精品解析：广东省湛江市岭南师范学院附属中学2024-2025学年高二上学期开学调研考试数学试题

岭南师范学院附属中学 2024～2025学年第一学期开学调研考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：GSL 审题人：CHH 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A B. C. D. 3. 某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 4. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 7. 若函数，则函数的单调递增区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ） A 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 B. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 C. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小 D. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元 10. 已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A. 复数z的共轭复数的模为1 B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限 C. 复数z是方程的解 D. 复数满足，则的最大值为2 11. 如图，正方体棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，，若，，则______. 13. 在△ABC中，，则角B的大小是________；若，则△ABC的面积的最大值是________. 14. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，且球心О在PC上，，，，则该鞠（球）的表面积为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知分别为的三个内角的对边，且，，． （1）求及的面积； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 16. 小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. （1）估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）销售部从年龄在，内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率. 17. 如图，在正三棱柱中，，E，P分别为棱AC，BC的中点，且. （1）证明：平面； （2）求三棱柱被平面截得的两部分的体积. 18. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； （3）若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率. 19. 如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上． （1）当点M与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角的余弦值； （2）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 岭南师范学院附属中学 2024～2025学年第一学期开学调研考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：GSL 审题人：CHH 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【详解】由可得， 所以. 故选：B 3. 某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义结合题意求出被到的研发人员人数和销售人员人数，从而可求得结果. 【详解】由题意可得被抽到研发人员有人，销售人员有人， 则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多. 故选：A 4. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式求解. 【详解】根据题意，在上的投影向量为： . 故选：A 5. 已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用平均数和方差的公式计算即可． 【详解】因为的平均数是10，方差是10， 则，， 所以的平均数是， 方差是 故选：A. 6. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，设正方体棱长为，则为异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求解. 【详解】 取的中点，连接，设正方体棱长为， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，则为异面直线与所成角或其补角， 由 所以. 故选：B 7. 若函数，则函数的单调递增区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 分析】先将函数解析式化简整理，得到，根据，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 则函数的单调递增区间为，， 故选：C 8. 在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ） A. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 B. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 C. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小 D. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的折线图，结合统计知识逐项分析判断得解. 【详解】对于A，由题中折线图知，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，A错误； 对于B，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，B正确； 对于C，20182023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元， 人均消费支出的极差为元，C错误； 对于D，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D正确. 故选：BD 10. 已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A. 复数z的共轭复数的模为1 B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限 C. 复数z是方程的解 D. 复数满足，则的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求出，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】因为，所以， 对于选项A，因为，所，故选项A正确； 对于选项B，因为复数z在复平面内对应的点为，故选项B正确； 对于选项C，，所以，故选项C错误； 对于选项D，设，则由，得到，又，由几何意义知，可看成圆上的动点到原点的距离，所以的最大值为，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出为定值，且P到平面的距离为1，从而由等体积得到锥体体积为定值；B选项，证明出面面平行，得到线面平行； C选项，将两平面展开到同一平面，连接，交于点，此时最小，最小值即为的长，由勾股定理得到最小值； D选项，点P在点B处，，C，，P四点共面，四面体的外接球即正方体的外接球，求出正方体的外接球半径，得到外接球体积. 【详解】对于A，因为不在平面内，平面， 所以平面，又， 所以点到平面的距离为， 又为定值， 故定值，A正确； 对于B，因为，平面，平面，所以平面， 同理可知平面， 又，平面， 所以平面平面， 由于平面，故平面，B正确. 对于C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形， 连接，交于点，此时最小，最小值即为的长， 过点作⊥，交的延长线于点， 其中， 故，又勾股定理得，C正确； 对于D，点P在点B处，，C，，P四点共面， 四面体的外接球即正方体的外接球， 故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确. 故选：ABD 【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可. 【详解】因为，所以, 因为，所以, 所以. 故答案：. 13. 在△ABC中，，则角B的大小是________；若，则△ABC的面积的最大值是________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据条件，结合余弦定理得，再由基本不等式变形求出的最大值，最后利用三角形面积公式表示出，代入的最大值即可求三角形的面积最大值. 【详解】因为，由余弦定理得，所以. 因为，所以，当且仅当时取等号，所以， 面积，所以三角形面积的最大值为. 故答案为：； 14. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，且球心О在PC上，，，，则该鞠（球）的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，做出辅助线，利用勾股定理求出球的半径，求出球的表面积. 【详解】 如图，取AB的中点M，连接MP，由 得： 连接CM并延长，交球O于点H，连接PH，因为PC球O的直径， 设球的半径为R，则 球的表面积为 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知分别为的三个内角的对边，且，，． （1）求及的面积； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积； （2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值. 【小问1详解】 由余弦定理得， 整理得，即， 因为，解得， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 所以， 在三角形中，因为，则， 所以. 16. 小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. （1）估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）销售部从年龄在，内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率. 【答案】（1）平均数为44.5，众数为45. （2）.， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图易知众数，由平均数计算公式可得结果； （2）由抽样比可确定每层中的抽样人数，再由古典概率计算公式可得结果 【小问1详解】 由平均数计算公式，可估计平均数为， 根据频率分布直方图，估计众数为45. 【小问2详解】 由已知可得抽取的6人中，年龄在内的有4人，分别记为； 年龄在内的有2人，分别记为； 则从这6人中随机抽取2人的样本点为 ，，，，，，，，， ，，，，，，共15个； 记事件“这2人取自不同年龄区间”，其包含样本点有，，，， ，，，，共8个， 故这2人取自不同年龄区间的概率为. 17. 如图，在正三棱柱中，，E，P分别为棱AC，BC的中点，且. （1）证明：平面； （2）求三棱柱被平面截得的两部分的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）三棱锥的体积为，多面体的体积为 【解析】 【分析】（1）连接交于F，连接EF，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）根据条件可得，然后根据锥体及柱体的体积公式结合割补法将三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可得答案. 【小问1详解】 连接交于F，连接EF，如图. ∵三棱柱为正三棱柱， ∴F为的中点， 又E为AC的中点， ∴EF为的中位线， ∴， 又平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 三棱柱被平面截得的两部分为三棱锥与多面体. ∵三棱柱为正三棱柱， ∴四边形为矩形， 又， ∴， ∴，解得 ∴三棱柱的体积为 故三棱锥的体积为， 多面体的体积为. 18. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； （3）若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，设甲获胜为事件，则，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案； （2）设投篮结束时，甲只投2个球为事件，则，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案； （3）设第3次投篮结束后，投篮结束为事件，按甲和乙谁先投篮分2中情况讨论，进而由互斥事件概率的加法公式计算可得答案. 【小问1详解】 根据题意，设，分别表示甲、乙在第次投篮投中， 则，， 设甲获胜事件，则，而，，互斥， 故 【小问2详解】 根据题意，设投篮结束时，甲只投2个球为事件， 则，而，互斥， 所以 【小问3详解】 根据题意，设第3次投篮结束后，投篮结束为事件， 分两种情况讨论： 若甲先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件， 若乙先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件， 故 19. 如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上． （1）当点M与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角的余弦值； （2）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 【答案】（1）①证明见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意可得，，，则平面，从而有，再由线面垂直的判定定理可证得结论；②过E作EO⊥BD于点O，连接，可证得为二面角的平面角，然后在中求解即可； （2）过点做交于，所以直线与平面所成的角,即为直线与平面所成的角，过E作EO⊥BM于点O，连接，连接，是直线与平面所成的角，是二面角平面角，设，然后表示出化简后利用二次函数的性质可求得其最大值. 【小问1详解】 ① 当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以 因为，平面，平面， 所以平面； ② 过E作EO⊥BD于点O，连接. 因为平面，平面，所以， 因为EO⊥BD， ，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角, 且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线. 因为所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以在中，， 即二面角的余弦值为. 【小问2详解】 过点做交于，所以直线与平面所成的角, 即为直线与平面所成的角， 过E作EO⊥BM于点O，连接. 由②同理可得平面，平面， 所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面， 所以平面， 连接，是直线与平面所成的角，即， 因为，满足， 设，所以， 所以， 所以，， 因为在中，斜边大于直角边，即， 所以，所以， ， 在中由等面积，， 因为，，所以是二面角平面角， 即，， ，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值. 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查线面角和二面角的求法，解题的关键是通过几何方法找出线面角和二面角，然后在三角形中求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$