精品解析：2024年福建省中考数学模拟试题（黑卷）

2024年福建省中考数学模拟试卷（黑卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 24的相反数是（　　） A. B. C. D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数是解答此题的关键． 相反数：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数． 【详解】解：24的相反数是． 故选：A． 2. 如图几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图．找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：这个组合体的俯视图是两个同心圆． 故选：B． 3. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4. “二十四节气”是我国古代农耕文明的重要成果，对于指导农业生产具有重大意义．下列为小明设计的四个节气的图标（不含文字），其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 大雪 B. 芒种 C. 谷雨 D. 立秋 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方，根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 6. 根据福建省统计局数据，福建省年的出生人数为万人，年的出生人数为万人．设这两年福建省出生人数的年平均下降率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年的出生人数及年的出生人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：， 故选：B． 7. 如图，内接于⊙，，是⊙的两条切线，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线性质，圆周角定理，三角形内角和性质，先连接，，由切线性质得，再由，，则，结合等边对等角以及三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，， ，是的两条切线， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 8. 某镇持续调整农业产业结构，引导百姓发展鲜切花产业，为当地百姓的增收致富拓宽了渠道．小航家在温室大棚里种植了玫瑰花，他统计了月份每枝玫瑰花的平均成本和平均售价，绘制了如图折线统计图，下列说法错误的是（ ） A. 平均利润最大的月份是2月份 B. C. 月份平均售价的中位数为3 D. 月份平均利润为3元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，中位数，方差．根据统计图对四个选项逐个分析判断即可作出选择． 【详解】解：月份平均利润分别为：2元；5元；3元；2元；3元， 平均利润最大的月份是2月份，故选项A正确，不符合题意； 从折线图可以看出平均售价的波动比平均成本的波动大， ，故选项B正确，不符合题意； 月份平均售价按由小到大排列为：3，4，4，5，6， 月份平均售价的中位数为4，故选项C错误，符合题意； 月份平均利润为：（元， D选项正确，不符合题意． 故选：C． 9. 福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔的高度（如图，在离白塔底端正前方8米的处，用高为1.5米的测角仪测得白塔顶部A处的仰角为，则白塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考解直角三角形应用，关键在于能熟练地在不同直角三角形中解直角三角形． 过点作，垂足为，由中，，，，结合米，即得米． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，米， 在中，， （米， 米， 白塔的高度为米． 故选：A． 10. 已知抛物线经过三点，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 依据题意，由抛物线为，从而对称轴是直线，再由和进行分类讨论，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为， ∴对称轴是直线． 若，则， ∴抛物线开口向上． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵经过三点， 又， ∴，故A错误，C正确． 若，则， ∴抛物线开口向下． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∵经过三点， 又， ∴，故B、D错误． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知反比例函数的图象过点和点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据解答即可．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象过点和点， ∴， ， 解得． 故答案为：． 12. 将一枚点数为且质地均匀的正方体骰子投掷一次，观察向上一面的点数，则向上一面的点数大于的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事情的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 直接应用求概率的公式求解即可． 【详解】∵一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，点数大于的有，，共个， ∴向上一面的点数大于的概率为． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角和角平分线的定义．通过三角形的外角得出的度数，再通过角平分线得出的度数． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为：． 14. 不等式组的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再取它们公共解集，即可作答． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为：． 故答案为：． 15. 已知任意两个非零实数，满足，小玲说可以得到．下面为小玲给出的证明过程： ，第一步 ，第二步 即，第三步 ，第四步 即，第五步 两边开平方，得，第六步 ． 以上证明过程中，开始出现错误的是第______步． 【答案】六 【解析】 【分析】根据等式的性质进行判断即可．本题考查等式的性质，运用完全平方公式进行运算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：由可得， 那么他是从第六步出错的， 故答案为：六． 16. 如图，在菱形中，，对角线，交于点，动点在边上（不与点重合），连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，现有以下结论：①点，之间的距离为定值；②；③的值可以是；④或．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，连接，根据菱形的性质和垂直平分线得到是的中位线，得到，然后逐个推理即可． 【详解】解：如图，连接， 由题可得是的中点，是的中点， 是 的中位线， ， 点在平行于的直线上运动， 点，之 间的距离不为定值， ①说法错误； 当点在线段上时， 四边形是菱形，， ，，， ， ； 当点在线段上时，此时点在直线上方， ∴， 或， ④说法正确； ∵是的垂直平分线， ， 菱形的对角线，交于点， ， 点，，，在以线段为直径的圆上， ∴， ∴， 在中，， ②说法正确； 当点与点重合时，取最小值， 此时， ∵为定值， ∴取最小值时，得最小值， 最小值大于，故不可能取到． 故③说法错误． 故答案为：②④． 三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算．根据绝对值的化简，算术平方根的性质以及零次幂的性质计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，延长到点E，使得，连接，，若．求证：． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 先根据四边形是平行四边形，得到，，进而可得，证明 ，据此即可证明． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化．根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 某校积极倡导人文运动观念，提倡体育与文化、教育的有机结合，提高同学们的身体素质．为了了解本校八、九年级学生每周体育锻炼的时间，随机抽取了八、九年级部分学生，对其每周体育锻炼的时间（单位：）进行了统计，汇总得到如下报表（经调查八、九年级学生每周体育锻炼的时间少于）： 调查主题 中学学年学生每周体育锻炼的时间 调查方式 抽样调查 调查对象 本校八、九年级学生 数据的收集、整理与描述 您每周体育锻炼的时间（记为，单位：）是_____ 建议 （1）若八年级共有600名学生，估计八年级全体学生中每周体育锻炼时间少于的人数； （2）通过调查报告能否得出所调查的学生中八年级学生每周体育锻炼总时长大于九年级学生每周体育锻炼总时长？并说明理由； （3）请写出一条你对学生每周体育锻炼的建议． 【答案】（1）60人 （2） 解：不能，理由如下： 若八年级学生每周体育锻炼时间在、、、的区间内都取最小值，九年级学生每周体育锻炼时间在、、、的区间内都取最大整数值， 则所调查的八年级学生每周体育锻炼的总时长为， 所调查的九年级学生每周体育锻炼的总时长为， ， 所调查的学生中九年级学生每周体育锻炼总时长有可能大于八年级学生每周体育锻炼总时长． （3）学生应该多进行体育锻炼，有助于增强身体素质 【解析】 【分析】（1）先求出本次调查的总人数，再求出所调查的八年级学生中每周体育锻炼时间少于的人数，接着求出本次抽样调查的八年级学生人数总数，进而可以求得； （2）若八年级学生每周体育锻炼时间在、、、的区间内都取最小值，九年级学生每周体育锻炼时间在、、、的区间内都取最大整数值，分别求出所调查的八、九年级学生每周体育锻炼的总时长，然后再比较即可得出答案； （3）学生应该多进行体育锻炼，有助于增强身体素质． 本题主要考查用样本估计总体，根据统计图得到正确信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为（人）， 所调查的八年级学生中每周体育锻炼时间少于的人数为（人）， 本次抽样调查的八年级学生人数总数为（人， 八年级全体学生中每周体育锻炼时间少于的人数为（人）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：学生应该多进行体育锻炼，有助于增强身体素质． 21. 如图，已知内接于，是的直径，过点作于点，延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：为直径， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理得出，再证明，再结合半径相等得，然后进行角的等量代换，即可作答． （2）先由垂径定理得，再结合勾股定理列式，解出，同理得，因为，所以，得，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 泉州木偶造型优美，彩绘精致，个性鲜明，具有独特的艺术风格和地方色彩．某店销售，两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： （1）求两款木偶工艺品的售价各为多少元； （2）某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，为使购买总费用最低，应购买款木偶工艺品和款木偶工艺品各多少件？总费用最低为多少元？ 【答案】（1）款木偶工艺品的售价为20元，款木偶工艺品的售价为25元 （2）应购买款木偶工艺品10件和款木偶工艺品30件，总费用最低为950元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式． （1）设款木偶工艺品的售价为元，款木偶工艺品的售价为元，根据售货员的对话列出方程组，解方程组即可； （2）设购买款木偶工艺品件，则购买款木偶工艺品件，总费用为元，根据总费用，两款工艺品费用之和列出函数解析式，再根据购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，求出的取值范围，由函数的性质求出最值． 【小问1详解】 解：设款木偶工艺品的售价为元，款木偶工艺品的售价为元， 根据题意得：， 解得， 答：款木偶工艺品的售价为20元，款木偶工艺品的售价为25元； 【小问2详解】 解：设购买款木偶工艺品件，则购买款木偶工艺品件，总费用为元， 根据题意得：， 购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的， ， 解得， ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为950， 此时，， 答：应购买款木偶工艺品10件和款木偶工艺品30件，总费用最低为950元． 23. 阅读下列材料，解决问题． 如图1，已知正六边形，要求在正六边形的内部作一个矩形，且矩形的顶点在正六边形的边上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 小明利用尺规作图只作了部分，如图2所示． （1）请你根据小明的作图思路，补画出矩形； （2）在（1）的基础上，连接，若，则线段的长为 ，依据是 ； （3）如图3，已知正五边形，在其内部作一个矩形，使得点 ，分别在边，上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图： （2），三角形中位线的性质定理 （3） 如图： 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的性质，熟练掌握矩形的性质、尺规作图以及正五边形和正六边形的性质是本题解题的关键． （1）再找出和的中点，即可构造矩形； （2）根据三角形中位线定理求解即可； （3）分别过，作的垂线，与以及的交点，即为，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵是的中点，是的中点， ∴，， 故答案为：，三角形中位线的性质定理； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，点D是边上一动点（不与B，C重合），点E在边上，且，将绕点D顺时针旋转得到，且点B的对应点G恰好落在边上，的延长线交于点F，连接，交于点M． （1）求的度数； （2）求证：； （3）的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：， 的外接圆是以为直径的圆， ， 的外接圆是以为直径的圆， ，，，共圆， ， ， ， ， ， ； （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，再根据等腰直角三角形的判定得出是等腰直角三角形，从而求出旋转角，再根据旋转的性质及角的和差关系求解即可； （2）根据三角形外接圆的性质得出，，，共圆，再根据圆周角定理得出，从而证明，再根据平行线分线段成比例以及旋转的性质求证即可； （3）根据（2）的结论，将转化为相似比以及和的关系，再根据勾股定理求出和的关系，从而证明其值是定值． 【小问1详解】 解：，， ， 由旋转的性质可知，， 为等腰直角三角形， 旋转角， 旋转角， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是定值； 证明如下：设， ，， ， ， ，， ， ， ， 过作于，如图： ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，需要熟练运用圆的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线分线段成比例等知识． 25. 已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若A，B是抛物线上相异的两点，且A，B两点的横坐标之积为． ①求证：A，O，B三点共线； ②不与y轴平行的直线均与抛物线只有一个公共点，轴，且与抛物线相交于点D，连接，小聪研究发现：在中存在两个三角形的面积始终相等．请指出面积始终相等的两个三角形，并说明理由． 【答案】（1） （2） ①证明：设，则，设所在直线的解析式为：， 则有， 解得：， ∴直线过原点O， ∴A，O，B三点共线； ②和；理由如下： 设直线的解析式为：， 将A点坐标代入得：， ∴， ∴， 将的解析式代入抛物线解析式得：， 即， ∵直线与抛物线只有一个交点A， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 同理可得，直线的解析式为：， 联立直线和的解析式：， 解得：， ∵， ∴直线过线段在中点， ∴点A与点B到线段的距离相等， ∴恒成立． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过两点，得到抛物线的对称轴为即y轴，得到，将代入抛物线解析式求得，即得抛物线解析式； （2）①设，，所在直线的解析式为，有，解得，得直线过原点O；②设直线的解析式为：，将A点坐标代入求得，得，联立解析式得，根据直线与抛物线只有一个交点A，得，解得，，得直线的解析式为：，同理得直线BC的解析式为：，联立直线和的解析式：，解得：，根据线段中点横坐标为，得直线过线段在中点。得点A与点B到线段的距离相等，即得恒成立． 【小问1详解】 ∵抛物线经过两点， ∴抛物线的对称轴直线为：，即y轴， ∴， 将代入抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数与一次函数的图象和性质，线段中点坐标，三角形面积公式，函数与方程的关系，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年福建省中考数学模拟试卷（黑卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 24的相反数是（　　） A. B. C. D. 24 2. 如图几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. “二十四节气”是我国古代农耕文明的重要成果，对于指导农业生产具有重大意义．下列为小明设计的四个节气的图标（不含文字），其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 大雪 B. 芒种 C. 谷雨 D. 立秋 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 根据福建省统计局数据，福建省年的出生人数为万人，年的出生人数为万人．设这两年福建省出生人数的年平均下降率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于⊙，，是⊙的两条切线，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 某镇持续调整农业产业结构，引导百姓发展鲜切花产业，为当地百姓的增收致富拓宽了渠道．小航家在温室大棚里种植了玫瑰花，他统计了月份每枝玫瑰花的平均成本和平均售价，绘制了如图折线统计图，下列说法错误的是（ ） A. 平均利润最大的月份是2月份 B. C. 月份平均售价的中位数为3 D. 月份平均利润为3元 9. 福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔的高度（如图，在离白塔底端正前方8米的处，用高为1.5米的测角仪测得白塔顶部A处的仰角为，则白塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 已知抛物线经过三点，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知反比例函数的图象过点和点，则的值为_____． 12. 将一枚点数为且质地均匀的正方体骰子投掷一次，观察向上一面的点数，则向上一面的点数大于的概率为______． 13. 如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是______． 14. 不等式组的解集是______． 15. 已知任意两个非零实数，满足，小玲说可以得到．下面为小玲给出的证明过程： ，第一步 ，第二步 即，第三步 ，第四步 即，第五步 两边开平方，得，第六步 ． 以上证明过程中，开始出现错误的是第______步． 16. 如图，在菱形中，，对角线，交于点，动点在边上（不与点重合），连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，现有以下结论：①点，之间的距离为定值；②；③的值可以是；④或．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在中，延长到点E，使得，连接，，若．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某校积极倡导人文运动观念，提倡体育与文化、教育的有机结合，提高同学们的身体素质．为了了解本校八、九年级学生每周体育锻炼的时间，随机抽取了八、九年级部分学生，对其每周体育锻炼的时间（单位：）进行了统计，汇总得到如下报表（经调查八、九年级学生每周体育锻炼的时间少于）： 调查主题 中学学年学生每周体育锻炼的时间 调查方式 抽样调查 调查对象 本校八、九年级学生 数据的收集、整理与描述 您每周体育锻炼的时间（记为，单位：）是_____ 建议 （1）若八年级共有600名学生，估计八年级全体学生中每周体育锻炼时间少于的人数； （2）通过调查报告能否得出所调查的学生中八年级学生每周体育锻炼总时长大于九年级学生每周体育锻炼总时长？并说明理由； （3）请写出一条你对学生每周体育锻炼的建议． 21. 如图，已知内接于，是的直径，过点作于点，延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 22. 泉州木偶造型优美，彩绘精致，个性鲜明，具有独特的艺术风格和地方色彩．某店销售，两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： （1）求两款木偶工艺品的售价各为多少元； （2）某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，为使购买总费用最低，应购买款木偶工艺品和款木偶工艺品各多少件？总费用最低为多少元？ 23. 阅读下列材料，解决问题． 如图1，已知正六边形，要求在正六边形的内部作一个矩形，且矩形的顶点在正六边形的边上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 小明利用尺规作图只作了部分，如图2所示． （1）请你根据小明的作图思路，补画出矩形； （2）在（1）的基础上，连接，若，则线段的长为 ，依据是 ； （3）如图3，已知正五边形，在其内部作一个矩形，使得点 ，分别在边，上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 24. 如图，在中，，点D是边上一动点（不与B，C重合），点E在边上，且，将绕点D顺时针旋转得到，且点B的对应点G恰好落在边上，的延长线交于点F，连接，交于点M． （1）求的度数； （2）求证：； （3）的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 25. 已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若A，B是抛物线上相异的两点，且A，B两点的横坐标之积为． ①求证：A，O，B三点共线； ②不与y轴平行的直线均与抛物线只有一个公共点，轴，且与抛物线相交于点D，连接，小聪研究发现：在中存在两个三角形的面积始终相等．请指出面积始终相等的两个三角形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $