精品解析：山东省淄博市临淄中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

淄博市临淄中学高一教学质量检测数学试题 2023.1.10 一、单选题（（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性解不等式化简集合A，由二次不等式化简B，直接计算并集即可. 【详解】， ， 故选：A 2. 已知函数，若，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 9 D. -2或9 【答案】D 【解析】 【分析】由解方程，从而求得正确答案. 【详解】当时，（正根舍去）； 当时，. 所以的值为或. 故选：D 3. 已知，则函数的最小值为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，则，然后利用基本不等式可求得结果 【详解】由于，则， 故 当且仅当，即时取到等号， 因此的最小值为6． 故选：B 4. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，， 所以，所以在上存在唯一的零点. 故选：C 5. 下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性排除BD，根据奇偶性排除C，A满足单调性和奇偶性，得到答案. 【详解】对选项A：，函数为偶函数，当时，为增函数，正确； 对选项B：在上为减函数，错误； 对选项C：，函数为奇函数，错误； 对选项D：在上为减函数，错误； 故选：A 6. 若函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可解得的定义域为，的定义域即不等式的解集. 【详解】，则的定义域为， 令，得，即的定义域为. 故选：C. 7. 已知函数.若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的单调性，只要比较，，的大小即可得． 【详解】，，即， 又是增函数，所以． 故选：C． 8. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上，， 故选：B. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.选不全得2分，多选不得分） 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. 设，则“”是“且”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B选项；由“”，则不一定有“且”，即可判断C选项；若，则或，结合必要不充分条件的定义，即可判断D选项. 【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确； 对于B，若，则， 所以一元二次方程有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确； 对于C，若“”，则不一定有“且”， 而若“且”，则一定有“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，若，则或， 则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 10. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 时， C. 的解集为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数函数得图像性质解决即可. 【详解】由题知，， 对于A，函数定义域为，故A错误； 对于B，在上单调递减， 当时，，故B正确； 对于C，在上单调递减，，即，解得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 11. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有．若对所有恒成立，则实数m的取值范围可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据题目给出的条件，判断是定义在区间上的单调函数，求出其最大值，代入中解出m的取值范围即可. 【详解】不妨令 ， 对任意都有在上单调递增， 对所有恒成立， 对所有恒成立， 对所有恒成立，令 故只需解之： 故选：AD 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 12. 已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（ ） A x1＋x2＝－1 B. x3x4＝1 C. 1<x4<2 D. 0<x1x2x3x4<1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正确选项. 【详解】由函数解析式可得图象如下： ∴由图知：，，而当时，有，即或2， ∴，而知：， ∴，. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系. 三.填空题（每题5分，共20分） 13. 已知幂函数在上单调递减，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论． 【详解】由题意，解得或， 若，则函数为，在上递增，不合题意． 若，则函数为，满足题意． 故答案为：． 14. 已知偶函数在上是减函数，且，则的解集__________ 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论x的范围，根据函数的单调性可得到答案. 【详解】因为是偶函数，且，所以， 又在上是减函数，所以在上是增函数， ①当时，由得，又由于在上为减函数，且，所以，得； ②当时，由得，又，在上是增函数，所以，所以. 综上，原不等式的解集为：. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且.偶函数在对称区间上的单调性相反，且.. 15. 给出下列函数：①；②；③；④. （1）是定义在上的偶函数； （2）对任意且，有，其中同时满足上述两个条件的函数是________(填序号)． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义和判定方法，以及基本初等函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数，，的定义域都是， 且都满足，所以都是定义域上的偶函数； 根据对数函数的图象与性质，可得函数为非奇非偶函数，不符合题意， 又由对任意且，有， 可得函数是上的单调递减函数， 根据二次函数性质，可得函数在上为单调递增函数，不符合题意； 当，可得，在上为单调递减函数，符合题意； 当，可得，在上为单调递减函数，符合题意； 故答案为：②③ 16. 设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，进而得到，根据任意，总存，使得成立，得到，即可求解. 【详解】由题意，函数， 当时，， 当时，， 因为，可得，则，所以， 所以， 又因为，且， 对于任意，总存在，使得成立， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 四.解答题：（17题10分，其余均12分；共70分） 17. 化简： （1）． （2）； 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂进行计算；（2）利用对数运算公式和换底公式进行计算. 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 集合 （1）求 （2）非空集合，求实数a的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合结合集合交集、补集运算即可； （2）确定，即可求解. 【小问1详解】 所以或 所以 【小问2详解】 因为，所以， 则即，需满足且，解得 所以实数a的范围是. 19. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1），，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果. 小问1详解】 因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， 【小问2详解】 由诱导公式，得 . 20. 已知函数. （1）用定义证明函数在上为减函数； （2）若，求函数的值域； （3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性的定义及的单调性进行证明； （2）利用函数的单调性求其值域； （3）先求出当时的值域，再令即可求解. 【小问1详解】 证明：函数的定义域为R， 设且， 则. 因为，所以，，， 所以，即． 所以函数在上为减函数． 【小问2详解】 解：因为函数在上为减函数， 所以当时，， . 所以当时，的值域为. 【小问3详解】 解：由(2)得，当时， 的值域为， 因为， 所以当时，. 因为在上恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足台时，（万元）；当月产量不小于台时，（万元）．若每台机器售价万元，且当月生产的机器能全部卖完． （1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式； （2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润． 【答案】（1）；（2）当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元． 【解析】 【分析】（1）由给定函数模型结合即可得解； （2）分段讨论，结合二次函数的性质及基本不等式即可得解. 详解】解：（1）当时，； 当时，． ∴； （2）当时，， 当时，取最大值1200万元； 当时，， 当且仅当时取等号； 又， 所以当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元． 答：当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元． 22. 已知函数为奇函数. （1）求数k的值； （2）设，证明：函数在上是减函数； （3）设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）单调递增，. 【解析】 【分析】(1)由于为奇函数，可得，即可得出； (2)利用单调性的定义，通过作差即可证明； (3)利用(2)求函数在上的单调性，再结合零点存在性定理即可得出m取值范围． 【小问1详解】 为奇函数， ， ，即， ，整理得， （时，不合题意而舍去）． 【小问2详解】 由(1)，故， 设， 时，，，， ，即， 函数在上是减函数； 【小问3详解】 由(2)知，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在单调递增， 又在R上单调递增， 在单调递增， 在区间上只有一个零点， ， 即， 解得. 【点睛】方法点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及有几个零点时，还需考虑函数的图象在参数范围不同时的交点个数； （3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题； （4）转化为两熟悉的函数图象交点问题，从而构建不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 淄博市临淄中学高一教学质量检测数学试题 2023.1.10 一、单选题（（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 9 D. -2或9 3. 已知，则函数的最小值为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（　　） A B. C. D. 6. 若函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数.若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.选不全得2分，多选不得分） 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. 设，则“”是“且”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 时， C. 的解集为 D. 11. 已知是定义在区间上奇函数，且，若时，有．若对所有恒成立，则实数m的取值范围可能是（ ） A B. C. D. 12. 已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确是（ ） A. x1＋x2＝－1 B. x3x4＝1 C. 1<x4<2 D. 0<x1x2x3x4<1 三.填空题（每题5分，共20分） 13. 已知幂函数在上单调递减，则___________. 14. 已知偶函数在上是减函数，且，则的解集__________ 15. 给出下列函数：①；②；③；④. （1）是定义在上的偶函数； （2）对任意且，有，其中同时满足上述两个条件的函数是________(填序号)． 16. 设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是____． 四.解答题：（17题10分，其余均12分；共70分） 17. 化简： （1）． （2）； 18. 集合 （1）求 （2）非空集合，求实数a的范围. 19. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. （1）求； （2）求的值. 20. 已知函数. （1）用定义证明函数在上为减函数； （2）若，求函数的值域； （3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足台时，（万元）；当月产量不小于台时，（万元）．若每台机器售价万元，且当月生产的机器能全部卖完． （1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式； （2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润． 22. 已知函数为奇函数. （1）求数k的值； （2）设，证明：函数在上是减函数； （3）设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$