精品解析：四川省雅安市雅安中学2024-2025学年高二上学期入学检测数学试卷

四川省雅安中学高2023级高二上期入学检测数学试题 一、单选题 1. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ） A. 事件1与事件3互斥 B. 事件1与事件2互为对立事件 C. 事件2与事件3互斥 D. 事件3与事件4互为对立事件 2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（   ） A. B. C. D. 3. 从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 6. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为（ ） A. B. C. D. 8. 甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（ ） A. B. C. 事件与是互斥事件 D. 事件与是相互独立事件 10. 已知事件A，B，且，则（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果A与B相互独立，那么 D. 如果A与B相互独立，那么 11. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（ ） A. 的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D. 若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 三、填空题 12. 已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则______． 13. 随着阿根廷队的夺冠，2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则，两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同，则进行30分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入5球点球大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门，进球得1分，不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8，乙队每次进球的概率均为0.5，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概率为______. 14. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为______． 四、解答题 15. 经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数； （2）若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率． 16. 甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况； （2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？ （3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由. 17. 杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐． 传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组． （1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）证明平面； （2）证明平面； （3）求二面角的大小. 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省雅安中学高2023级高二上期入学检测数学试题 一、单选题 1. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ） A. 事件1与事件3互斥 B. 事件1与事件2互为对立事件 C. 事件2与事件3互斥 D. 事件3与事件4互为对立事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解. 【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：, 事件3可表示为：,事件4可表示为：, 因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为为不可能事件，为必然事件， 所以事件1与事件2互为对立事件，B正确； 因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误； 因为为不可能事件，不为必然事件， 所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误； 故选：B. 2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：共3组， 故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A. 3. 从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则A，B，C两两互斥，，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解. 【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C， 则，，且. 因为A，B，C两两互斥， 所以. 故选：C. 4. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间直角坐标系对称点的特征即可求得结果. 【详解】根据空间直角坐标系中点坐标的特征可知， 关于原点对称的点的坐标需要把横坐标、纵坐标、竖坐标都变为原来的相反数， 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故选：D 5. 甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，表示出该题未被解出的概率，然后列出方程，即可得到结果. 【详解】设乙独立解出该题的概率为， 由题意可得，∴． 故选：B. 6. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 7. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合独立事件概率的乘法公式求恰好投中两次的概率，列方程求解即可得结果. 【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，则， 可知恰好投中两次为事件， 故恰好投中两次的概率，解得． 故选：A. 8. 甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算可得． 【详解】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时， 甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示）， 若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为， 若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为， 所以丙获胜的概率为． 故选：B． 二、多选题 9. 不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（ ） A. B. C. 事件与是互斥事件 D. 事件与是相互独立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式、互斥及对立事件的定义判断选项即可求解. 【详解】由题意，，故A正确； ，故B错误； 事件A，B可能同时发生，所以事件与不是互斥事件，故C错误； 事件是否发生，不影响事件B发生的概率，所以事件与是相互独立事件，故D正确. 故选：. 10. 已知事件A，B，且，则（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果A与B相互独立，那么 D. 如果A与B相互独立，那么 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件关系及运算有、，由事件的相互独立知，结合事件的运算求、. 【详解】A：由，则，正确； B：由，则，正确； C：如果A与B相互独立，则， ，错误； D：由C分析及事件关系知：，正确. 故选：ABD. 11. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（ ） A. 的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D. 若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由样本空间的定义判断A，根据古典概型概率计算公式，互斥事件的加法及独立事件的乘法公式判断BCD． 【详解】对于A，由于的各位数字中，都可能为0或1，则的所有实验结果构成的样本空间中有个样本点，正确； 对于B，若的各位数字都是等可能地取值0或1，则，所以的概率等于的概率，错误； 对于C，若的各位数字都是等可能地取值为0或1，如果中各位数字之和是4，即5个数字中有4和“1”和1个“0”， 可能情况有：，共有5种等可能情况，其概率，正确； 对于D，由于，数字中恰有2个0，即在四个数中恰好有2个0,2个1， 可能情况有：，共有6种情况， 启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为，正确； 故选：ACD． 三、填空题 12. 已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【详解】四点共面且任意三点不共线，， ，． 故答案为： 13. 随着阿根廷队的夺冠，2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则，两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同，则进行30分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入5球点球大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门，进球得1分，不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8，乙队每次进球的概率均为0.5，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概率为______. 【答案】0.304 【解析】 【分析】先计算甲队获胜或平局的概率，再讨论甲队最终获胜的情况，依次计算其概率即可. 【详解】甲队在每轮点球比赛获胜的概率为， 甲队在每轮点球比赛平局的概率为. 由题可知最终甲队获胜，则后三轮比赛只能有两种情况： ①甲获胜两轮，剩下一轮甲乙平局，最终甲队获胜的概率为； ②甲获胜三轮，该情况下最终甲队获胜的概率为， 综上，甲队获胜的概率为0.24＋0.064＝0.304. 故答案为：0.304 14. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为______． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知，正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为； 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为奇数的方法总数为：，共种， 故运算次数均为奇数的概率为． 故答案为： 四、解答题 15. 经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数； （2）若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率． 【答案】（1），中位数为（分） （2） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形的面积之和为即可求出，再根据频率分布直方图求出中位数即可； （2）分别求出和的市民人数，再根据古典概型即可得解. 【小问1详解】 由题意可得， 解得， 由， 可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为， 则，解得， 所以此次问卷调查分数的中位数为（分）； 【小问2详解】 的市民有人，记为a，b， 的市民有人，记为1，2，3，4， 则从中抽取两人的基本事件有：共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种， 则所求概率为. 16. 甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况； （2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？ （3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由. 【答案】（1） （方片4用字母表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）， 可得基本事件的空间为：（2，3）、（2，4）、（2，）、（3，2）、（3，4）、（3，）、 （4，2）、（4，3）、（4，）、（，2）、（，3）、（，4） （2） （3） 根据题意，甲抽到的牌比乙大的有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（，2）、（，3）， 共有5种情况，所以甲胜的概率，乙获胜的概率为， 因为，所以此游戏不公平． 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用列举法，即可求解基本事件的总数及基本事件的空间； （2）由乙抽到的牌只能是2，4，，进而求得乙抽到的牌的数字大于3的概率； （3）根据古典概率的概率计算公式，分别求得甲、乙获胜的概率，即可得到结论. 【小问1详解】 解：甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用字母表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）， 可得基本事件的空间为：（2，3）、（2，4）、（2，）、（3，2）、（3，4）、（3，）、 （4，2）、（4，3）、（4，）、（，2）、（，3）、（，4），共12种不同情况， 【小问2详解】 解：由题意，甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，， 所以乙抽到的牌的数字大于3的概率为. 【小问3详解】 略 17. 杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐． 传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组． （1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】（1）；； （2）淘汰赛制获得冠军概率为，双败赛制获得冠军概率为；双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的． 【解析】 【分析】（1）若拿冠军则只需要连赢两场，对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，然后根据独立事件的乘法公式计算即可； （2）根据独立事件的乘法公式分别算出在不同赛制下拿冠军的概率，然后作差进行比较. 【小问1详解】 记拿到冠军分别为事件淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，因此， 对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者， 因此． 【小问2详解】 记两种寒制下获得冠军的概率分别为，则. 而双败赛制下，获得冠军有三种可能性： （1）直接连赢三局；（2）从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；（3）直接掉入败者组拿到冠军. 因此，，. 则不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于，. 若，双败赛制下，队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小， 若，双败赛制下，以伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大， 综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）证明平面； （2）证明平面； （3）求二面角的大小. 【答案】（1） 方法一： 证明：连接，交于，连接． 因为底面是正方形，所以点是的中点， 在中，是中位线，所以， 而平面且平面， 所以，平面. 方法二： 证明：如图所示为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设. 连接，交于，连接． 依题意得．,,， 因为底面是正方形，所以是此正方形的中心， 故点的坐标为且．，， 所以，这表明． 而平面且平面，所以平面． （2） 方法一：证明：由底面，面，得， 因为底面是正方形，有， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 因为，可知是等腰三角形，而是边的中点，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 又，，平面，所以平面． 方法二：证明：依题意得，， 又，故， 所以， 由已知，且，面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】法一：（1）连接，交于，连接要证明平面，只需证明直线平行平面内的直线； （2）要证明平面，只需证明垂直平面内的两条相交直线、即可； （3）必须说明是二面角的平面角，然后求二面角的大小． 法二：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设． （1）连接，交于，连接，求出，即可证明平面； （2）证明，，即可证明平面； （3）求出，利用，求二面角的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法一：解：由（2）知，，又已知，故是二面角的平面角． 由（2）知，，， 设正方形的边长为， 则，，， ，， 在中，， 在中，，所以， 所以，二面角的大小为． 方法二：解：设点的坐标为，，则， 从而，，， 所以， 由条件知，，即，解得， 所以点的坐标为，且，， 所以 即，故是二面角的平面角． 因为， 且，， 所以 所以 所以，二面角的大小为. 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 【答案】（1）① ； ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则． 记事件为“三次收到的数字之和为2”， 则． 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2） 【解析】 【分析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，证明即可； （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得，解不等式可解. 【小问1详解】 ①记事件为“至少收到一次0”，则． ②略 【小问2详解】 记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则． 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则． 根据题意可得，即， 因为，所以， 解得，故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $