广东省湛江市岭南师范学院附属中学2024-2025学年高二上学期开学调研考试数学试题

岭南师范学院附属中学 2024-2025学年第一学期 开学调研考试 高二年级 数学试卷 考试时间:120分钟 满分:150分 命题人:GSL 审题人:CHH 一、选择题;本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 集合4-{xez]xs2.a={xl-2$xs3.则4-() A. (rosx53) B. (×-2sx54) c. (01.2.3) D. (-2.-1.0.1.2.3.4 2. 设复数:满足z-i-1+1·则--() A.2ti C.- ,B.2-f D.i 3.某公司在现员工有1200人,其中籍售人员有400人,研发人员有600人,现采用分层随机加样的方 法抽取120人进行调研,则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多( ) A.20 B.30 C. 40 D. 50 4. 已知向量ā-(-1.2).5-(-3.t).则ā在5上的投影向量为() #A.(-)B.(-n C#2} .01 5. 已知数据x..×.,×的平均数-10方差=10.则3x+2.3+2.3x+2..-3x+2的平均数和 ·方差分为() A.-30.-92 B.y-32=92 c.y-30-90 D.y-32-90 6. 在正方体4BCD-ARC.D中,E为DD.的中点,则异面直线AE与aD.所成角的余弦值为( ) A. C 7. 考函数/(x)-、3sinxooax+cos*x。则涵数/(x)的单调遂增区同为() A.2-2].e2 B. 2a21 82 c. [-__]s2 D.[2].e2 8. 在直角形ABCD中,AD/BC.乙ABC=90°,AD-2AB=2BC-2.点P为襟形ABCD四条边上 的一个动点,则阿.丽的取值范围是() 【2024-2025 学年第一学期 开学满研考试 高二年级数学试卷 第1页 共4页】 #A.[B.-} c. I-1.4] D.[- 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9. 人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标,常被用于衡量一个地区经济发服 水平和群众生活水平,下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统 计图,据此进行分析,则() 2018--2023年前三季度全国域填居民人约可支配收入 及人均消费支出计图 “将佬去进 一境镇剧民人均可支配收入(元) --域居民人均消费支出(元) 29599 319s 32821 35946 37487 39428 1进 1s014 20379 1947 21981 2285 24315 20i8 2019 2020 2021 202 2023年 A. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均清费支出逐年递增 B. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可文配收入逐年递增 C. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小 D. 2018~2023年前三季度全国城镇居民入均淄费支出的中位数为21180元 10.已知复数--5.其中i为虚数单位,则下列结论正确的有( ) 2 A. 复数:的共短复数的模为 B. 复数;在复平面内对应的点在第四象际 C. 复数:是方程x?+x+1-0的解 D. 复数{满足]a-d-1,则la的最大值为? 11.如图,正方体ABCD-4BC.D的校长为1.P是线段BC.上的动点,则下列结论正确的是( ) A. 三校锥A-APD的体积为定慎 B. AP/平面4CD C. AP+B.P的最小值为22 D. 当4.C.D.P四点共面时,四面体APAC,的外接球的体职为。 . ,。 【2024-2025 学年第一学用 开学词研考试 高二年级数学试卷 第2页 共4页】 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 知平面向量ā=(1.m).=(-2.ì).=(n.2).若1,$//,则m+n=__ 13. 在A4BC中,a+c-b-ac,则角B的大小是 ,若b-25,则A4BC的面积的最大 14. 蹴(如图所示),又名蹴球,蹴圆,筑球,踢匿等,有用脚、踢、蹋的含义,葡最早系外包皮 革、内实来赫的球因而蹴御就是指古人以脚蹴、竭、踢皮球的活动,类似于今日的足球.2006年5月20 日.,戳陶作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某靴(球)的表 则该(球)的表积为__ 四、解答题(本题共5小题,共77分,其中15题13分,16题15分,17题15分,18题 分,19题17分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (1)求b及AABC的面积S; (2)若D为BC边上一点,且AD-1,求乙ADB的正值 16. 小米在2024年推出SU7汽车,创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价,令销售部随机抬 取200名客户进行了问卷调查,根据统计情况,将他们的年龄按[20.30),[30.40),【40.50)[50.60),[60,70 分组,并绘制出了如图所示的频率分布直方图 频/组距 000 0025 ... ) 0 0.020 - 0203040506070年给 (1)估计样本数据中用户年龄的众数与平均数(同一组中的数据用该组区问的中点值作代表). (2)销售部从年龄在[30.40),[60.70)内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人,再从这6人 中随机抽取2人进行电话回访,求这2人取自不同年静区间的概率. 【2024-2025 学年第一学期 开学调研考试 高二年级数学试卷 第3页 共4页】 17.如图,在正三校桂ABC-4BC中,C4-4,E.P分别为梳AC,BC的中点,且PB1BC (1)证明:AB//平面88C: (2)求三校桂4BC-4BC被平面EBC.截得的两部分的体积 18. 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.的定甲先投,先投中者获胜,一直到有人获胜或者每人部已 投球3次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为一乙每次投篮投中的概率为一,且各次投篮互不影响 (1)求甲获的率; (②求投健结束时,甲只投了2个球的概率 (3)若用没一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮,求第3次投篮结束后,投篮结束的概率 19.如图,在矩形ABCD中,4B-1:BC-3,M是线段AD上的一动点,将AABM沿着M折 起,使点A到达点A的位置,满足点4平面BCDM且点4'在平面BCDM内的射影E落在线段BC . DM (1)当点M与点D重合时, ①证明:AB1平面ACD. ②求二面角A'-BD-C的余弦值 (2)设直线CD与平面ABM所成的角为g,二面角A-BM-C的平面角为B.求sina:cos 大值 ,. 【2024-2025 学年第一学期 开学调研考试 高二年级数学试卷 第4页 共4页】 岭南师范学院附属中学 2024-2025学年第一学期 开学调研考试 高二年级 数学试卷答案 1.【详】由r2,则0x$4.所以=zs2-{ez{ox4-01,23.4 又品-x-2x3.所以40-01.23].故选:C 2.【详解】由-1-1+1可得:-1+2,所以1+2(1+2)1+2+-2-1.故选:B 好被抽到的研发人员人数比错售人员人数多60-40=20.故选:A 4.【详解】 题意,.--1x(-3)+2x1-5--3)-10. 所以a在上的投影向为--(-一)故选:A 5. 【鲜析】因为,X号,,x.的平均数是10,方差是10 -&10---(-(--.(--”10 所以3x+23+23x+2.-3x+2的平均数是 3+2+23+2.-.)+2×82-32. 方整是. [(3+2-(3x+2)](3x+2-(3x+2)+x+2-(3x+2)] -+90-90-90-9选: D. 6.【详解】 取CC的中点F,连接BF,D.F,设正方体ABCD-ARCD校长为a, 因为AB-EF,ABIIEF,所以四边形ABFE为平行四边形. 所以BFlAB,则乙D.BF为异面直线AE与BD所成角或其补角。 由品-45Dr-n---。 2DB.BF -故选B 7.【*解1-sn0-n一1. 1 【2024-2025 学年第一学用 开学调研考试 高二年级数学试卷答案 第1页 共8页】 所以-+2k"s2x++2hre z),所以-+5xs+(ez). 则函数(4)的单调道区间为[-.cn]*ez,故选:C 8.【详解】如图A8P中,0为AB中点 P-P0+0rP+0-+0P0-0=P0-0 如图,取A8中点O. PP-PO'-04”-PO'-,要求PADPB取值范围,只要求PO”录大,最小即可. 由图,可知Po”最大时,P在D点,即Po”-p0”-AD+40”-17,此时P&Pā-Po--4. 9. 对于B,由题中折线图知人均可支配收入逐年递增,B正确 对于C,2018U2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为39428-29599-9829元,人均消 费支出的极差为24315-19014-5301元,C错误; 对于D. 2018U2023年前三学度全国城镇居民人均消费文出的中位数为20379+21981-2180元,D正 2 确.故选:BD 1.【11.0 20-0-1 对于选项A.因为-11.-)-1.故选项A正确。 对于选项B,因为复数:在复平面内对应的点为).故选项B正确: 对于选项C.1.+1-)1-1---40. 故选项C错误; 【2024-2025 学年第一学期 开学调研考试 高二年级数学试卷答案 第2页 共8页】 对于选项D,设=a+bi(a占 ),则由n--1,得到(-(+-1,又la-,由 几何意义知,可看成圆(a-y→(b+)-1上的动点(a-b)到原点的距离,所以l叫的最大值为 #→1-2.故选项D正确故选:ABD. 11.【详解】对于A.因为BC/1AD,RC不在平面ADD4内,ADC平面ADD.A. 所以BC.//平面4DDA.又P=BC,所以点P到平面4DDA.的距离为1. 又$un为定值:故P-c二V,“定值,A正确 对于B:因为AD//BC.ADC平面ADC.BC平面ADC,所以BC//平面4DC 同理可知4C//平面4DC 又BC.OAC.-C,BC.4Cc平面ACB.所以平面AC.B/平面ACD. 由于APc平面4CB,故AP/平面ACD.B正确 对于C.展开两线段所在的平面,得矩形ABC.D.及等腰直角三角形BBC 连接4B,交BC.于点P,此时AP+B.P最小,最小值即为AB的长 过点B作BN1.4B.交AB的延长线于点N. 故AN=1. 又勾股定理得AB-、B+AN-{ -## -2+2,c不正确: 对于D,点P在点B处,4.C.D.P园点共面. 四面体BPAC的外接球即正方体的外接球, ,: 【2024-2025 学年第一学期 开学调研考试 高二年级数学试卷答案 第3页 共8页】 __ 故外按球的半径为+1+1. . 所以该球的体积为4'-. D正确.故选:ABD 2 12. 【详解】因为ā-(1.a)-(-2.1)1,所以1x(-2)+lxm=0.m= 因为=(n2)-(-2.1)//,所以1xn=2x(-2),n=-4.所以m+n=2-4=-2 故答案为:-2. 2o-“ 因为}-2,所以a+c”-12-ac→2ac,当且仅当a=c=2时取等号,所以ac$4 面积s-1acsnB-.e、5,所以三角形面积的最大值为、5. 故答案为:120/2. 14.【详解】如图,取AB的中点M,连接MP,由AC-BC-4.AC1.BC得:AB=4\ :tan pA a/pnd_-. .-2x-2、5. 连接CM并延长,交球O于点,连接PB因为PC球O的直径, -0 设球的半径为R. 则PH1.CH,ir-ca-AB=2vV5. :PH-PM-MH-12-8-2 .(R]-PC-Cr+PH=(42+4-36:R=3 球的表面积为4nR}-36n.故答案为:36t 15. 【小问1详解】 由余弦定理得a}-b2+c3-2bccos A. 鉴理得7=b+1+b.即b}+b-6=(b+3)(b-2)- 因为b>0,解得b-2. 所以$_sn,-2x( 2=2 【小问2详解】 sinB sinA' 【2024-2025 学年第一学期 开学诗研考试 高二年级数学试卷答案 第4页 共8页】 所以sing-btin4.2 2 “77 在三角形ABD中,因为c-AB=AD,则乙ADB-乙B 7 16. 解:(1)由平均数计算公式,可估计平均数为0.15x25+0.2x35+0.3x4540.25x55+0.1x65-44.5. 根据题率分步直方图,估计众数为45 (2)由已知可得抽取的6人中,年龄在[30.40)内的有4人,分别记为A.4,4.4 年龄在[60.70)内的有2人,分别记为B,B。 则从这6人中随机抽取2人的样本点为 (4,4).4.4:14.4):4.B:14.):(4.4):14.4).4,B.(4.B) (4.4).14,B).4,B).(4.B.(4,).8.B,共15个; 记事件4=“这2人取自不同年龄区间”,其包含样本点有{4.B.4,B.(4,B.[4,B] (4.B.(4.B.(4.B):(4.B),共8个 故这2人取自不同年龄区间的概率为P(40-8 17.解:(1)连接CB交BC.于F,连接EF,如图 .王校柱ABC-4B.C为正三楼柱,F为CB.的中点. 又E为AC的中点,:EF为DACB.的中位线,:EF//AB. 又EFC平面EBC.AB平面EBC..AB/平面EBC (2)三校杜ABC-4BC.被平面EBC,截得的两部分为 三校锥C.-CEB与多面体ABEA.B.C -三校柱ABC-ABC.为正三校杜,:四边形CBB.C.为矩形. 2. 又BC. 1PB.:DPBB.BB.C. -三校桂4BC-A8Cc的体积为x4-x2v2-8、6 故三校姓C-C2的为24x-4. 多面体4854.AC的体积为86.4、620V6 【2024-2025 学年第一学期 开学调研考试 高二年级数学试卷答案 第5页 共8页】 18. 解:(1)根据题意,设4,B.分别表示甲、乙在第k次投篮投中. 则P(4-.(8)-.(-123 设甲获胜为事件E,则E=A+ABA+4B4.B4:而4:4BA.4B4.B4互斥, (2)根据题数,设投篮结束时,甲只投2个球为事件F 则F=4B4+4B4.B,而4BA,4B4B.互斥, 所以P()##(B4)#P(4A)--#-} (3)根据题意,设第3次投篮结束后,投篮结束为事件G。 分两种情况讨论: 若甲先投篮,若第3次投篮结束后,投篮结束,即事件4B4 若乙先投篮,若第3次投篮结束后,投篮结束,即事件B.4B。 $故P[G-×P(4B4)+×P(B4B)-#5 232322323 19.【小问1详解】 ① ,DM 当点M与端点D重合时,由乙BAD=90”可知A'B1A'D 由题意知AE1.平面BCD,CDC平BCD,所以AE1CD. 又BC1CD,A'EOBC=E,xE一平面A'BC,BCC平面A'BC 所以CD1平面4BC,又A'B一平面4BC,所以A'B1CD 因为A'DOCD=D.CDC平面ACD,AD一平面ACD. 所以4B1平面/ACD -% ② ,. 一正一第