径. 画出小红走的路线. 解:作点A关于河岸的对称点A′, 连接A′B,交河岸于点O,则点O 就是小红取水点,此时小红走的 路线A O B就是最短路线. 18.如图,E,F分别是 ABC的边AB,AC上的两定点, 在BC上求一点M,使 MEF的周长最短. 解:作点E关于BC的对称点E′, 连接E′F,交BC于点M, 则M就是所求的点. 谢谢! 人教版八年级上册数学期末 专题七 辅助线作法 一、构造全等 1.如图,已知AB=AD,CB=CD.求证:∠ADC=∠ABC. 证明:连接AC. 在 ADC和 ABC中 ∴ ADC≌ ABC. ∴∠ADC=∠ABC. 2.如图,AC、BD相交于点O,AC=BD,AB=CD. 求证:∠A=∠D. 证明:连接BC. 在 ABC和 DCB中, ∴ ABC≌ DCB. ∴∠A=∠D. 3.如图,点D在AB上,点E在AC上,BE与CD相交于O点, AB=AC,BO=CO.求证:∠B=∠C. 证明:连接AO. 在 AOB和 AOC中, ∴ AOB≌ AOC. ∴∠B=∠C. 4.如图,已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,F为CD的 中点.求证:AF⊥CD. 证明:连接AC,AD. 在 ABC和 AED中, ∴ ABC≌ AED. ∴AC=AD. 又∵F为CD中点, ∴AF⊥CD. 5.如图,已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC= 90 ,BF平分∠ABC,CD⊥BD交BF的延长线于点D.试 说明:BF=2CD. 证明:延长BA,CD交于E ∵CD⊥BD, ∴∠BDE=∠BDC=90 又∵BF平分∠ABC,BD=BD ∴ BDC≌ BDE, ∴BC=BE,DC=DE ∵∠BAC=∠BDC=90 ,∠AFB=∠DFC ∴∠ABF=∠DCF 又∵AB=AC ∴∠BAF=∠CAE, ∴ ABF≌ ACE ∴BF=CE=2CD 二、倍长中线构造全等 6.如图,AD为 ABC的中线,延长AD至E,使DE=AD, 连CE.求证:AB=CE,且AB∥CE. 证明:∵AD为 ABC的中线, ∴BD=CD. 在 ABD和 ECD中, ∴ ABD≌ ECD ∴AB=EC,∠BAD=∠E. ∴AB∥CE. 7.如图, ABC中,D为BC的中点. (1)求证:AB+AC>2AD; (2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围. (1)证明:延长AD至E,使DE=AD,连接BE. ∵D为BC的中点,∴DB=CD. 在 ADC和 EDB中, ∴ ADC≌ EDB(SAS), ∴BE=AC, 在 ABE中,∵AB+BE>AE, ∴AB+AC>2AD; (2)解:∵AB=5,AC=3, ∴5-3<2AD<5+3, ∴1<AD<4. 8.如图,在 ABC中,点O为BC的中点,点M为AB上一点, ON⊥OM,交AC于N.求证:BM+CN>MN. 证明:延长NO至P,使OP=NO,连结MP、BP, ∵点O为BC的中点, ∴BO=CO. 在 BOP与 CON中, ∴ BOP≌ CON(SAS), ∴PB=CN, ∵MO⊥PN,OP=ON, ∴MN=MP(线段中垂线定理), ∵BM+BP>MP, ∴BM+CN>MN. 三、截长法构造全等 9.如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在 AD上.求证:BC=AB+CD. 证明:在BC上取点F,使BF=BA,连接EF. ∵BE、CE分別是∠ABC和∠BCD的平分线, ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 在 ABE和 FBE中, ∴ ABE≌ FBE(SAS), ∴∠A=∠5. ∵AB∥CD, ∴∠A+∠D=180 ,∴∠5+∠D=180 . ∵∠5+∠6=180 ,∴∠6=∠D. 在 CDE和 CFE中, ∴ CDE≌ CFE(AAS) ∴CF=CD. ∵BC=BF+CF, ∴BC=AB+CD. 10.如图,在 ABC中,∠ABC=60 ,AD、CE分别平分 ∠BAC、∠ACB,AD、CE相交于点O. (1)求∠AOC的度数; (2)求证:OE=OD. (1)解:∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB, ∴∠1=∠2= ∠BAC,∠3=∠4= ∠ACB. ∴∠2+∠3= (∠BAC+∠ACB) 又∵∠ABC=60 ∴∠BAC+∠ACB=180 -∠ABC=180 -60 =120 ∴∠2+∠3= 120 =60 ∴∠AOC=180 -(∠2+∠3)=180 -60 =120 (2)证明:如图,在AC上截取AF=AE,连接OF. ∵AE=AF ,∠1=∠2 ,AO=AO ∴ AEO≌ AFO ∴OE=OF,∠AOE=∠AOF ∵∠AOC=120 ,∴∠AOE=60 , ∴∠AOF=∠COD=60 =∠COF, 在 COF和 COD中, ∴ COF≌ COD(ASA) ∴OF=OD.∴OE=OD. 四、构造30 的直角三角形 11.如图, ABC中,AB=AC,∠BAC=120 ,AC的垂直 平分线交BC于D,交AC于E,DE=2,求BC的长. 解:连接AD,如图所示: ∵AB=AC,∠BAC=120 , ∴∠B=∠C=30 , ∵AC的垂直平分线交BC于D, ∴DA=DC,∠DEC=90 , ∴CD=2DE=4,∴AD=4, ∵∠BAD=120 -30 =90 , ∴BD=2AD=8, ∴BC=BD+CD=8+4=12. 12.如图, ABC中,AB=AC,∠BAC=120 ,D为BC的 中点,DE⊥AC于E,AE=2,求CE的长. 解:连接AD. ∵AB=AC,∠BAC=120 , D为BC的中点, ∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠B=∠C=30 ∴∠DAC= ∠BAC=60 , ∵DE⊥AC于E, ∴∠AED=90 , ∴∠ADE=30 , 在Rt ADE中,AE=2,∠ADE=30 , ∴AD=2AE=4, 在Rt ADC中, AD=4,∠C=30 , ∴AC=2AD=8, 则CE=AC-AE=8-2=6. 13.已知,四边形ABCD中,∠B=90 ,∠A=30 , ∠ADC=120 ,AD=3,BC=1,求CD的长. 解:延长AD、BC交于点E, ∵∠A=30 ,∠B=90 ∴∠AEB=60 ∵∠ADC=120 ,A、D、E在一条直线上 ∴∠CDE=60 , ∴三角形CDE为等边三角形 ∴CD=DE=CE,设CD=x, 在Rt ABE中,BE=BC+CE=1+x= , 即2+2x=3+x,解得x=1, ∴CD=1. 14.如图, ABC中,BD是AC边上的中线,BD⊥BC于点B, ∠ABD=30 .求证:AB=2BC. 证明:延长BD到E,使得DE=BD,连接AE ∵D是AC的中点 ∴AD=CD 又∵∠ADE=∠CDB,DE=BD ∴ ADE≌ CDB ,∴AE=BC,∠E=∠EBC ∵BD⊥BC ∴∠EBC=90 ∴∠E=90 在Rt AEB中,∠ABE=30 ∴AB=2AE=2BC 15.如图,点P是 ABC的边BC上一点,PC=2PB,∠ABC =45 ,∠APC=60 ,求∠ACB的度数. 解:过C作CD⊥AP,垂足为D连接BD. ∵∠APC=60 , ∴PC=2PD 又∵PC=2PB ∴PB=PD ∴∠BDP=∠PBD=30 又∵∠PCD=30 =∠PBD ∴BD=CD ∵∠ABD=∠ABP-DBP=15 ∠BAP=∠APC-∠ABP=15 ∴AD=BD ∴AD=CD ∴∠ACD=45 ∴∠ACB=45 +30 =75 五、利用“三线合一”作辅助线 16.如图, ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E、F分别是 AB、AC上的点,且AE=AF.求证:DE=DF. 证明:∵AB=AC,AE=AF, ∴∠B=∠C,BE=CF, ∵点D是BC的中点, ∴BD=CD, 在 BED与 CFD中, ∴ BED≌ CFD(SAS). ∴DE=DF. 17.如图, ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过A点的直 线EF∥BC,且AE=AF.求证:DE=DF. 证明:连接AD. ∵AB=AC,BD=CD. ∴AD垂直BC.(等腰三角形底边的 中线也是底边的高) 又∵EF∥BC,∴AD垂直EF. 又∵AE=AF, ∴DE=DF.(线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等) 18.如图, ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、 AC上,且BD=CF,BE=CD,G是EF的中点. 求证:DG⊥EF. 证明:连接DE、DF. ∵AB=AC,∴∠B=∠C, 在 EBD和 DCF中, ∴ EBD≌ DCF. ∴DE=DF. 又∵G是EF的中点,∴DG⊥EF. 19.已知等边 ABC,D是AC的中点,点E在BC的延长线上, 且CE=CD.DM⊥BC于M. 求证:BM=EM. 证明:连接BD. ∵ ABC是等边三角形,且D是AC的中点. ∴∠DBC= ∠ABC= 60 =30 ,∠ACB=60 , ∵CE=CD,∴∠CDE=∠E, ∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E=30 , ∴∠DBC=∠E=30 , ∴BD=ED, BDE为等腰三角形, 又∵DM⊥BC, ∴M是BE的中点.∴BM=EM 20.已知 ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC,D为BC的中点. (1)如图①,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,试判断 DEF的形状,并说明理由. (2)如图②,若E,F分别为AB,CA的延长线上的点,且仍有 BE=AF.请判断 DEF是否仍有(1)中的形状,并说明理由. 解:(1) DEF为等腰直角三角形, 证明如下:连接AD. ∵∠BAC=90 ,D为BC的中点,AB=AC ∴AD⊥BC,BD=AD. ∴∠B=∠DAC=45 又BE=AF ∴ BDE≌ ADF(SAS) ∴ED=FD,∠BDE=∠ADF ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90 ∴ DEF为等腰直角三角形. (2) DEF仍为等腰直角三角形. 证明如下:连接AD. ∵AB=AC,∠BAC=90 ,D为BC的中点, ∴AD=BD,AD⊥BC. ∴∠DAC=∠ABD=45 . ∴∠DAF=∠DBE=135 . 又AF=BE, ∴ DAF≌ DBE(SAS). ∴FD=ED,∠FDA=∠EDB. ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90 . ∴ DEF仍为等腰直角三角形. 六、构造等腰三角形 21.如图, ABC中,∠BAC=120 ,AD⊥BC于D,且AB +BD=DC,求∠C的度数.(用两种方法) 解:方法一:在DC上截取DE=BD,连接AE,如图所示. ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90 , 在 ABD和 AED中, ∴ ABD≌ AED(SAS), ∴AB=AE,∴∠B=∠AEB, 又AB+BD=CD,DE=BD, ∴AB+DE=CD,而CD=DE+EC, ∴AB=EC,∴AE=EC,∴∠EAC=∠C. ∴设∠EAC=∠C=x, ∵∠AEB为 AEC的外角, ∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x, ∴∠B=2x,∠BAE=180 -2x-2x=180 -4x, ∵∠BAC=120 , ∴∠BAE+∠EAC=120 ,即180-4x+x=120 , 解得:x=20 ,即∠C=20 . 方法二:延长DB至F,使BF=BA,连接AF ∵AB+BD=DC ∴DF=DC 在 ADF和 ADC中, ∴ ADF≌ ADC,∠C=∠F 又∵AB=BF ∴∠F=∠FAB=∠C ∠BAC+∠FAB+∠F+∠C=180 又∵∠BAC=120 ∴∠FAB+∠F+∠C=60 ,即3∠C=60 .∴∠C=20 . 22.如图, ABC中,∠C=2∠A,BD平分∠ABC交AC于D. 求证:AB=CD+BC.(用两种方法) 证明:方法一:在AB上取BE=BC ∵BD平分∠ABC,交AC于D, ∴∠CBD=∠EBD, ∵在 CBD和 EBD中, ∴ CBD≌ EBD(SAS), ∴CD=ED,∠C=∠BED, ∵∠C=2∠A, ∴∠BED=2∠A, ∵∠BED=∠A+∠ADE, ∴∠A=∠ADE, ∴AE=DE,∴AE=CD, ∵AB=BE+AE, ∴AB=CD+BC; 方法二:延长BC至F,使CF=CD,则∠F=∠CDF, ∵∠ACB=∠F+∠CDF,∴∠ACB=2∠F, ∵∠ACB=2∠A,∴∠A=∠F, 在 ABD和 FBD中, ∴ ABD≌ FBD(AAS),∴AB=BF, ∵BF=BC+CF, ∴BF=BC+CD,∴AB=BC+CD. 23.如图, ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延 长线上,且BD=CE,DE交BC于点F.求证:DF=EF. 证明:作EG∥AB,交BC延长线于G. 则∠B=∠G ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB ∵∠ACB=∠GCE ∴∠GCE=∠G,∴CE=EG ∵BD=CE,∴BD=EG 又∵∠B=∠G,∠DFB=∠EFG ∴ BDF≌ GEF(AAS),∴DF=EF 七、构造等边三角形 24.(1)已知: ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段 AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A =60 (如图①).求证:EB=AD; (2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的 延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成 立,并说明理由. (1)证明:作DF∥BC交AC于F,如图1所示: 则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE, ∵ ABC是等腰三角形,∠A=60 , ∴ ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60 , ∴∠DBE=120 , ∠ADF=∠AFD=60 =∠A, ∴ ADF是等边三角形,∠DFC=120 , ∴AD=DF, ∵∠DEC=∠DCE, ∴∠FDC=∠DEC,ED=CD, 在 DBE和 CFD中, ∴ DBE≌ CFD(AAS), ∴EB=DF, ∴EB=AD. (2)EB=AD成立.理由如下: 作DF∥BC交AC的延长线于F,如图2所示: 同(1)得:AD=DF,∠FDC=∠ECD, ∠FDC=∠DEC,ED=CD, 又∵∠DBE=∠DFC=60 , ∴在 DBE和 CFD中, ∴ DBE≌ CFD(AAS), ∴EB=DF, ∴EB=AD. 25. ABC为等边三角形,D为射线BC上一点,∠ADE=60 , DE与∠ACB的外角平分线交于点E. (1)如图1,点D在BC上,求证:CA=CD+CE; (2)如图2,若D在BC的延长线上,直接写出CA、CD、CE之 间的数量关系. (1)证明:在AC上截取CM=CD, ∵ ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60 , ∴ CDM是等边三角形, ∴MD=CD=CM, ∠CMD=∠CDM=60 , ∴∠AMD=120 , ∵∠ADE=60 , ∴∠ADE=∠MDC, ∴∠ADM=∠EDC, ∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E, ∴∠ACE=60 ,∴∠DCE=120 =∠AMD, 在 ADM和 EDC中, ∴ ADM≌ EDC(ASA), ∴AM=EC, ∴CA=CM+AM=CD+CE. (2)解:CA=CE-CD. 证明如下:在AC的延长线上截取CM=CD, ∵ ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60 , ∴∠DCM=60 , ∴ CDM是等边三角形, ∴MD=CD=CM, ∠CMD=∠CDM=60 , ∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E, ∴∠ACE=∠DCE=60 , ∴∠ECD=∠AMD, ∵∠ADE=60 , ∴∠ADE=∠CDM, ∴∠ADM=∠EDC. 在 ADM和 EDC中, ∴ ADM≌ EDC ∴CE=AM=AC+CM=AC+CD ∴CA=CE-CD 谢谢! 人教版八年级上册数学期末 专题八 动点问题 1. 如图,已知 ABC中,AB=AC=10 cm,∠B=∠C,BC= 8 cm,D为AB的中点,点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点 向C点运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速 度运动,设运动的时间为t s. (1)求CP的长(用含t的式子表示); (2)若以C,P,Q为顶点的三角形和以B,D,P 为顶点的三角形全等,且∠B和∠C是对应角, 求a的值. 解:(1)∵BP=3t,BC=8, ∴CP=8-3t; (2)①BD=CP时,∵AB=10,D为AB的中点, ∴5=8-3t,解得t=1, ∵ BDP≌ CPQ, ∴BP=CQ,即3 1=a,解得a=3; ②BP=CP时,3t=8-3t,解得t= , ∵ BDP≌ CQP, ∴BD=CQ,即5=a , 解得a= , 综上所述,a的值为3或 . 2.如图,在 ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M, N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的 速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达A点时, M,N同时停止运动. (1)点M,N运动几秒后,M,N两点重合? (2)点M,N运动几秒后,可得到等边三角形AMN? (3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以 MN为底边的等腰三角形AMN?如果能, 请求出此时M,N运动的时间. 解:(1)设点M、N运动t秒后,M、N两点重合,则2t-t=12, ∴t=12, 即点M、N运动12秒后,M、N两点重合. (2)点M、N运动x秒后,可得到等边三角形AMN, 则x=12-2x,∴x=4, 即点M、N运动4秒后,可得到等边三角形AMN. (3)当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的 等腰三角形, 设此时M、N运动的时间为m秒, ∵ AMN是等腰三角形 ∴∠1=∠2 , ∴∠3=180 -∠1=180 -∠2=∠4 ∵ ABC是等边三角形 ∴∠C=∠B,AC=AB , ∴ AMC≌ ANB ∴CM=BN 即m-12=12 3-2m. ∴m=16, 即M、N运动的时间为16秒时,得到以MN为底边的等腰 AMN. 3. 如图①,等边三角形ABC中,D是AB边上的动点,以CD为 一边,向上作等边三角形EDC,连接AE. (1) DBC和 EAC全等吗?请说明你的理由; (2)试说明AE∥BC; (3)如图②,当点D运动到边BA的延长线上时,仍向上作等边 三角形EDC,请问是否仍有AE∥BC?证明你的猜想. (1)解: DBC和 EAC全等.理由如下: ∵∠ACB=60 ,∠DCE=60 , ∴∠BCD=60 -∠ACD,∠ACE=60 -∠ACD, ∴∠BCD=∠ACE. 在 DBC和 EAC中, ∴ DBC≌ EAC. (2)证明: ∵ DBC≌ EAC, ∴∠EAC=∠B=60 , 又∠ACB=60 , ∴∠EAC=∠ACB, ∴AE∥BC. (3)解:结论: AE∥BC.理由如下: ∵ ABC、 EDC都为等边三角形, ∴BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60 , ∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE. 在 DBC和 EAC中, ∴ DBC≌ EAC, ∴∠EAC=∠B=60 , 又∵∠ACB=60 , ∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC. 4.佳佳在学习三角形知识时,发现如下三个有趣的结论: 在Rt ABC中,∠A=90 ,BD平分∠ABC,M为直线AC上 一点,ME⊥BC,垂足为E,∠AME的平分线交直线AB于点F. (1)如图①所示,若M为边AC上一点,则BD,MF的位置关系是 _.请证明你的结论. (2)如图②所示,若M为边AC反向延长线上一点,则BD,MF的 位置关系是_.请证明你的结论. (3)如图③所示,若M为边AC延长线上一点,猜想BD,MF的 位置关系是_.请证明你的结论. 解:(1)BD∥MF. 理由如下:∵∠A=90 ,ME⊥BC, ∴∠ABC+∠AME=360 -90 2=180 , ∵BD平分∠ABC,MF平分∠AME, ∴∠ABD= ∠ABC,∠AMF= ∠AME, ∴∠ABD+∠AMF= (∠ABC+∠AME)=90 , 又∵∠AFM+∠AMF=90 , ∴∠ABD=∠AFM, ∴BD∥MF. (2)BD⊥MF. 理由如下:∵∠BAC=90 ,ME⊥BC, ∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90 , ∴∠ABC=∠AME, ∵BD平分∠ABC,MF平分∠AME, ∴∠ABD=∠AMF, ∵∠ABD+∠ADB=90 , ∴∠AMF+∠ADB=90 , ∴BD⊥MF. (3)BD⊥MF. 理由如下:∵∠BAC=90 ,ME⊥BC, ∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90 , ∴∠ABC=∠AME, ∵BD平分∠ABC,MF平分∠AME, ∴∠ABD=∠AMF, ∵∠AMF+∠F=90 , ∴∠ABD+∠F=90 , ∴BD⊥MF. 谢谢! 人教版八年级上册数学期末 专题九 规律探究 1. 如图,在 ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点 N,交BC的延长线于点M,若∠A=40 . (1)求∠NMB的度数; (2)如果将(1)中∠A的度数改为70 ,其余条件不变,再求 ∠NMB的度数; (3)你发现∠A与∠NMB有什么关系? 试证明你的结论. 解:(1)∵在 ABC中,AB=AC,∠A=40 , ∴∠ABC=∠ACB=70 , ∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M, ∴MN⊥AB, ∴∠NMB=90 -∠ABC=20 ; (2)∵在 ABC中,AB=AC,∠A=70 , ∴∠ABC=∠ACB=55 , ∵MN⊥AB, ∴∠NMB=90 -∠ABC=35 ; (3)∠NMB= ∠A. 理由:∵在 ABC中,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB= , ∵MN⊥AB, ∴∠NMB=90 -∠ABC= ∠A. 2.(1)如图1,图2,试研究其中∠1,∠2与∠3,∠4之间的数 量关系; (2)请你用文字语言描述(1)中的关系; (3)用你的发现解决问题: 如图3,AE,DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD, ∠MDA的平分线,∠B+∠C=240 ,求∠E的度数. 解:(1)∵∠3,∠4,∠5,∠6是四边形的四个内角, ∴∠3+∠4+∠5+∠6=360 , ∴∠3+∠4=360 -(∠5+∠6). ∵∠1+∠5=180 ,∠3+∠6=180 , ∴∠1+∠2=360 -(∠5+∠6), ∴∠1+∠2=∠3+∠4. (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角 的和. (3)∵∠B+∠C=240 , ∴∠MDA+∠NAD=240 . ∵AE,DE分别是∠NAD,∠MDA的平分线, ∴∠ADE= ∠MDA,∠DAE= ∠NAD, ∴∠ADE+∠DAE = (∠MDA+∠NAD) = 240 =120 , ∴∠F=180 -(∠ADE+∠DAE)=180 -120 =60 . 3. 在 ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D. (1)如图①,过点D作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F. 求证:BE+CF=EF; (2)如图②,过点D作DE∥AB,交BC于点E,DF∥AC,交BC于 点F.若BC=10,求 DEF的周长; (3) 若将已知条件中的“∠ACB的平分线”改为“∠ACB的外 角平分线”,其他条件同(1),如图③,请你写出BE,CF, EF之间的关系(不需证明). (1)证明:∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∴∠EBD=∠DBC,∠FCD=∠DCB, ∵EF∥BC, ∴∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB, ∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD, ∴BE=DE, CF=DF, ∴ BED和 CFD是等腰三角形 ∴EF=BE+CF. (2)解:∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBE, ∵DE∥AB, ∴∠ABD=∠BDE, ∴∠DBE=∠BDE, ∴BE=DE,同理CF=DF, ∴BC=BE+EF+FC=DE+EF+DF=10, 即 DEF的周长为10. (3)解:EF=BE-CF.理由如下: ∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACG, ∴∠EBD=∠DBC,∠FCD=∠DCG, ∵EF∥BC, ∴∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCG, ∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD, ∴BE=DE,CF=DF, ∴EF=DE-DF=BE-CF. 4.(1)如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D =90 ,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF = ∠BAD.求证:EF=BE+FD; (2)如 图②. 将(1)中的条件“∠B=∠D=90 ”改为“ ∠B+∠D=180 ”, 其他条件都不变,(1)中的结论 是否仍然成立? (不必给出证明过程) (3)如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC =180 ,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,且 ∠EAF= ∠BAD,请直接写出EF,BE,FD三者之 间的数量关系. (1)证明:延长EB到G,使BG=DF,连接AG. ∵∠ABG=∠D=90 ,AB=AD,BG=DF, ∴ ABG≌ ADF,∴AG=AF,∠1=∠2, ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD, ∴∠GAE=∠EAF. 又AE=AE, ∴ AEG≌ AEF,∴EG=EF. ∵EG=BE+BG, ∴FF=BE+FD. (2)解:(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 证明:延长EB到G,使BG=DF,连接AG. ∵∠ABE+∠ADF=180 ,∠ABE+∠ABG=180 , ∴∠ADF=∠ABG. ∵AB=AD,∠ABG=∠ADF,BG=DF, ∴ ABG≌ ADF, ∴AG=AF,∠1=∠2, ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD, ∴∠GAE=∠EAF. 又AE=AE, ∴ AEG≌ AEF, ∴EG=EF. ∵EG=BE+BG, ∴EF=BE+FD. (3)解:EF=BE-FD.证明如下: 在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG. ∵∠B+∠ADC=180 ,∠ADF+∠ADC=180 , ∴∠B=∠ADF. ∵AB=AD, ∴ ABG≌ ADF, ∴∠BAG=∠DAF,AG=AF, ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD, ∴∠GAE=∠EAF. ∵AE=AE, ∴ AEG≌ AEF, ∴EG=EF. ∵EG=BE-BG, ∴EF=BE-FD. 谢谢! $$