精品解析：四川省岳池中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

高2023级高二上学期入学考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的含义即可得到答案. 【详解】因为，又， 所以根据交集的定义得. 故选：B 2. 某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据分层抽样的定义，即可得到结论． 解：∵高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人， ∴取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为， 故选D． 点评：本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础． 3. 复数与都是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，先设（且），代入，再根据其为纯虚数求解. 【详解】设纯虚数（且）， 则， 又是纯虚数， 所以， 解得， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查了算数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理，求解. 【详解】根据余弦定理，， 得，解得或（舍）. 故选：B 5. 用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积. 【详解】解：根据斜二测画法的原则可知， ∴对应直观图的面积为， 故选：B. 【点睛】本题主要考查利用斜二测画法画空间图形的直观图，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键，比较基础. 6. 在中，点D在BC边上，且BD=2DC，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的加减法及平面向量的基本定理,以为基底表示即可. 【详解】由向量的加减法可得:. 故选:B. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理,考查向量的加减法,属于基础题. 7. 一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点测得电线杆顶端的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为（ ）米（，忽略人的身高） A. 23.66 B. 24.66 C. 25.66 D. 26.66 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用锐角三角函数的定义，将，用表示出来，结合，列式求解即可. 【详解】根据题意设，则在中，， 所以， 在中，， 所以， 因为，所以， 所以米，即电线杆的高度约为23.66米. 故选：A. 8. 如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把棱台还原为棱锥，利用大小棱锥的相似比可求出棱台的高. 【详解】 如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长均为6， 如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高， 所以根据三棱锥的棱长均为6，三棱锥的棱长均为12， 可知相似比为，通过相似关系可知，三棱台的高也为； 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为4 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，代入化简可求出，然后逐个分析判断即可. 【详解】令，则由，得 ， 所以，解得， 所以， 对于A，的虚部为4，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：AC 10. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若，是相反向量，则 B. 若，是共线的单位向量，则 C. 若，则向量，共线 D. 若，则点，，，必在同一条直线上 【答案】AC 【解析】 【分析】利用相反向量、共线向量的概念分析判断各选项得解. 【详解】对于A，若，是相反向量，则，A正确； 对于B，，是共线的单位向量，则或，B错误； 对于C，，即，则向量，共线，C正确 对于D，，点，，，可以不在同一直线上，D错误. 故选：AC 11. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. 该八面体的表面积是 B. 该八面体的体积是 C. 直线与平面所成角为 D. 动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求出一个等边三角形的面积，从而得到八面体的表面积；B选项，作出辅助线，得到正四棱锥的高，从而得到，求出八面体的体积；C选项，找到即为直线与平面所成角，求出正弦值，得到角的大小；D选项，先找到外接球的球心和半径，作出辅助线，证明线面垂直，得到四边形截外接球的大圆即为点的轨迹，求出轨迹长度. 【详解】A选项，棱长为2的等边三角形面积为， 故该八面体的表面积，A正确； B选项，连接，相交于点，连接，则为正四棱锥的高， 则， 由勾股定理得， 故，该八面体的体积是，B错误； C选项，由B选项可知，即为直线与平面所成角， 其中，故，C正确； D选项，由于， 故该八面体的外接球的球心为，半径为， 取的中点，的中点，连接，， 由对称性可知，相交于点，即正方形的中心， 故四点共面， 由于均为等边三角形，故⊥，⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故四边形截外接球的大圆即为点的轨迹， 其长度为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解决与球有关外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置，注意球心到各个顶点的距离相等，可充分利用几何体的对称性，找到球心的位置或者找到球心在某个平面的投影位置，进而求出半径，得到答案. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据的％分位数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】从小到大排列，按照百分位数的定义进行求解. 【详解】从小到大排列为，共7个数据， ，故从小到大，选取第3个数作为40％分位数，即7. 故答案为：7 13. 在中，，，，则边长______. 【答案】 【解析】 【分析】先由已知条件求出角，然后利用余弦定理可求出. 【详解】由得. 由余弦定理得，， 解得. 故答案为： 14. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号） ①是的垂心；②； ③；④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，，即可判断①；根据①可知，，，再由三角形内角和定理即可判断②；延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而求解③；利用三角形面积公式和奔驰定理即可证明④. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，又， 所以，故②不正确； 由②知，， 延长交于点， 所以 ， 同理可得， 所以， 所以，故③正确； 由，， 则 ， 同理， 所以， 又， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知与的夹角为. （1）求在方向上的投影向量； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量在向量上的投影向量的概念求解； （2）根据数量积的运算法则求模即可. 【小问1详解】 在方向上的投影向量为. 【小问2详解】 . 16. 为提高中小学生对交通安全的认识，某市的全体中小学生参加了“小手拉大手”交通文明知识答题比赛，从所有答卷中随机抽取1000份成绩作为样本，将样本数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图. （1）请通过频率分布直方图估计这1000份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前40%的学生，某学生知识竞赛的成绩是75，请估计该学生能否得到表彰？ 【答案】（1） （2）该学生可以得到表彰 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的平均数公式计算可得； （2）依题意求出竞赛成绩的第60百分位数可得结论. 【小问1详解】 由题意知这1000份样本数据的平均值为 . 则这1000份样本数据的平均值为. 【小问2详解】 由题意得表彰的最低分为第60百分位数， 设第60百分位数为， 则 解得， 而，所以该同学能得到表彰. 17. 如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点为，连接，如下图所示： 在中，为的中点，的中点为，则，且； 由已知，可得且， 所以四边形为平行四边形，可得， 易知平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，易证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论； （2）作出异面直线与所成角的平面角，再由余弦定理可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接， 所以，且，可得四边形为平行四边形， 即，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 由可得，由勾股定理可得， 所以； 即可得异面直线与所成的角的余弦值为. 18. 已知的内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知根据三角恒等变换结合正弦定理可得，由角的范围即可求解； （2）将两边完全平方可得，根据面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 解得或，因为，所以， 所以. 19. 如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正切值. 【答案】（1） 设，连接，因为底面为菱形， 所以为的中点，， 又，所以， 平面，， 所以平面.又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连结，先证明平面，进而证明平面平面； （2）过点作交于点，即可证明平面，过点作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在中， 因为，所以， 因为所以， 在中，， 又平面，平面，所以， 所以， 所以二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高二上学期入学考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为 A. B. C. D. 3. 复数与都是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或2 5. 用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 在中，点D在BC边上，且BD=2DC，则（ ） A. B. C. D. 7. 一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点测得电线杆顶端的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为（ ）米（，忽略人的身高） A. 23.66 B. 24.66 C. 25.66 D. 26.66 8. 如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为4 B. C. D. 10. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若，是相反向量，则 B. 若，是共线的单位向量，则 C. 若，则向量，共线 D. 若，则点，，，必在同一条直线上 11. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. 该八面体的表面积是 B. 该八面体的体积是 C. 直线与平面所成角为 D. 动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据的％分位数为______． 13. 在中，，，，则边长______. 14. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号） ①是的垂心；②； ③；④ 三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知与的夹角为. （1）求在方向上的投影向量； （2）求的值. 16. 为提高中小学生对交通安全的认识，某市的全体中小学生参加了“小手拉大手”交通文明知识答题比赛，从所有答卷中随机抽取1000份成绩作为样本，将样本数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图. （1）请通过频率分布直方图估计这1000份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前40%的学生，某学生知识竞赛的成绩是75，请估计该学生能否得到表彰？ 17. 如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 18. 已知的内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，，，求的面积． 19. 如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $