上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

2024-2025学年上海市延安中学高三年级上学期 开学考数学试卷 2024.9 一、填空题(本大题共有12小题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得0分. 1若集合A={1,3,4},B={2,4},则AUB= 2.不等式1-x<0的解集为一 3若z=√2+i(i为虚数单位),则z2的共轭复数为 4.若角a的终边经过点P(3,4),则cosa+tana= 5.某校高一(1)班有学生40人,其中共青团员15人,全班分成4个小组,第一组有学生 10人,共青团员4人,从该班任选一个作学生代表已知选到的是共青团员,求他是第一组 学生的概率 6若(x- 的二项展开式中x的系数是-84,则实数a= 7.已知圆C:(x+2)}+(y-4)2=1,则圆心C到直线1:a+y-k+3=0的最大距离为 8.设当x=0时,函数f(x)=sinx-V3cosx取得最大值,则cos0 9.已知M(xy)为函数f(x)=cosx(0≤x≤2 )图像上的任意一点,则x+2y的最大值 为 10.已知两个非零向量 ,方满足a+=后-2,则向量 在向量i方向上的投影向量为 1定文H,-4+2a,+…+2a为数列a}的“均值”,已知数列亿,}的“均 值”Hn=2,记数列{亿。-n}的前n项和为Sn,若Sn≤S对任意正整数n恒成立,则 实数k的取值范围为 12若关于x的方程x2-21lnx+3(1-4)=0在区间(0,e)内有两个不同的实数解,那么实 数1的取值范围是 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分) 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.“x=4”是“x23成立的()条件. A充分非必要 B.必要非充分 C,充分必要 D.既非充分又非必要 14.若甲乙两人从4门课程中各选修2门,则甲乙所选的课程中恰有1门相同的选法有() A.6种 B.12种 C.24种 D.30种 15.已知正方体ABCD-4BCD的棱长为,线段BD,上有两个动点E,F,若EF= 2 则下列结论中错误的是() A.AC⊥BE B.EF/平面ABCD C.异面直线AE,BF所成的角为定值 D,三棱锥A-BEF的体积为定值 16我们知道,互相垂足且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。如果坐标系中两条 坐标轴的原点重合且不互相垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”。在斜坐标系中,两条 坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点,其坐标记为(0,0)。在x轴(y轴)上的点的纵坐 标(横坐标)为0,如图,在斜坐标系中,如果x轴与y轴相交所成的角为日,过平面任意 一点P,分别作坐标轴的平行线,交x轴于点M,交y轴于点N,将点M在x轴上的坐 标a,点N在y轴上的坐标b称为点P在该坐标系中的坐标,记为P(a,b)。若 A(x,片),B(x,2)是该坐标系中的任意两点,则点A,B之间的距离|A为() AVx-}+(y-)月 B.V(x-x)+2(x-3)y-为)cos0+(y-y)月 C.(x-x)'-2(:-)y-)cos0+(y-2)月 D.Vx-x2)' 2(x-3)(y-)cos0+(%-) 三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 如图,已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为a. (1)求直线AC和平面ABCD所成角的大小: (2)求二面角C-AB-C的大小. 18.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分) 已知f(x)=x+asinx,曲线y=f(x)在点P( , )处的切线斜率为2. (1)求a的值: (2)求不等式f(x+1)+f(3-2x)>0的解集。 19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 在课后2021年8月,义务交于阶段“双减"政策出台,某初中在课后延时服务开设奥数、科 技、体有等特色课程,为了进一步了解学生选课的情况,所及选取了400人进行调查问卷, 整理后获得如下统计表: 喜欢奥数不喜欢奥数」总计 已选奥数课(A组) 150 50 200 未选奥数课(B组) 90 110 200 总计 240 160 400 (1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人,则应在A组、B组 各抽取多少人? (2)能否有99.5%的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关? 附: P(z22k) 0.010 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 参考公式:x= n(ad-bc) 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 在平面直角坐标系xOy中,.已知双曲线C,:2x2-y2=1. (1)过C的左顶点引C的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及x轴围成的 三角形的面积: (2)设斜率为1的直线I交C,于P、Q两点,若1与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ: (3)设椭圆C:4x2+y2=1,若M、N分别是C、C2上的动点,且OM⊥ON,求 证:O到直线MN的距离是定值. 21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 己知数列{an}中的相邻两项a2-1,a2a是关于x的方程x2-(3k+2)x+3k 2=0的两个 根,且a2-1≤a2(k=1,2,3,…) (1)求a1,a,a5,4 (2)求数列{an}的前2n项和Sn: (3)记f(m)= 2 sinn 一,求 52024-2025学年上海市延安中学高三年级上学期 开学考数学试卷 2024.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.若集合A={L,3,4},B={2,4},则AUB= 【答案】{，2,3,4 【解析】AUB=1,2,3,4} 2不等式1-<0的解集为 【答案】（-o,-1)U(1,+∞) 【解析】1-x<0→x>1→x>1,或x<-1. 3.若z=√2+i（i为虚数单位)，则z2的共轭复数为 【答案】1-22i 【解析】2=(V2+i=1+2√21，则z2的共轭复数为1-2W21. 4.若角a的终边经过点P(3,-4),则cosa+tana=. 【答案】 、 15 3.-411 【解析】cosa+tana=二+ 5315 5.某校高一(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生 10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表已知选到的是共青团员，求他是第一组 学生的概率 4 【答案】 15 【解析】设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”， 由题意，P(A)=10=, 404' 要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(AB), 不难理解，在事件B发生的条件下，有15种不同的选择， 第1页（共10页） 其中属于第一组的有4种选择，因此P(4B)= 4 9 6若 的二项展开式中x3的系数是-84，则实数a= 【答案】1 【解折1设7=G产（=C(-产为含的项，则9-2=3→r=3, ∴.Cg(-aj=-84→a=1. 7.已知圆C:(x+2)}+(y-4)2=1,则圆心C到直线1：c+y-k+3=0的最大距离为 【答案】√58 【解析】直线经过的定点为(1，-3)，当圆心(-2,4)与定点(1，-3)的连线与直线垂直时，距 离最大为√32+72=√58】 8.设当x=B时，函数f(x)=sinx-V3cosx取得最大值，则cos0 【答案】-⑤ 2 【得折】f创=血x-5cosx=2n(文-写到户0-号-7+2 32 →9=g+2→s0=- 2 9.已知M(x,y)为函数f(x)=cosx(0≤x≤2π)图像上的任意-点，则x+2y的最大值 为 【答案】2π+4 【解折】设g()=x+2y=x+2c0s宁g'()=1-2s血x=0x=若x= 5π 6 则可知首x0)餐2g(单流莲瑞，当r(后)时，g创单调莲诚 8=君+5，g2)=2a+4>8 则x+2y的最大值为2π+4. 第2页（共10页） 10.已知两个非零向量a,6满足a+=a-2,则向量a在向量6方向上的投影向量为 【答1五 【解析】+=6-2→a+2a-6+6=a-4a6+462→a.6=62, 则向量a在向量石方向上的投影向量为95石-6. 阿21 1.定义H,-8+2a,++2a为数列{a}的“均值”，已知数列，}的“均 n 值”Hn=2,记数列{亿。-m}的前n项和为Sn,若Sn≤S。对任意正整数n恒成立，则 实数k的取值范围为 【答案】 【解折】因为H,=+26+…+2色=2，所以么+26，十…+2r6=n-2叫， n 所以b+2b2+…+2m-2bn1=(n-1)2”(n≥2)， 所以2-b,=n2-(-10-2”=(+)2”, 对b也成立，所以bn=2(n+1),则bn-n=(2-k)n+2, 所以数列{b。一为等差数列， 记数列{b,-m为{cn}.故Sn≤S。对任意的n(n∈N)恒成立， [6(2-k)+2≥0 可化为：c6≥0，c7≤0，即 7(2-)+2≤0 12.若关于x的方程x2-21lnx+3(t-4)=0在区间(0，e)内有两个不同的实数解，那么实 数t的取值范围是 【答案】 12 3 e2+1 【解折】m2-21nx+3-4)=0→(：2-2hx+3)=12今2-2nx+3=2， 第3页（共10页） 设f(x)=2-2nx+3,f(x)=2x-2, 则可知当x∈(0,1)，f(x)单调递增，当x∈(L,+o)时，f(x)单调递减， 若关于x的方程x2-2tlnx+3(t-4)=0在区间(0，e)内有两个不同的实数解， 则eU0e-e+=e异3 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑， 13.“x=4”是“x≥3”成立的（)条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C充分必要 D.既非充分又非必要 【答案】A 【解析】由小范围推大范围可知为充分非必要条件，故选A. 14若甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( A.6种 B.12种 C.24种 D.30种 【答案】C 【解析】则甲乙所选的课程中怡有1门相同的选法有C4CC2=24, 故选C. 15已知正方体ABCD-4B,CD的棱长为1，线段AD,上有两个动点E,F,若EF= 2 则下列结论中错误的是() A.AC⊥BE B.EF//平面ABCD C.异面直线AE,BF所成的角为定值 D.三棱锥A-BEF的体积为定值 【答案】C 【解析】对于A,AC⊥平面BBDD,又BEc平面BBDD, .AC⊥BE故A正确： 对于B,BDII平面ABCD,又E,F在直线BD上运动， .EF//平面ABCD,故B正确： 对于D,由于点B到直线B,D的距离不变，故△BEF的面积为定值， 又点A到平面BEF的距离为V 故三棱锥A-BEF的体积为定值，故D正确： 2 对于C,当点E在D处，F为BD的中点时，异面直线AE,BF所成的角是∠ODA, 当E在上底面的中心时，F在B,的位置，异面直线AE,BF所成的角是∠OEA, 第4页（共10页） 显然两个角不相等，故C不正确， 故选C. 16我们知道，互相垂足且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。如果坐标系中两条 坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”。在斜坐标系中，两条 坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为(0,0)。在x轴(y轴)上的点的纵坐 标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果x轴与y轴相交所成的角为日，过平面任意 一点P,分别作坐标轴的平行线，交x轴于点M,交y轴于点N,将点M在x轴上的坐 标a,点N在y轴上的坐标b称为点P在该坐标系中的坐标，记为P(a,b)。若 A(:,乃)，B(x2,2)是该坐标系中的任意两点，则点A,B之间的距离AB为（) A(x-x+(-} B.Vx-x)+2(x-x)4-)os8+(y-y2)月 C.V(x-)-2(x-x)(y-y2)cos8+(y-)2 D.V(x-x)}±2(x-x)(y-h)cos0+(y-2)月 M 【答案】B 【解析】设x轴方向的单位向量为i,y轴方向的单位向量为j, OA=xi+yj,OB=xi+yj, 得AB=(x2-x)i+(y2-y)方， 第5页（共10页） 由向量的数量积运算，得a=AB.AB,i时=cos0=cos0, 从而得Vx-x)}+2(名-x)-)os0+(y-)}, 故选B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为a. (I)求直线AC和平面ABCD所成角的大小： (2)求二面角C,-AB-C的大小 D B C 【答案】(l)arctan √2 ；(2) 4 【解析】(I):CC⊥平面ABCD,.直线AC和平面ABCD所成角为∠CAC, tan∠CAC= CC a v2 AC 2a 2 则直线AC和平面ABCD所成角的大小为arctan: 2 (2):BC⊥AB,BC⊥AB, 则二面角G-AB-C的平面角为∠CBC,= 4 18.(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分) 己知f(x)=x+asinx,曲线y=f(x)在点P(π，π)处的切线斜率为2. (1)求a的值： (2)求不等式f(x+1)+f(3-2x)>0的解集. 第6页（共10页） 【答案】(1)-1：(2)（-0,4) 【解析】(1)由题意知点P(π，π)在曲线上， f(x)=x+asinx,..f'(x)=1+acosx, ∴.f'(π)=1+acosπ=1-a=2→a=-1. (2)由(1)知f(x)=x-sinx→f'(x)=1-cosx20恒成立， 则y=f(x)在R上为严格增函数，且为奇函数， 则f(x+1)+f(3-2x)>0→f(x+1)>-f(3-2x)=f(2x-3), ∴.x+1>2x-3→x<4, 则不等式f(x+1)+f(3-2x)>0的解集为(-∞，4) 19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 在课后2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科 技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，所及选取了400人进行调查问卷， 整理后获得如下统计表： 喜欢奥数」不喜欢奥数」总计 已选奥数课(A组) 150 50 200 未选奥数课(B组) 90 110 200 总计 240 160 400 (1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组 各抽取多少人？ (2)能否有99.5%的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？ 附： P（x22k) 0.010 0.005 0.001 k。 6.635 7.879 10.828 n(ad-bc)' 参考公式：t=a+bc+d)(a+cb+d 其中n=a+b+c+d. 【答案】(1)20,12：(2)有关 【解析】(1)应在A组抽取32x150=20,应在B组抽取32×90=12. 240 240 (2)零假设为H。：选报奥数延时课与喜欢奥数无关根据列联表中的数据，经计算得到 第7页（共10页） X=400x15010-90x50=375>7879. 200×200×240×160 因此依据a=0.005的独立性检验，可以推断H。不成立， 因此有99.5%的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关. 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 在平面直角坐标系xOy中，，已知双曲线C1:2x2-y2=1. (1)过C,的左顶点引C的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的 三角形的面积： (2)设斜率为1的直线交C,于P、Q两点，若1与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ: (3)设椭圆C2：4x2+y2=1,若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON,求 证：O到直线MN的距离是定值 【答案】(1) 8：(2)见解析：(3)是 【解析】(1)双曲线C1:2x2-y2=1,左顶点A 渐近线方程：y=±V2x. 过点4与清近线y=万x平行的直线方程为y=万文+空 ,即y=V2x+1. .V2 解方程组 y=-2x X= y=V2x+11 得 4 y-2 所以所求三角形的面积1为S-引O4 8 (2)设直线PQ的方程是y=x+b.因直线与已知圆相切， 0=1,即b=2 由 22-y2=1得r-2x-62-1=0. 了y=x+b 设P(,),2(5,),则五+五=26 xx2=-b2-1 所以0P.00=xx32+y2=2xx2+b(x+x)+b2 =2(-b2-1)+b2b+b2=b2-2=0, 故OP⊥OQ. (3)当直线ON垂直于x轴时， 1oW=1,oM=2 ),则O到直线MN的距离为V3 3 第8页（共10页） 当直线ON不垂直于x轴时， 设直线ON的方程为y=c(显然k> 5,则直线OM的方程为y= X k x2= 由 y=kx 得 4+k2 4x2+y2=1' k2 ,所以ONP=1+2 y2= 4+2 4+k2 同理1OMP=1+ 2k2-1 设O到直线MN的距离为d,因为(OMP+|ONP)d2OM1ONP, 1 1 3+3=3,即d= 际以定OMFON序+ 3 综上，O到直线MN的距离是定值 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 己知数列{a}中的相邻两项a2k-1,ak是关于x的方程x2-(3k+2)x+3k.2=0的两个 根，且a2k-1≤a2k(k=1,2,3,). (1)求a1,a3,a5,a: (2)求数列{an}的前2n项和S2m: 一，求 2sinn aaz aas asa a2n-azn 证： Γ24 【答案】①4=2,4=4,4=8,4=l12:(2)S,-37+3n+2-2:03)见 2 解析； 【解析】(1)由题设：(x-3k)x-2)=0,即两根为3k、2,又a2k-1≤a2k(k=1,2,3,), 当1≤k≤3，k∈N时，3k>2,即ak=3k,a2k-1=2*； 当k≥4，k∈N时，3k<2，即a2k=2，a2k-=3k: a=a2x1=2,43=a2x2-1=4,a45=a2x3=8,a7=a2x4=12 (2)3=4+a+…+a,=3+6+…+30+2+2++2）=3m+3n+2l-2. 2 第9页（共10页） 》Z=+-11++l,商= aaz agas asas aas azm-azn a261 =1+1=5 a%3aa424' 当n≥3时， 6agds asds aa-dam 6 aas asds a2n-12m 同时， T.=24a4。a,4+an4,24aa,aa48 42岁42京 51,1,1 6s7s 综上， 4得证 第10页（共10页）