均值不等式求最值的常用方法讲义-2025届高三数学二轮专题复习

均值不等式求最值的八种常用方法 一．基本原理 1. 二元基本不等式的几个变形： （1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 （4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” 2.n元均值不等式 设均大于零，则记，， ，， 则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均. 二．典例分析 ★方法1.直接利用和（积）为定求最值 例1.求函数的最大值________ ★方法2.分式函数求最值 （1） 型. 对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解. （2） 型. 对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解. （3） 型. 形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域. （4） 型. 形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解. 小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法： ① ：换元→分离常数→反比例函数模型. ② ：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型. ③ ：同时除以分子→②的模型. ④ ：分离常数→③的模型. 共同点：让分式的分子变为常数 例2. 求函数的值域. 例4．已知，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 例5．若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 ★方法3. “1”代换 已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）. 这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求较高，需要重点突破. 例6.已知，求的最小值__________ 例7．已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C．9 D． 例8．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 例9．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 例10．已知正实数满足.则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．4 D．8 例11．若，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例12．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． ★方法4.和积转化 适用于型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项. 例13．若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例14．若，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．49 D．81 例15．若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． ★方法5.平方和与积型互化 适用于型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项，若目标函数与有关，则需先利用配方法换掉项. 例16．已知实数满足，则的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 例17．若实数满足，则的最大值是 A． B． C． D． ★方法6.三变元先消元再加均值 例18．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ★方法7.先换元再均值 例19．已知正实数，满足，则的最小值是_______． 例20．已知，，则的最小值________. 例21．已知且，则的最小值为________. ★方法8.建模后再用均值 例22．如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）.    （1）设长为（单位：），写出关于的函数解析式； （2）当为何值时，最小？并求出这个最小值. 三．习题演练 1．已知正数，满足，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，均为正数，若，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 4．已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的最大值为 ． 8.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 均值不等式求最值的八种常用方法 一．基本原理 1. 二元基本不等式的几个变形： （1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 （4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” 2.n元均值不等式 设均大于零，则记，， ，， 则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均. 二．典例分析 ★方法1.直接利用和（积）为定求最值 例1.求函数的最大值________ 解析：，∴ ，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值 ★方法2.分式函数求最值 （1） 型. 对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解. （2） 型. 对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解. （3） 型. 形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域. （4） 型. 形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解. 小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法： ① ：换元→分离常数→反比例函数模型. ② ：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型. ③ ：同时除以分子→②的模型. ④ ：分离常数→③的模型. 共同点：让分式的分子变为常数 例2. 求函数的值域. 解析：设. 于是问题转化为求 的值域，由对勾函数当时取等号，即. 例3.设，求函数的最小值为__________. 思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为， 答案：. 例4．已知，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 解析：因为，所以， ，当且仅的，即时等号成立.故选：A. 例5．若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 解析：因为，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.故选：B 下面讨论条件极值 ★方法3. “1”代换 已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）. 这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求较高，需要重点突破. 例6.已知，求的最小值__________ 解析： 例7．已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C．9 D． 解析：因为，，，所以， ∴， 当且仅当取得等号，则的最小值为9.故选：C 例8．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 解析：因为，所以，而， ，当且仅当，即时，等号成立.故选：B 例9．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 解析：因为正实数，满足，所以 ，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是.故选:B. 例10．已知正实数满足.则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．4 D．8 解析：均为正实数， ，当且仅当，即时，等号成立.故选：B 例11．若，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 解析：因为，，， 则，当且仅当时，即时，等号成立；所以，即的最大值为，故选：C. 例12．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解析：因为，所以，即 ，当且仅当，即时，等号成立.所以，故选:D. ★方法4.和积转化 适用于型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项. 例13．若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为，所以，由基本不等式可得， 故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A. 例14．若，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．49 D．81 解析：由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D 例15．若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 解析： ,.故选:D. ★方法5.平方和与积型互化 适用于型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项，若目标函数与有关，则需先利用配方法换掉项. 例16．已知实数满足，则的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 解析：原式可化为：，解得，当且仅当时成立．所以选B. 例17．若实数满足，则的最大值是 A． B． C． D． 解析：,，， 解得，，的最大值是.故选B. ★方法6.三变元先消元再加均值 例18．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C. ★方法7.先换元再均值 例19．已知正实数，满足，则的最小值是_______． 解析：令，，则，．从而 ．所以的最小值是 ． 例20．已知，，则的最小值________. 解析：令，则，去分母化简得：，所以，所以，当且仅当时，等号成立．故答案为：20 例21．已知且，则的最小值为________. 解析：令，，因为，所以，则，，所以,所以 ，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.故答案为：. ★方法8.建模后再用均值 例22．如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）.    （1）设长为（单位：），写出关于的函数解析式； （2）当为何值时，最小？并求出这个最小值. 解析：（1）由题意得，解得，由于，得， 所以； （2）由题意得，所以， 当且仅当，即时取“，所以当时，最小，且元. 三．习题演练 1．已知正数，满足，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 解析：因为正数，满足， 对于A：，当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D：因为，所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，故D正确；故选：B 2．已知，均为正数，若，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 解析：，均为正数，因为， 所以 ，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为5.故选：C. 3．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 解析：因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 4．已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 解析：因为正实数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：D. 5．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 解析：，设，则. 于是， 令，则， 当，即，也即时，取到最小值.故选：C 6．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数的最小值为.故选：D. 7．已知，，，则的最大值为 ． 解析：令，，则，，，，，所以，所以 ，当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 8.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 解析：（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为，则 即，当且仅当，即时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， ，当，，即时，的最小值为12，即，所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$