新高考背景下的切线问题研究讲义-2025届高三数学二轮专题复习

新高考背景下的切线问题研究 一．基本原理 1. 用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 2. 求过点A处切线方程方法如下： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 3.若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同（公切线），则等价于的图象在点处的切线：与的图象在点处的切线：重合.进一步等价于下列方程组有解：. 4.若动点为函数图象上任一点，直线与图象相离，则到距离的最小值为函数图象在点处的切线与平行时产生，故此时最小距离即为切点到直线的距离. 二．真题溯源 ★1.根据导数的几何意义求切线 例1．（2021年全国甲卷）曲线在点处的切线方程为_________. 例2 ．（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． ★2. 过点求切线 例3 ．（2022年全国新高考2卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为________，___________. 例4．（2021新高考1卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A． B． C． D． 例5.（2022新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． ★3. 求公切线 例 6．（2024年新课标全国Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________. . 例7.（2015年新课标卷）已知曲线在点处的切线与曲线 相切，则_______ 例8 （2019全国2卷理20）已知函数. （1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点； （2）设是的一个零点，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线. ★4. 切线问题的综合应用 例9 ．（2021年新高考2卷）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是__________. 三．25届高三9月开学考试切线问题汇编 1. （25届泉州市高三开学考试）若曲线在处的切线与直线垂直，则__________. 2.（浙江省A9协作体25届高三返校考试）曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______． 3.（25届广东省八校高三联考）．若曲线在处的切线恰好与曲线 也相切，则_________. 4.（25届湖北省高三圆创联考卷） 已知函数 其中，当两函数图象对应曲线存在2条公切线时则的取值范围是________． 5．（浙江名校协作体高三开学考试）已知函数． （1）判断函数的零点个数，并说明理由； （2）求曲线与的所有公切线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考背景下的切线问题研究 一．基本原理 1. 用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 2. 求过点A处切线方程方法如下： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 3.若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同（公切线），则等价于的图象在点处的切线：与的图象在点处的切线：重合.进一步等价于下列方程组有解：. 4.若动点为函数图象上任一点，直线与图象相离，则到距离的最小值为函数图象在点处的切线与平行时产生，故此时最小距离即为切点到直线的距离. 二．真题溯源 ★1.根据导数的几何意义求切线 例1．（2021年全国甲卷）曲线在点处的切线方程为_________. 解析：由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为． 例2 ．（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 解析：，则，即该切线方程为，即， 令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A. ★2. 过点求切线 例3 ．（2022年全国新高考2卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为________，___________. 解析：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； 例4．（2021新高考1卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A． B． C． D． 解析：在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D. 例5.（2022新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． 解析：易得曲线不过原点，设切点为，则切线斜率为： ．可得切线方程为，又切线过原点，可得，化简得，又切线有两条，即方程有两不等实根，由判别式，得，或． ★3. 求公切线 例 6．（2024年新课标全国Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________. . 解析：由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为： 例7.（2015年新课标卷）已知曲线在点处的切线与曲线 相切，则_______ 解析：，所以，切线方程为，联立方程，从而由相切可得： 例8 （2019全国2卷理20）已知函数. （1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点； （2）设是的一个零点，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线. 解析：（1）函数的定义域为， ，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有2个零点； （2）因为是的一个零点，所以 ，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为. 设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为， 当切线的斜率等于直线的斜率时，即， 切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线. ★4. 切线问题的综合应用 例9 ．（2021年新高考2卷）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是__________. 解析：由题意，，则，所以点和点，,所以， 所以，所以，同理,所以.故答案为： 三．25届高三9月开学考试切线问题汇编 1. （25届泉州市高三开学考试）若曲线在处的切线与直线垂直，则__________. 解析：由题意得函数的导函数为，故在处切线的斜率为，直线的斜率存在为，根据题意得，，解得.故答案为:. 2.（浙江省A9协作体25届高三返校考试）曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______． 解析：曲线在处的切线为，设切点，由，得． 3.（25届广东省八校高三联考）．若曲线在处的切线恰好与曲线 也相切，则_________. 解析：对于：，可得，当，则，可知曲线在处的切线是；对于：，可得，令得，由切点在曲线上得.故答案为：. 4.（25届湖北省高三圆创联考卷） 已知函数 其中，当两函数图象对应曲线存在2条公切线时则的取值范围是________． 解析：令则，令，则，由于函数互为反函数，故图象关于对称，因此只需要考虑两曲线相切时的临界情况，设切点横坐标为， 由 故，即 ，所以，设，则，，故有，两边取对并移项，记函数 ，易知在上单调递增,因为，所以，此时，所以的取值范围是. 5．（浙江名校协作体高三开学考试）已知函数． （1）判断函数的零点个数，并说明理由； （2）求曲线与的所有公切线方程. 解析：（1），在单调递增 又，存在唯零点，在之间． （2），以上的点为切点的切线方程为以上的点为切点的切线方程为 令，则，代入（2），得，即．设，函数，则． 当时，单调递减，当时，单调递增，， 的解为，又．和存在唯一一条公切线为． 学科网（北京）股份有限公司 $$