精品解析：吉林省长春市长春力旺实验中学2023-2024学年七年级下学期第一次教学诊断数学试题

长春力旺实验中学 2023-2024学年度下学期七年级数学学科第一次教学诊断 考试时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式的变形正确的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 3. 下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A. B. C. D. 4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的方程的解为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 11 D. 6. 解方程，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程组，则的值为（ ） A. B. C. 10 D. 2 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 如果，那么____________（用“>”或“<”填空）． 10. 用不等式表示“与的差是非正数”为____________． 11. 用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形得______. 12. 已知，，，为有理数，现规定一种新的运算：，那么当时，____________． 13. 已知是关于的不等式的解集，那么的值为____________． 14. 如图是由六个不同的正方形组成的大长方形，已知中间最小的一个正方形A的边长为1，那么大长方形中的正方形C的面积是____________． 三、解答题（15、16、17题每题6分，18、19、20每题7分，21题8分，22题9分，23题10分，24题12分，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 解方程组： （1）； （2） 17. 解不等式，并求出满足它的最大整数解． 18. 已知关于的方程是一元一次方程． （1）求的值； （2）若此方程的解与方程的解互为倒数，求的值． 19. 下面是小亮同学解一次不等式的过程； 解：去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，得 第三步 合并同类项，得 第四步 系数化为1，得 第五步 （1）解不等式的过程中开始出现错误的步骤是第____________步； （2）请写出该不等式正确的解题过程，并在数轴上表示解集． 20. 为让学生们感受书香文化，学校组织学生们去省图书馆阅读，计划将学生分若干小组管理，每个小组由一位教师带领．若每位教师带19名学生，则剩余26名学生；若每位教师带20名学生，则最后一位教师只需带5名学生．求此次带队的教师人数．（列方程或方程组求解） 21. 已知与都是关于的方程的解 （1）求的值； （2）若也是方程的解，求的值． 22. 某校为开设智能机器人编程的校本课程，购买了两种型号的机器人模型．已知型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元． （1）求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若学校需购进两种机器人共40台，总费用不超过18000元，那么至多可以购进型机器人多少台？（列不等式解决问题） 23. 如图，数轴上点A表示的数为6，点A在点B的右边，且A与B的距离是10，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）点B表示的数是 ； （2）点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；点Q表示的数是 （用含t的代数式表示）； （3）若点P与点Q相距6个单位长度，则t的值为 ； （4）若，则t的值为 ； 24. 对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若关于的方程组的解也满足方程，求的值； （4）若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春力旺实验中学 2023-2024学年度下学期七年级数学学科第一次教学诊断 考试时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：A、中有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、，未知数的最高次是2次，不是一元一次方程，不符合题意； C、，是一元一次方程，故本选项符合题意； D、中有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列等式的变形正确的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质．等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、由得，原说法错误，本选项不符合题意； B、由得，原说法错误，本选项不符合题意； C、由得，原说法错误，本选项不符合题意； D、由得，正确，本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，故此选项错误； B、符合二元一次方程组的定义，故此选项正确； C、含有三个未知数，故此选项错误； D、未知数的次数是2，故此选项错误； 故选：B． 4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解集表示．正确求解不等式是解题关键． 先求解不等式，再根据解集即可求解，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由得： 解得：， 数轴表示如下： 故选：C． 5. 已知关于的方程的解为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 11 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程．将代入得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， 故选：D． 6. 解方程，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，直接把方程两边同时乘以4即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以4得：， 故选：C． 7. 在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵， 由题意可得：， 故选：D． 8. 已知关于的方程组，则的值为（ ） A. B. C. 10 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组.两式相加即可求解. 【详解】解:， ，得， 故选：D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 如果，那么____________（用“>”或“<”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式性质，不等式两边同时乘以，不等号方向改变进行求解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 10. 用不等式表示“与的差是非正数”为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，掌握差和非整数的意义是解答本题的关键． 根据差和非正数的概念即可解答． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 11. 用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形得______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 已知，，，为有理数，现规定一种新的运算：，那么当时，____________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程．已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到的值． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为：． 13. 已知是关于的不等式的解集，那么的值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查不等式解集和解不等式，熟练掌握求解不等式是解题的关键． 先把m看做常数，求出不等式的解集，再根据不等式解集为，建立关于m的方程，求解即可． 【详解】解： 解得， ∵是关于x的不等式的解集， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 如图是由六个不同的正方形组成的大长方形，已知中间最小的一个正方形A的边长为1，那么大长方形中的正方形C的面积是____________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设正方形C的边长是x，则其余正方形的边长为：，根据长方形的对边相等得到方程，求出x的值，再根据面积公式即可求出答案． 【详解】解：设正方形C的边长是x， 则正方形E的边长为，正方形F的边长为，正方形B的长为， 根据题意得：， 解得， ∴正方形C的面积是． 故答案为：16． 三、解答题（15、16、17题每题6分，18、19、20每题7分，21题8分，22题9分，23题10分，24题12分，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）按照解一元一次方程的一般步骤解答即可； （）按照解一元一次方程的一般步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 16. 解方程组： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的求解，掌握其基础解法是解题的关键． （1）利用加减消元法即可求得方程组的解； （2）利用代入消元法即可求得方程组的解． 【小问1详解】 解：， 由得：，解得， 将代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 由②得：． 将③代入①，得， 解得：， 将代入③，得． ∴原方程组的解为． 17. 解不等式，并求出满足它的最大整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解不等式应根据不等式的基本性质． 首先解不等式，然后确定不等式的解集中的最大整数解即可． 【详解】解： 去括号得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 满足它的最大整数解是． 18. 已知关于的方程是一元一次方程． （1）求的值； （2）若此方程的解与方程的解互为倒数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，倒数的性质． （1）根据一元一次方程的定义， 得出，且，即可求解； （2）求出的解为，则已知方程的解为，将代入即可求出n的值． 【小问1详解】 解：因为是一元一次方程． 所以，且， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）知． 所以已知方程为 解方程， 得． 因为已知方程与方程的解互为倒数， 所以方程为的解为． 代入得， 解得． 19. 下面是小亮同学解一次不等式的过程； 解：去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，得 第三步 合并同类项，得 第四步 系数化为1，得 第五步 （1）解不等式的过程中开始出现错误的步骤是第____________步； （2）请写出该不等式正确的解题过程，并在数轴上表示解集． 【答案】（1）三 （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 在数轴上表示解集为． 【解析】 【分析】本题考查了解不等式和不等式的性质，解题关键是熟练运用不等式性质解不等式． （1）根据解不等式的步骤写出依据，再判断出错步骤； （2）解不等式并表示解集即可． 【小问1详解】 解：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有变号． 故答案为：三； 【小问2详解】 解：略． 20. 为让学生们感受书香文化，学校组织学生们去省图书馆阅读，计划将学生分若干小组管理，每个小组由一位教师带领．若每位教师带19名学生，则剩余26名学生；若每位教师带20名学生，则最后一位教师只需带5名学生．求此次带队的教师人数．（列方程或方程组求解） 【答案】此次带队的教师人数为人． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设此次带队的教师人数为人，学生有人，根据若每位教师带19名学生，则剩余26名学生；若每位教师带20名学生，则最后一位教师只需带5名学生．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设此次带队的教师人数为人，学生有人， 由题意得：， 解得：， 答：此次带队的教师人数为人． 21. 已知与都是关于的方程的解 （1）求的值； （2）若也是方程的解，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查方程解得定义，涉及解二元一次方程组，解一元一次方程等知识，熟练掌握方程组及方程的解法是解决问题的关键． （1）根据方程的解的定义，将与代入，解二元一次方程组即可得到答案； （2）由（1）中得到的，结合方程同解的定义，代入求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：与都是方程的解， 将与代入 得到， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的解为， ， 也是方程的解， ∴， 解得． 22. 某校为开设智能机器人编程的校本课程，购买了两种型号的机器人模型．已知型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元． （1）求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若学校需购进两种机器人共40台，总费用不超过18000元，那么至多可以购进型机器人多少台？（列不等式解决问题） 【答案】（1）A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元； （2）至多可以购进型机器人台． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元，根据A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元列出方程组求解即可； （2）设购进A型机器人模型台，则购进B型机器人模型台．根据总费用不超过18000元，构建一元一次不等式，然后求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元． 由题意得，， 解得：， 答：A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元； 【小问2详解】 解：设购进A型机器人模型台，则购进B型机器人模型台． 依题意得， 解得， 答：至多可以购进型机器人台． 23. 如图，数轴上点A表示的数为6，点A在点B的右边，且A与B的距离是10，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）点B表示的数是 ； （2）点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；点Q表示的数是 （用含t的代数式表示）； （3）若点P与点Q相距6个单位长度，则t的值为 ； （4）若，则t的值为 ； 【答案】（1） （2）， （3）或 （4）或6 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，数轴动点问题，绝对值的意义，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）由的长结合点A所在的位置可得出点B表示的数； （2）由点P，Q的出发点、速度及运动时间，可用含t的代数式表示出点P，Q表示的数； （3）由点与点相距6个单位长度，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）由点，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：，且点在点的右边， 点B表示的数为； 【小问2详解】 解：动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 表示的数为，点表示的数为； 【小问3详解】 解：依题意，得：， 即或， 解得：或， 答：若点与点相距6个单位长度，则的值为或； 【小问4详解】 解：根据题意得，， ∵ ∴ 解得或． 答：若，则的值为6或． 24. 对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若关于的方程组的解也满足方程，求的值； （4）若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得； 【小问3详解】 解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； 【小问4详解】 解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴，即， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $