专题13.15 等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题13.15 等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型归纳与题型目录】 模型1:角平分线+平行线→等腰三角形 模型2:角平分线+垂线→等腰三角形 模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形 模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 模型5:等边三角形中含定角问题 模型6:等边三角形中含“手拉手” 模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形 模型8:倍长中线构造等腰三角形 题型目录 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形..................................3 【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形............................4 【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形..............4 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形..............5 【题型5】等边三角形中含定角问题.......................................6 【题型6】等边三角形中含“手拉手”.....................................7 【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形..................................8 【题型8】倍长中线构造等腰三角形.......................................9 【题型9】拓展延伸.....................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形 【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ．    【变式1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的平分线交于点，平分，且交于点，若，则 cm． 【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形 【例2】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，平分，，垂足为，，若，则的长为（） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，平分且于E，，若，的周长为20，则的长为 ． 【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形 【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，．在上取一点C，延长到点，使，连结；在上取一点D，延长到点，使，连结；……，按此操作进行下去，在以点为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，则的大小为 ．    【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，交于点，则图中等腰三角形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 【例4】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，高与角平分线相交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长度． 【变式1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形． 【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，中，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．正确结论有（   ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【题型5】等边三角形中含定角问题 【例5】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，等边中，，和相交于，垂足为，求的度数． 【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知：如图，点D，E 分别是等边三角形的两边上的点，且. （1）求证：； （2）求的度数. 【变式2】（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 【题型6】等边三角形中含“手拉手” 【例6】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N．   （1）求证： （2）求的度数 【变式1】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ． 【变式2】（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是 ． 【题型7】倍半角→等腰三角形 【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，为上一个动点． （1）已知，求证：． 下面是两位同学分享的思路： 小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证． 小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形． 请你选择一种思路，完成证明 （2）已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）． 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，分别为的高，角平分线，下列四个结论： ①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是 ． 【题型8】倍长中线构造等腰三角形模型 【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F，若，，则求的度数为 ．    第三部分【拓展延伸】 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·北京·期末）如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①； ②为等腰三角形； ③的周长等于的周长； ④．其中正确的是           【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形PMN为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.15 等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型归纳与题型目录】 模型1:角平分线+平行线→等腰三角形 模型2:角平分线+垂线→等腰三角形 模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形 模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 模型5:等边三角形中含定角问题 模型6:等边三角形中含“手拉手” 模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形 模型8:倍长中线构造等腰三角形 题型目录 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形..................................3 【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形............................5 【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形..............8 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形.............11 【题型5】等边三角形中含定角问题......................................14 【题型6】等边三角形中含“手拉手”....................................16 【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形.................................19 【题型8】倍长中线构造等腰三角形......................................23 【题型9】拓展延伸....................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形 【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ．    【答案】4 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到． 解：是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键． 【变式1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知识，根据角平分线定义求出根据平行线的性质得出，由得出，由三角形外角性质得出，从而得出． 解：∵平分，且， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的平分线交于点，平分，且交于点，若，则 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：10． 【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形 【例2】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，平分，，垂足为，，若，则的长为（） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定；延长长于点，根据平分，，证明证出再证明，即可求解； 解：延长长于点， 则， 平分， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，先证，推出，根据等腰三角形“三线合一”可得，根据，可得，通过等量代换即可求解． 解：平分， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 故选C． 【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，平分且于E，，若，的周长为20，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形判定，全等三角形判定及性质，解二元一次方程组．根据题意设，再证明为等腰三角形，利用题干线段周长数据列出二元一次方程组即可得到本题答案． 解：设， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵，的周长为20， ∴，解得：， ∴， 故答案为：8． 【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形 【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，．在上取一点C，延长到点，使，连结；在上取一点D，延长到点，使，连结；……，按此操作进行下去，在以点为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，，，，……均为等腰三角形， ∴由三角形内角和定理，三角形外角的性质可得，，，， ，，，然后作答即可． 解：由题意知，，，，……均为等腰三角形， ∴由三角形内角和定理，三角形外角的性质可得，，，， ，，， 故选：D． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，则的大小为 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设，则，根据等边对等角得出．然后在中，利用三角形内角和定理列出方程，解方程即可求出的大小． 解：设，，则，． ∵， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， ∴＝180°， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，交于点，则图中等腰三角形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，为等腰三角形， 同理可得：为等腰三角形，为等腰三角形，为等腰三角形． 综上所述：共有七个等腰三角形． 故选C． 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 【例4】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，高与角平分线相交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，对顶角相等，等边三角形的判定和性质． （1）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出，根据直角三角形两个锐角互余可得，，结合对顶角相等得出，即可证明； （2）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据等角对等边可得，根据等边三角形的三条边相等可得，根据根据直角三角形中所对的边是斜边的一半求得，即可求解． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 故． 【变式1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形来那个锐角互余，三角形外角性质，角平分线的定义等知识，首先根据直角三角形两锐角互余求得，然后根据三角形外角的性质求得，根据等角对等边求得，从而求得是等腰三角形． 证明：在中，， ， 是边上的高， ， ， 是的角平分线， ， ，即， ， 是等腰三角形． 【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，中，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．正确结论有（   ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质．根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出． 解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴，故②正确； 假设， ∵， ∴， ∴， ∴只有时，故③错误； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴，故④正确． ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴,故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②④⑤． 故选：C． 【题型5】等边三角形中含定角问题 【例5】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，等边中，，和相交于，垂足为，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据定理得出，故可得出，再由三角形外角的性质得到，，再根据可知，根据直角三角形的性质即可得出结论． 解：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ∴， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知：如图，点D，E 分别是等边三角形的两边上的点，且. (1)求证：； (2)求的度数. 【答案】(1)见解析(2) 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键. （1）根据等边三角形的性质和已知即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到．利用三角形内角和定理进行解答即可. 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴，． 又∵， ∴． （2）∵ ∴． ∴． 【变式2】（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．由“”可证，根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可求． 解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故①②正确，符合题意； 故选：C 【题型6】等边三角形中含“手拉手” 【例6】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N．   (1)求证： (2)求的度数 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答． （1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）根据三角形的内角和相等，对顶角相等，即可求解； 解：（1）证明：与都是等边三角形， ， , , 在和中 ， （2）解：， ， 在和中， ， 又， 【变式1】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ． 【答案】3 【分析】根据等边三角形的性质，,解答即可． 本题考查了等边三角形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 解：∵是等边三角形， ∴，， ，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案为：3． 【变式2】（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及垂线段最短，全等三角形的性质与判定：先通过等边三角形的性质证明，得，因为，所以是等边三角形，则当时，的周长最小，此时，即可作答． 解：∵和都是等边三角形，且， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 则的周长， ∴当时，有最小值， ∵等边三角形的三线合一， ∴． 故答案为：． 【题型7】倍半角→等腰三角形 【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，为上一个动点． (1)已知，求证：． 下面是两位同学分享的思路： 小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证． 小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形． 请你选择一种思路，完成证明 (2)已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长到，使，连接．证得等腰，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）延长到E，使，连接CE，证得等腰和等腰，然后利用等三角形的性质与三角形外角的性质、三角形内角和定理即可求解． 解：（1）证明：延长到，使，连接． ∵， ∴为线段的中垂线， ∴， ∴． 在中，． 又， ∴． 在中，， ∴． ∴ ∴． 即． （2）解：延长到E，使，连接CE， ∵， ∴为线段的中垂线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键． 【变式】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，分别为的高，角平分线，下列四个结论： ①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 在上取一点F，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，再由三角形外角的性质及等量代换即可判断③；在上截取，利用全等三角形的判定和性质及等量代换可判断②③；设，则，分别表示出各个角即可判断④． 解：如图所示，在上取一点F，使得，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如图在上截取， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴，故②错误； 设，则， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 【题型8】倍长中线构造等腰三角形模型 【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,延长到使得，连接，证明，根据全等三角形的性质可得到，等量代换得到，再由已知条件即可解决问题； 解：如图，延长到使得，连接，    ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：D． 【变式】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F，若，，则求的度数为 ．    【答案】/32度 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长到G使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，即可得到，进而利用三角形内角和解答即可． 解：如图，延长到G使，连接，    在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为： 第三部分【拓展延伸】 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·北京·期末）如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①； ②为等腰三角形； ③的周长等于的周长； ④．其中正确的是           【答案】①②④ 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的三边关系等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键． ①根据角平分线的定义、平行线的性质，借助于等量代换可求出； ②同理可得②的结论；③用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出， 进而得，便可得出：的周长不等于的周长； ④利用两次三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，进行等量代换，可求的和之间的关系式． 解：①∵是的角平分线， ∴， 又， ， ，故①正确； ②同理， ， 为等腰三角形，故②正确； ③假设为等边三角形，则，如图，连接， ∵， ， 的周长， ∵F是的平分线的交点， ∴第三条平分线必过其点，即平分， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 即的周长的周长，故③错误； ④在中，（1）， 在中，， 即（2）， 得，故④正确； 故答案为：①②④ 【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形PMN为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）见解析 【模型】综合模型 【分析】本题考查垂直平分线性质及画法，角平分线性质，中线定义 （1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）画出线段的垂直平分线找出点，根据垂直平分线性质写出真命题即可． 解：（1）解：，证明如下： ∵BD是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AE是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以，证明如下： 当， ∵， ∴， ∴， ∵BD是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：存在， ∵根据题意描述，点在线段的垂直平分线上，作图如下： 真命题：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$