2.2.4 直线的方向向量与法向量教学设计-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

课题 2.2.4 直线的方向向量与法向量 编号 选择性必修 第一册 第二章 第2节 共4课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 内容分析 本节课以前面所学的直线倾斜角与斜率、直线点斜式方程、斜截式方程、一般式方程为基础，抓住直线方向表示这一几何特征引入向量方法，专设一节课学习方向向量与法向量，并介绍了直线的点法式方程. 一般式方揭示了任意一个二元一次方程表示一条直线，但并未说明的几何意义，实际上表示这条直线的法向量. 本节内容，一是抓住直线的几何特征，并用向量来刻画，直观易懂便于应用；二是不需要讨论直线的斜率是否存在，程序上简洁；三是对直线方程理解得更深刻、更全面. 通过数与形的有机结合，能实现解析几何最大化的教育价值，也能进一步体会向量沟通代数与几何的桥梁作用，这对落实核心素养的培养要求将产生积极的意义. 课程标准对本节课内容未提出具体要求，但湘教版教材开设一节专题学习，彰显了湘教版教材注重数学本质的教学，强调数学思想内涵的理解和应用. 教学目标 理解直线的方向向量、法向量、点法式方程，认识直线的方向向量是刻画直线倾斜程度的几何元素，并能应用方向向量、法向量、点法式等写出直线方程. 理解向量作为沟通代数与集合的桥梁，进一步感受解析几何数形结合的思想方法. 核心素养 ●直观想象 ●数学运算 ○数据分析 ●数学抽象 ●逻辑推理 ○数学建模 教学重点 理解直线的方向向量、法向量、点法式方程，并能应用于写出直线方程 教学难点 推导一般式方程直线的方向向量 教学方法 问题驱动、引导发现、合作探究相结合 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 创设情境 复习：给定平面直角坐标系中的一条直线. （1）哪些量可以表示直线的倾斜程度？ （2）在上任意取两个不同的点、则 . 问题:向量能表示直线l的倾斜程度吗？ 复习前面所学直线l倾斜程度的表示方法，探讨向量能否表示倾斜程度. 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 问题1：什么是直线l的方向向量？直线l的方向向量有多少个？ 直线上两个不同点𝑃𝑄之间的有向线段的方向就是直线的方向.可以用非零向量来表示.不过，我们没有把直线规定成有向直线，直线与是同一条直线，两个相反向量 的方向都代表直线的方向，此时这两个方向平行. 因此，我们把与直线平行的非零向量都称为的方向向量，用它们来表示直线的方向.的所有的非零实数倍都是方向向量；反过来，所有的方向向量都与平行. 试试：给定平面直角坐标系中的一条直线l. （1）在l上任意取两个不同的点、，则全体方向向量为 . （2）直线l的倾斜角为，则全体方向向量为 . 例1. 求直线的全体方向向量. 方法1：直线上取两点、； 方法2：直线上任取两点、. 斜率为的直线的方向向量为的非零实数倍. 例2． 求直线的全体方向向量. 方法1：直线化为斜截式； 方法2：直线上取两点、； 方法3：直线上任取两点、. 问题2：如何推导一般直线 （A、B不同时为0）的方向向量与法向量？ 推导如下： 任取两点、、，则： ，. 两式相减整理为：(点法式方程). 由，设，则： ，即，称为直线的法向量. 例3．写出满足下列条件的直线的方程： （1）垂直于向量(3，2)，并且经过点； （2）经过点和. 方法：求出方向向量，再写点法式方程. 注意： ①直线的斜率与直线的方向向量各自的特点； ②直线的方向向量、法向量为非零向量，它们都不唯一； ③一点和一方向确定一条直线. 问题引导思考，从而正确理解直线的方向向量. 将中间结论即点法式方程从向量的数量积运算角度去思考，从而通过向量方法沟通了代数与几何. 帮助掌握点法式方程的应用，特别是第2小题，由两点计算方向向量、法向量，再写点法式方程，贯串所学. 课堂练习 1. 计算： （1）已知直线l的倾斜角为，求l的一个方向向量和法向量； （2）已知直线l的方向向量为，求的一个法向量； （3）已知直线l经过点和，求l的一个方向向量和法向量. 2. 写出满足下列条件的直线的方程： （1）垂直于向量(2,3)，并且经过点； （2）平行于向量，并且经过点. 巩固所学知识 总结提升 本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？用到的数学方法有哪些？ 系统梳理整节课所学内容. 作业布置 必做题 P74习题2.2：第4、5题 分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求. 选做题 P75习题2.2：第12、13题 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科网（北京）股份有限公司 $$