第13章　轴对称——等腰三角形中相等的线段　课件　2024—2025学年人教版数学八年级上册

等腰三角形中相等的线段 第十三章 轴对称 数学活动 素养目标 1.通过折叠等腰三角形，探究相等的线段. 2.通过动手实践，合作交流，培养学生观察、分析、总结和解决问题的能力. 3.能较好运用所学的数学思维、数学方法进行解题. 一、旧知回顾 性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. 性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 补充:轴对称图形，对称轴是顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线所在的直线. 我回顾，我思考： 1、如图,在△ABC 中, ∵AB=AC ∴ =∠C A C B D 1 2 2、如图,在△ABC中,AB=AC，点D在BC上 （1）若∠1=∠2，则 （1）若 BD=CD ，则 （1）若AD⊥BC，则 ∠B BD=CD , AD⊥BC ∠1=∠2,AD⊥BC BD=CD, ∠1=∠2 二、探索与证明 请利用长方形纸片和裁剪工具，借助折纸的方法裁剪出一个等腰三角形 ? 1、探索与猜想 折一折·剪一剪：将长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分，再把得到的直角三角形展开 折一折·剪一剪：将长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分，再把得到的直角三角形展开 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,BD =CD，且DE⊥AB,DF⊥AC. （一）探 索 与 证 明 DE和DF有什么数量关系？请证明你的结论！ 2、根据等腰三角形的折叠过程，完成以下探索与证明： 结论:等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 例1：如图，在△ABC中，AB=AC,点D是底边上的中线AO上的任一点，且DE⊥AB,DF⊥AC 求证：DE=DF O D ∟ ∟ F E B A C 1 2 拓展与延伸1： D ∟ ∟ F E 此时DE=DF还成立吗？ D ∟ ∟ F E B A C D ∟ ∟ F E 拓展与延伸（2） B A C D ∟ ∟ F E 拓展与延伸2： 结论:等腰三角形底边上的点到两腰的距离之和是一个定值 如图，在△ABC中，AB=AC,BD =CD，且点E、F分为AB和AC的中点。 （二）探 索 与 证 明 1 2 B A C D F E DE和DF有什么数量关系？请证明你的结论 结论:等腰三角形底边上的中点到两腰中点的距离相等 如图，在△ABC中，AB=AC,BD =CD，且AE=1/3AB、AF=1/3AC 1 2 B A C D F E DE和DF有什么数量关系？ 拓展与延伸1： 在△ABC中，AB=AC,BD =CD， 且DE、DF分别是∠ADB和∠ADC的角平分线 4、探 索 与 证 明（3） 1 2 B A C D F E 3 4 DE=DF还成立吗？ 三、合作与探究 1.主题：等腰三角形中还有哪些相等的线段？ 2.过程：小组自由讨论，通过折叠等腰三角形，猜想等腰三角形中还有哪些相等的线段。 3.结果：由小组长对各组讨论结果进行统计（附组名） 要求：小组长维持各组纪律，声音不宜过大 等腰三角形中其他相等的线段： 1、等腰三角形两底角的角平分线相等 2、等腰三角形两腰上的中线相等 3、等腰三角形两腰上的高线相等 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC， ∠ABC和∠ACB角平分线BD与CE 交于点O． 求证：________ 探究（1）：等腰三角形两底角的角平分线相等 BD＝CE 结论:等腰三角形两底角的角平分线相等 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC， ∠ABC和∠ACB角平分线BD与CE 交于点O． 求证：________ 探究（1）：等腰三角形两底角的角平分线相等 BD＝CE 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC， AB与AC上的中线BD和CE 交于点O． 求证： 探究（2）：等腰三角形两腰上的中线相等 BD＝CE 结论:等腰三角形两腰上的中线相等 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC， AB与AC上的中线BD和CE 交于点O． 求证： 探究（2）：等腰三角形两腰上的中线相等 BD＝CE 四、收获与反思 这节课我们研究了哪些问题？ 1、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 2、等腰三角形两底角的角平分线相等 3、等腰三角形两腰上的中线相等 …那么高线呢？三等分线呢？四等分线呢？......n等分线呢？ 我们在研究这些问题时，经历了怎样的过程？ ——探究数学问题 探索 猜想 证明 拓展 五、练习与巩固 例1：已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 图② 图① 证明：(1)如图①，过A作 AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 图② 图① G $$