精品解析：上海市南洋模范中学2022-2023学年高三下学期开学考数学试题

南洋模范2022学年第二学期高三年级数学开学考 2023.2 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 如果集合A满足，则满足条件的集合A的个数为______（填数字）. 2. 中心在原点，焦点在x轴上，过点，且离心率为的椭圆的标准方程为______． 3. 若（为虚数单位）为方程（，）的一个根，则______． 4. 若展开式中系数为，则实数______. 5. 直线与直线所成夹角的余弦值等于______ 6. 已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是____（填序号）. ①若，不平行，则在内不存在与平行直线； ②若m，n平行于同一平面，则与可能异面； ③若m，n不平行，则与不可能垂直于同一平面； ④若，垂直于同一平面，则与可能相交. 7. 平面直角坐标系中，若抛物线的焦点为，直线与抛物线交于A，B两点，，圆为的外接圆，则圆心的坐标是______. 8. 已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________． 9. 已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________． 10. 设是公比为等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=_____________. 11. 中，，若，，其中，则的最小值为__________. 12. 若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围___________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知，为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 从贵阳市某高中全体高一学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则参加体能测试的人数n和频率分布直方图中a的值分别是（ ） A. B. C. D. 15. 记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ） A B. C. D. 16. 已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知函数的图象关于点对称． （1）求，m的值； （2）将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 18. 党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 （1）根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； （2）求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 19. 如图在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，点E在线段AB上，且BE＝1，将△ADE沿DE折起到A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCDE． （1）求证：CE⊥平面A1DE； （2）线段A1C上是否存在一点F，使得BF//平面A1DE？说明理由． 20. 设双曲线方程为，过其右焦点且斜率不为零直线与双曲线交于A，B两点，直线的方程为，A，B在直线上的射影分别为C，D. （1）当垂直于x轴，时，求四边形的面积； （2），的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限，试比较与1的大小； （3）是否存在实数，使得对满足题意的任意，直线和直线的交点总在轴上，若存在，求出所有的值和此时直线和交点的位置；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数，函数在处的切线与直线垂直． （1）求实数的值； （2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南洋模范2022学年第二学期高三年级数学开学考 2023.2 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 如果集合A满足，则满足条件的集合A的个数为______（填数字）. 【答案】3 【解析】 【分析】根据子集和真子集的定义即可写出所有满足条件的集合A，从而求出满足题意的集合A的个数． 【详解】由题意知集合A中必须包含0，2两个元素，但集合； ∴满足条件的集合为：，，； ∴满足条件的集合的个数为3． 故答案为：3． 2. 中心在原点，焦点在x轴上，过点，且离心率为的椭圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出椭圆的方程，由所过定点求出，再根据结合离心率求出，可得椭圆的标准方程． 【详解】设椭圆的标准方程为，椭圆过点，，则，又，解得，因此椭圆的标准方程为 故答案为： 3. 若（为虚数单位）为方程（，）的一个根，则______． 【答案】； 【解析】 【分析】将代入方程，化简可得，结合复数相等的充要条件，列出方程求解即可． 【详解】因为为方程（，）的一个根， 所以； 所以， 所以，解得. 故答案为：. 4. 若展开式中的系数为，则实数______. 【答案】或 【解析】 【分析】求出的通项公式，所以找到，然后根据的指数为求出的值，再代入求解. 【详解】二项式的通项公式为且 所以的通项公式为① 当时①式的被减数变为 当时①式的减数变为 所以展开式中的系数为 所以， 或 故答案为：或 5. 直线与直线所成夹角的余弦值等于______ 【答案】 【解析】 【分析】首先得到两直线的斜率，即可判断两直线的位置关系，设直线的倾斜角为，则两直线的夹角为，依题意可得，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切代入计算可得. 【详解】解：直线，即，则斜率， 直线，即，则斜率， 所以两直线关于轴对称，设直线的倾斜角为， 则两直线的夹角为， 所以，则 . 故答案为： 6. 已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是____（填序号）. ①若，不平行，则在内不存在与平行的直线； ②若m，n平行于同一平面，则与可能异面； ③若m，n不平行，则与不可能垂直于同一平面； ④若，垂直于同一平面，则与可能相交. 【答案】②③④ 【解析】 分析】利用相交平面说明判断①，举例说明判断②④，利用反证法推理说明③. 【详解】对于①，因，不平行，令，直线，若，必有，①不正确； 对于②，若，直线，直线b与m是相交直线，则有直线b与m都平行于，把直线b平行移出平面外为直线n，且不在内，此时与是异面直线，都平行于，②正确； 对于③，假定与垂直于同一平面，则有，与，不平行矛盾，即假设是错的，③正确； 对于④，令，若直线c垂直于某个平面，由面面垂直的判定知，垂直于这一平面，④正确. 故答案为：②③④ 7. 平面直角坐标系中，若抛物线的焦点为，直线与抛物线交于A，B两点，，圆为的外接圆，则圆心的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求的坐标，设圆心坐标根据圆的半径相等，求得圆心. 【详解】由题意，设，所以，解得， 所以抛物线的方程为，，，， 因为,所以点在轴上, 设圆心坐标为，所以，解得，即. 故答案为: 8. 已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________． 【答案】2.1 【解析】 【分析】由,利用正态分布的对称性求得, 则,利用二项分布的方差公式可得结果. 【详解】,且，， , , 由题意可得, 所以的方差为， 故答案为:2.1 9. 已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据四点共面的等价条件以及，可得出关于的两个表达式，可得出关于的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为、、、四点共面，则存在、使得， 所以，， 所以，， 因为，即，所以，， 因为，即， 所以，，可得，解得. 故答案为：. 10. 设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化条件得数列的连续四项在集合中，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】，且数列有连续四项在集合中， ，数列的连续四项在集合中， 又是公比为的等比数列，， 数列的连续四项为，，，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，关键是对题目条件的转化，属于基础题. 11. 中，，若，，其中，则最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的加法法则得到为点A到BC的距离为2，从而为等腰直角三角形，斜边为4，再根据，其中，得到点P在线段DE上，且D，E为BC的四等分点求解. 【详解】解：如图所示： 在中，由平面向量的加法法则得为点A到BC的距离， 即，则为等腰直角三角形，斜边为4， 又，其中， 所以点P在线段DE上，且D，E为BC的四等分点， 又， 则， 当点P在点D时，的最小， 由余弦定理得， 所以， 故答案为： 12. 若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知当时，，可构造函数，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，再根据函数的奇偶性和单调性即可求解． 【详解】，， 设，则， 则，为奇函数， 又当时，，在上是减函数， 从而在上是减函数， 又,等价于， 即，，解得, 故的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要根据当时，的结构特征，发现规律，即构造函数，继而证明该函数为奇函数，再结合单调性解决问题. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知，为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用均值不等式，可证明；若，举反例可知不一定成立，即得解 【详解】由，为正实数，，当且仅当时等号成立 若，可得，故必要性成立； 当，此时，但，故充分性不成立； 因此“”是“”的必要不充分条件 故选：B 14. 从贵阳市某高中全体高一学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则参加体能测试的人数n和频率分布直方图中a的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由频率分布直方图求出测试成绩在区间的频率，再由茎叶图求出参加体能测试的人数，然后求出测试成绩在区间的频数，进而求出测试成绩在区间的频率，最后根据频率分布直方图利用频率列出方程即可求出值. 【详解】由频率分布直方图可知，测试成绩在区间的频率为， 又由茎叶图可知，测试成绩在区间的频数为， 参加体能测试的人数， 又由茎叶图可知， 测试成绩在区间的频数为， 测试成绩在区间的频率为， 又由频率分布直方图可知， 测试成绩在区间的频率为， 解得. 故选：A. 15. 记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围． 【详解】解：由已知可得， 由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2， 所以， 当n=4或5时， 取得最大值为20， 因为有且只有两个正整数n满足， 所以满足条件的和， 因为， 所以实数k的取值范围是． 故选：C． 【点睛】方法点睛：最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解. 16. 已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，判断得轨迹为抛物线一部分，建立平面直角坐标系，写出直线和抛物线段的方程，由题意，计算点到线段的最短距离，再由等体积法计算三棱锥最小体积. 【详解】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为， 连接，由题意可知，，所以， 由抛物线定义可知，的轨迹为抛物线一部分，所以的轨迹为抛物线一部分， 当点到线段距离最短时，三角形面积最小，三棱锥体积最小， 建立如图所示直角坐标系，则直线的方程为， 抛物线的方程为，， 由题意，，得，代入，得， 所以点的坐标为，所以到直线的最短距离为 ，因为， 所以， 所以三棱锥体积的最小值为. 故选：C 【点睛】求解本题的关键是能判断出点的轨迹为抛物线一部分，再建立平面直角坐标系，求解到直线的最短距离，利用等体积法求解三棱锥的最小体积. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知函数的图象关于点对称． （1）求，m的值； （2）将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式降幂后，由余弦函数的对称性可求得值； （2）由图象变换得出的表达式，再由余弦函数值域得结论． 【小问1详解】 ， 依题意可得，，， 则，． 【小问2详解】 由（1）知，则． 当时，， 则， 故在上的值域为． 18. 党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 （1）根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； （2）求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 【答案】（1），与具有较高的线性相关程度 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得，利用相关系数公式求得相关系数，比较可得结论； （2）利用回归方程的系数公式求得，继而求得，即可求得与的回归方程． 【小问1详解】 由表数据可得的平均数， 所以， 所以相关系数， 由，所以与具有较高的线性相关程度； 【小问2详解】 依题意可得， ， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为． 19. 如图在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，点E在线段AB上，且BE＝1，将△ADE沿DE折起到A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCDE． （1）求证：CE⊥平面A1DE； （2）线段A1C上是否存在一点F，使得BF//平面A1DE？说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）存在点F（A1C的五等分点靠近点A1），使得BF//平面A1DE，理由详见解析． 【解析】 【分析】（1）因为平面A1DE⊥平面BCDE，所以要证明CE⊥平面A1DE，只需证明CE⊥DE即可； （2）取CD上点M，使DM＝1＝BE，易得BM∥平面A1DE，在△A1DC内，作MF∥A1D交A1C于F，易得MF∥平面A1DE，进一步得到平面FMB∥平面A1DE，即可得到答案. 【详解】（1）证明：如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2， 点E在线段AB上，且BE＝1，∴， ，CD＝5， ∴，∴CE⊥DE， ∵平面A1DE⊥平面BCDE，平面A1DE平面BCDE，平面BCDE， ∴CE⊥平面A1DE． （2）取CD上点M，使DM＝1＝BE，又， ∴ DMBE为平行四边形，∴，又DE平面，平面, ∴平面A1DE， 在△A1DC内，作交A1C与F，因为平面，平面， 所以平面A1DE，又，∴平面平面A1DE， 又平面FMB，∴平面A1DE， ，， 故存在点F（A1C的五等分点靠近点A1），使得平面A1DE． 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及面面平行的性质定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中等题. 20. 设双曲线方程为，过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于A，B两点，直线的方程为，A，B在直线上的射影分别为C，D. （1）当垂直于x轴，时，求四边形的面积； （2），的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限，试比较与1的大小； （3）是否存在实数，使得对满足题意的任意，直线和直线的交点总在轴上，若存在，求出所有的值和此时直线和交点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，，此时两直线的交点为． 【解析】 【分析】（1））当垂直于x轴，直线方程为，四边形为矩形，将代入双曲线方程，求出坐标，得出，即可求解； （2）设的方程为，，设两点的纵坐标分别为，将的方程与双曲线方程联立，得到关于的方程，根据韦达定理得出关系，结合，,，将根据线段长公式化简, 再利用点在双曲线上可得，由, 即可得出结论； （3）设，，则，，求出直线和直线的方程，利用两条直线相交在轴上，可得，将关系，代入，得对一切都成立，有，求出交点的横坐标，即可求解. 【详解】（1）右焦点的坐标为．故． 联立解得．故， 又，故四边形的面积为； （2）设的方程为，这里． 将的方程与双曲线方程联立，得到 ，即． 由知，此时， 由于，故， 即，故，因此； （3）由（2）得．（有两交点表示） 设，，则，． 的绝对值不小于，故，且． 又因直线斜率不为零，故． 直线方程为． 直线的方程为． 若这两条直线的交点在轴上，则当时， 两方程的应相同，即 ． 故， 即． 现，， 代入上式，得对一切都成立． 即，． 此时交点的横坐标为 ． 综上，存在，，此时两直线的交点为． 【点睛】本题考查双曲线与直线的位置关系，联立直线方程和双曲线方程是解题的基础，应用韦达定理设而不求是解题的关键，将所研究的问题转化为两交点的坐标关系，考查计算能力，属于难题. 21. 已知函数，函数在处的切线与直线垂直． （1）求实数的值； （2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】 【详解】（1）∵，∴． ∵与直线垂直，∴，∴． （2）∵，∴， 由题知在上有解， ∵，设，则，所以只需 ． 故的取值范围是． （3）∵． 令，得． 由题，， ， ，则 ． ∵，所以令， 又，所以，所以， 整理有，解得． ∴． ，所以在单调递减， ． 故的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$