13.4 课题学习 最短路径问题教学设计2024-2025学年 人教版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 13.4 课题学习 最短路径问题 教学目标 1. 探索最短路径问题的解决方法. 2. 理解解决问题所用的数学原理. 3. 会迁移平移、翻折等变换方法解决相关问题. 教学重难点 教学重点： 利用平移、翻折等方法解决最短路径问题. 教学难点： 根据条件和所学知识把复杂问题转化为基本问题. 教学过程 【引入】 呈现图片，牧马人从A处出发，先到一条笔直的河边l饮马，再回到B处.他选择在何处饮马可使所走的路径最短？ 一、牧人饮马问题（建模·转化） 1.抽象建模 如图，牧人饮马问题抽象为数学问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB最小. 想一想：和最短路径相关的数学知识有哪些？（两点之间，线段最短） 2.基本模型 为了解决上面的问题，先看一个简单的熟悉的问题：点A、B在直线l的两侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小. 分析：根据基本事实“两点之间，线段最短”很容易解决. 证明：在直线l上任取另一点P'，连接P'A，P'B ∵AB<P'A+P'B ∴PA+PB<P'A+P'B ∴点P为路径最短的点 3.构造转化 比较两个问题的不同：原问题中PA、PB在直线同侧，已知问题中PA、PB在直线异侧 分析：PA、PB在同侧⇒变为异侧⇒利用翻折变换，问题即转化为已知问题 二、造桥选址问题（类比·迁移） 1.提出问题，建立模型 如图，A、B两地在河的两岸，要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使A地到B地的路径AMNB最短？（假定河两岸平行，桥要与河岸垂直） 2.类比分析，迁移方法 分析：因河岸宽度MN的长度为定值，故AM+BN最小时AM+MN+BN最小.即求当点M在何处时，AM+BN最小.再与前面已解决的基本问题相比，不同之处是：AM与BN是分散不连续的，所以需要转化为连续的折线段.类比迁移前面的方法，用运动变换的方式构造图形. AM、BN分散⇒变为连续⇒利用平移变换，问题即转化为前述基本问题. 证明： 在直线A上任取另一点M' 作M'N' ⊥B于N' ， 连接BN ' ，B'M'， ∵ BN平移至B'M BN'平移至B'M' ∴ B'M=BN B'M'=BN' ∵ AB'<AM'+B'M'(两点之间，线段最短) ∴ AM+B'M<AM'+BN' ∴ AM+BN<AM'+BN' 又∵ MN=M'N' ∴ AM+BN+MN<AM'+BN' +M'N' 三、拓展应用（综合·提升） 1.两次翻折 如图， 已知∠EOF=30 °， 点A、B分别在OE、OF上，OA=2， OB=6，点M、N 分别是OE、OF上的动点，当AM+MN+BM最小时，画出点M 、N的位置. AM、MN、BN在直线同侧⇒变为异侧⇒翻折变换，问题转化为求A'M+MN+B'N何时最小 2.平移+翻折 如图， ∠AOB=90 °，OC平分∠AOB，MN是OC上的一条线段，且MN=2，点D在OA上，OD=3，画出MN的位置，使ΔDMN的周长最小. ΔDMN的周长最小 ⇒ DM+DN最小 DM、DN在OC同侧 ⇒ 转化为异侧 一个定点与两个动点 ⇒ 转化为两定一动 四、归纳小结（思想·方法） 1.转化的思想： 陌生的问题转化为熟悉的问题 复杂的问题转化为简单的问题 2.变换的方法： 使分散的条件变集中（产生联系） 使杂乱的信息变有序（应用知识） 学科网（北京）股份有限公司 $$