2024-2025学年苏科版八年级上册数学月考专项复习（全等+轴对称前3节）

初二第一次月考综合复习二含解析 题型分类与强化讲练 1、全等图形和等三角形 2、探究全等三角形的条件 3、全等三角形模型 4、全等辅助线 5、全等综合应用 6、轴对称图形 7、线段、角的对称性 专题精讲精练习题 1、全等图形和等三角形 1、下列图中，与左图中的图案完全一致的是（） A． B． C． D． 2、下列两个图形是全等图形的是（       ） A．两张同底版的照片 B．周长相等的两个长方形 C．面积相等的两个正方形 D．面积相等的两个三角形 3、如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（       ） A．55° B．60° C．65° D．70° 4、如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为______． 2、探究全等三角形的条件 5、下列选项可用SAS证明△ABC≌△A′B′C′的是（     ） A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′ B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′ C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′ D．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′ 6、如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． (1)求证：BE＝CG； (2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 7、如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF=_______． 3、全等三角形模型 8、如图，已知是的中线，是上的一点，交于，，，，则__________． 9、已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 4、 全等辅助线 10、问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时，（1）∠MDB＝　 　度；（2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 11、（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 5、全等综合应用 12、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________． 13、在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB． （1）如图1，求证：BC＝CD； （2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长． 14、△ABC、△DPC都是等边三角形． (1)如图1，求证：AP＝BD； (2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM． ①求证：BP⊥BD； ②判断PC与PA的数量关系并证明． 6、轴对称图形 15、如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有____个． 16、如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有_______________个. 17、如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（       ） A． B． C． D． 18、如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请写出这个单词_____. 19、如图，在3×3的正方形网络中，与△ABC关于某条直线对称的格点三角形（顶点在格线交点的三角形）共有________个． 7、线段、角的对称性 20、如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：EB平分∠ABC． （3）求证：AE=EF． 21、如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°．请你用尺规在AB边上找一点D．使得CD的长度最短． 22、如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法） 23、如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（       ） A．1 B． C．2 D．3 24、如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点． (1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离； (2)求证：点在的平分线上． 参考答案与解析 1、全等图形和等三角形 1、下列图中，与左图中的图案完全一致的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A图案可以通过旋转得到，故A符合题意；B、C、D通过旋转、平移都不能得到， 故选A. 2、下列两个图形是全等图形的是（       ） A．两张同底版的照片 B．周长相等的两个长方形 C．面积相等的两个正方形 D．面积相等的两个三角形 【答案】C 【分析】根据全等图形的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】∵两张同底版的照片，照片的尺寸可以是不一样的 ∴两张同底版的照片不一定是全等图形，故选项A错误； ∵周长相等的两个长方形，分别的长和宽可以不相等 ∴周长相等的两个长方形不一定是全等图形，故选项B错误； ∵两个正方形面积相等，且正方形的四条边长度相同 ∴面积相等的两个正方形是全等图形，故选项C正确； ∵面积相等的两个三角形，对应的底边长和三角形的高可以不同 ∴面积相等的两个三角形不一定是全等图形，故选项D错误； 故选：C． 3、如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（       ） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出，则即可求． 【详解】解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 4、如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为______． 【答案】1或 【分析】设点的运动速度为，由题意可得，与以，，为顶点的三角形全等时分为两种情况：，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：设点的运动速度为， 由题意可得， ∵ ∴与以，，为顶点的三角形全等时可分为两种情况： ①当时， ∴， ∴ ∴ ∴此时点的运动速度为； ②当时， ， ∴， ∴， 此时点的运动速度为， 故答案为：1或． 2、探究全等三角形的条件 5、下列选项可用SAS证明△ABC≌△A′B′C′的是（     ） A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′ B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′ C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′ D．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′ 【答案】C 【分析】根据全等三角形SAS的判定逐项判定即可． 【详解】解：A、不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，不符合题意； B、不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，不符合题意； C、满足SAS，能证明△ABC≌△A′B′C′，符合题意； D、不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，不符合题意， 故选：C． 6、如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． (1)求证：BE＝CG； (2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)BE+CF＞EF，见解析 【分析】（1）根据题中条件，证得△BDE≌△CDG（ASA），可证得BE＝CG； （2）先连接AG，再利用全等的性质可得 DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出 FG＝EF，依据三角形两边之和大于第三边得出 BE+CF>EF， 【详解】(1)解：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵AB∥CG， ∴∠B＝∠DCG， 在△BDE和△CDG中， ∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG， ∴△BDE≌△CDG（ASA）， ∴BE＝CG； (2)BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG， ∵△BDE≌△CDG， ∴DE＝DG， 又∵FD⊥EG， ∴FD垂直平分EG， ∴EF＝GF， 又∵△CFG中，CG+CF＞GF， ∴BE+CF＞EF． 7、如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF=_______． 【答案】 【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明，则BG＝AC，，根据AE＝EF，得到，可证出，即得出AC＝BF，从而得出BF的长． 【详解】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG， 在和中， ∴ ∴BG＝AC，， 又∵AE＝EF， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF， 又∵BE＝7CE，AE＝， ∴BF＋EF＝， 即BF＋＝， 解得BF＝． 故答案为： 3、全等三角形模型 8、如图，已知是的中线，是上的一点，交于，，，，则__________． 【答案】100° 【分析】延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，如图所示： 在△BDM和△CDA中， ， ∴△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM， ∵BF=AC， ∴BF=BM， ∴∠M=∠BFM=24°， ∴∠MBF=180°-∠M-∠BFM=132°， ∵∠EBC=32°， ∴∠DBM=∠MBF-∠EBC=100°， ∴∠C=∠DBM=100°， 故答案为：100°． 9、已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【答案】见解析. 【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可． 【详解】证明：如图， 延长交的延长线于， 平分 5、 全等辅助线 10、问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4） 【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°； （2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC； 归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN； 拓展应用： （3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC； （4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论． 【详解】特例探究： 解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°， 故答案为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴BM＝CN， ∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC， 即MN＝BM+NC； 归纳证明 （3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°． ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 又∵BD＝CD，BM＝CE， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠MDN， 又∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC； 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC的周长＝3AB， ∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝， 故答案为：． 11、（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3） 【分析】（1）由已知条件可得，，进而根据∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB，可得∠ACD＝∠BCE，证明△ACD≌△BCE（SAS），即可求得AD=BE；∠BEC=∠CDA=135°； （2）延长交于点F，同理可得△ACD≌△BCE，设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α，根据∠ABE=45°+45°-α=90°-α，进而根据∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°，即可求解； （3）延长BE交AD于点G，方法同（2）证明△ACD≌△BCE，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线和的夹角． 【详解】（1）∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，∠CDE=45° ∴∠CDA=135° ∵∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE ∴∠AEB=90° 故答案为：90°，AD＝BE （2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下， 同理可得△ACD≌△BCE， 则AD=BE， 延长交于点F， 设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α ∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α ∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90° ∴AD⊥BE （3）如图，延长BE交AD于点G， ∵和均为等腰三角形， ∴，， ∵∠ACB=∠DCE=α， ∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠CAD ∵ ∴∠CBA=∠CAB = ∴∠GAB+∠GBA=， ， ∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA) ， 即直线和的夹角为． 故答案为：． 5、全等综合应用 12、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________． 【答案】①②④ 【分析】由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误； 【详解】解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA， ∴∠PAB+∠PBA=（∠CAB+∠CBA）=45°， △PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°， 故①正确； ∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°， ∴∠F=∠DAC=∠DAB， △BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP， ∴△BPA≌△BPF（AAS）， ∴BA=BF，PA=PF， 故②正确； △APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°， ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴PH=PD，故④正确； 若PH=HC，则PD=HC， AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立， 故③错误； 综上所述①②④正确， 故答案为：①②④ 13、在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB． （1）如图1，求证：BC＝CD； （2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）CG=6 【分析】（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，证明△CQD≌△CPB，即可得到答案； （2）延长ED，让MD=ED，△AME是等边三角形，然后利用等边三角形的性质和角平分线的定义即可求得答案； （3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，通过证明△CFK≌△HFL，得到FK=FL，又有直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，求得FK=GF，根据等腰三角形的三线合一，进一步求得∠FGH=，从求得到∠GCH=，然后在直角三角形中利用勾股定理求解即可得答案． 【详解】解：（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，如下图： ∵AC平分∠DAB，CP⊥AB，CQ⊥AD ∴CQ=CP 在四边形APCQ中，∠APC=∠AQC= ∴∠QAP+∠PCQ= 又∵∠DAB+∠DCB＝180° ∴∠PCQ=∠DCB ∴∠QCD+∠DCP=∠DCP+∠PCB ∴∠QCD=∠PCB 又∵∠CQD=∠CPB= ∴△CQD≌△CPB（ASA） ∴CD=CB （2）延长ED，让MD=ED，如下图： ∵∠ADB＝90° ∴AD⊥ME 又∵MD=ED ∴AM=AE，ME=2DE 又∵AE=2DE ∴ME=AE=AM ∴△AME是等边三角形 ∴ 又∵∠ADE＝90° ∴ ∵AC平分∠DAB ∴ 又∵ ∴ （3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，如下图： ∵在中， ∴∠HCB= 又∵折叠 ∴CH=CF, ∠HCB=∠FCB= ∴∠HCF= ∴△CHF是等边三角形 ∴∠CFH=∠CHF=，CF=HF 又∵在中，∠CGF=，∠GKF= ∴∠GFK= ∴∠CFH=∠GFK ∴∠CFK+∠CFG=∠CFG+∠HFL ∴∠CFK=∠HFL 又∵∠CKF=∠LHF=，CF=HF ∴△CFK≌△HFL ∴FK=FL 又∵在中，∠CGF= ∴FK=GF ∴FL=GF ∴GL=FL 又∵HL⊥GF ∴HG=HF ∴∠FGH=∠GFH 又∵∠CHF=，∠CHB= ∴∠FHB=∠CHB-∠CHF= ∴∠FGH= ∴∠CGH=∠CGF+∠FGH= 又∵∠CHG= ∴∠GCH= ∴GH=CH，△GCH是等腰直角三角形 又∵ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得： ∵CG＞0 ∴CG=6 14、△ABC、△DPC都是等边三角形． (1)如图1，求证：AP＝BD； (2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM． ①求证：BP⊥BD； ②判断PC与PA的数量关系并证明． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析． 【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论； （2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再证明△PDB≌△PCK（SSS），可得结论； ②结论：PC=2PA．想办法证明∠DPB=30°，可得结论． 【详解】(1)证明：如图1中， ∵△ABC，△CDP都是等边三角形， ∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°， ∴∠BCD=∠ACP， 在△BCD和△ACP中， ， ∴△BCD≌△ACP（SAS）， ∴BD=AP； (2)证明：如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK． ∵AP⊥PM， ∴∠APM=90°， 在△AMP和△CMK中， ， ∴△AMP≌△CMK（SAS）， ∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°， 同法可证△BCD≌△ACP， ∴BD=PA=CK， ∵PB=2PM， ∴PB=PK， ∵PD=PC， ∴△PDB≌△PCK（SSS）， ∴∠PBD=∠K=90°， ∴PB⊥BD． ②解：结论：PC=2PA． ∵△PDB≌△PCK， ∴∠DPB=∠CPK， 设∠DPB=∠CPK=x，则∠BDP=90°-x， ∵∠APC=∠CDB， ∴90°+x=60°+90°-x， ∴x=30°， ∴∠DPB=30°， ∵∠PBD=90°， ∴PD=2BD， ∵PC=PD，BD=PA， ∴PC=2PA ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6、轴对称图形 15、如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有____个． 【答案】5 【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 【详解】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG，△CDF，△AEF，△DBH，△BCG共5个， 故答案为5. 16、如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有_______________个. 【答案】 【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向、纵向和斜向三种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】如图所示，对称轴有三种位置，与△ABC成轴对称的格点三角形有3个． 故答案为3． 17、如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点A关于直线的对称点，连接交直线 于一点， 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短． 故选：D 18、如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请写出这个单词_____. 【答案】BOOK 【分析】根据轴对称图形的性质，画出完整图形，即可解答. 【详解】解：如图， 这个单词是BOOK. 故答案为BOOK； 19、如图，在3×3的正方形网络中，与△ABC关于某条直线对称的格点三角形（顶点在格线交点的三角形）共有________个． 【答案】6 【分析】通过变换对称轴的位置, 确定对称格点三角形的个数. 【详解】解：在此网格中与△ABC关于某条直线对称的 格点三角形有6个,如图 故答案：6. 7、线段、角的对称性 20、如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：EB平分∠ABC． （3）求证：AE=EF． 【答案】见解析 【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可； （2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案； （3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90-∠ABE =60再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）证明：∵DE是AB的垂直平分线 ∴DE⊥AB ∴AE=BE ∵∠A=30，∠ACB=90 ∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60 ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30 ∴∠EBC=∠ABE ∴EB平分∠ABC． （3）证明：∵DE是AB的垂直平分线 ∴DE⊥AB ∴∠DEB=90-∠ABE =60 ∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30 ∴∠EFB=∠EBC ∴BE=EF 又∵AE= BE ∴AE=EF 21、如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°．请你用尺规在AB边上找一点D．使得CD的长度最短． 【答案】见解析 【分析】利用基本作图，过C点作AB的垂线，垂足为D，则根据垂线段最短可判断D点满足条件． 【详解】解：如图，点D为所作． 22、如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作∠ABC的角平分线交AD于点P，点P即为所求，根据角平分线的性质定理可得到点P到AB的距离等于PD的长． 【详解】解：如图，点P即为所求． ． 23、如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（       ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案． 【详解】如图，连接CD，BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE， ∴AE=AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD=BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE=CF， ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE， ∵AB=11cm，AC=5cm， ∴BE=3cm． 故应选D． 24、如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点． (1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离； (2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1)5cm；(2)见解析． 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质即可解答； （2）根据角平分线的性质得到，进而得到，根据角平分线的判定定理即可证明． 【详解】(1)解：过点作于， 点在的平分线，，， cm， 即点到直线的距离为； (2)证明：点在的平分线，，， ， 同理：， ， ，， 点在的平分线上． $$