精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

数学作业 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ∶∶∶∶ 2. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是(1，2) D. 与x轴有两个交点 3. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 4. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 对于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 图象与轴交点为 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过点 6. 六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（ ） A. 平均数是14 B. 中位数是14.5 C. 方差3 D. 众数是14 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则（ ） A. 20° B. 40° C. 80° D. 100° 9. 随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学曾送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 函数与的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标为_______________________． 12. 已知是抛物线的图象上两点，则______ 13. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 14. 为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择___________． 15. 如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为__________． 16. 如图，正方形的边长为，为边的中点，点在边上移动，点关于直线的对称点记为，连接、、．当四边形为正方形时，的长为________． 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 计算: 18 解方程 （1） （2） 19 已知抛物线经过点和． （1）求、的值； （2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式． 20. 如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，连接EF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB=8，AD=4，求BF的长． 21. 如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接． （1）求点和点的坐标； （2）若点是直线上一点，若的面积为，求点的坐标； 22. 某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元． （1）分别求出每件豆笋、豆干的进价； （2）某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？ （3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？ 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】 （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 性质探究】 （2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 问题解决】 （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学作业 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ∶∶∶∶ 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 2. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是(1，2) D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点． 【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下． 3. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得，然后根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：A． 4. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 5. 对于一次函数，下列说法错误的是（ ） A. 随增大而减小 B. 图象与轴交点为 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过点 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：中，， A. ，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； B. 当时，，则图象与轴交点为，故该选项正确，不符合题意； C. ∵，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意； D. 当时，，则图象经过点，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数图象的增减性，求函数值，与坐标轴交点，能正确根据k判断增减性是解题的关键． 6. 六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（ ） A. 平均数是14 B. 中位数是14.5 C. 方差3 D. 众数是14 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出平均数、中位数、方差、众数后，进行判断即可． 【详解】解：A．六位同学的年龄的平均数为，故选项错误，不符合题意； B．六位同学的年龄按照从小到大排列为：13、14、14、14、15、15， ∴中位数为，故选项错误，不符合题意； C．六位同学的年龄的方差为，故选项错误，不符合题意； D．六位同学的年龄中出现次数最多的是14，共出现3次，故众数为14，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差、众数，熟练掌握平均数、中位数、方差、众数的求法是解题的关键． 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 8. 如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则（ ） A. 20° B. 40° C. 80° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形性质可得OA=OD，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 9. 随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学曾送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若该班有x名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片张，那么根据题意可列得方程． 【详解】解：若该班有x名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片张， 则可列方程为． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是列出方程；弄清每名同学送出的照片是张是解决本题的关键． 10. 函数与的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象与系数关系，二次函数图象和系数的关系进行判断； 【详解】解：当时，，二次函数开口向上，当时一次函数过一，二，四象限，当时一次函数过二，三，四象限； 当时，，二次函数开口向下，当时一次函数过一，二，三象限，当时一次函数过一，三，四象限． 所以B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象，二次函数的图象，熟练掌握函数的性质是解题的关键 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标为_______________________． 【答案】（1，5） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（1，5）． 故答案为：（1，5）． 【点睛】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法，掌握二次函数的性质是解题的关键． 12. 已知是抛物线图象上两点，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据顶点式得到对称轴，根据增减性，判断函数值大小即可． 【详解】解：∵，，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵是抛物线的图象上两点， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 14. 为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择___________． 【答案】丁 【解析】 【分析】结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取， 由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是， 从甲，丙，丁中选取， 甲的方差是，丙的方差是，丁的方差是， 发挥最稳定的运动员是丁， 从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁． 故答案为：丁． 【点睛】本题重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 15. 如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，运用勾股定理建立方程求出是关键；由折叠知，则，在中由勾股定理建立方程，即可求出，在中由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：， ； 由折叠知， 则； 在中，， 即， 解得：； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为，为边的中点，点在边上移动，点关于直线的对称点记为，连接、、．当四边形为正方形时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，若四边形为正方形，则BE=BF=2，，连接BD，可知BD=，由正方形的性质可知：平分∠ABC，BD平分∠ABC，B、D、三点共线，求出． 【详解】解：如图所示，连接、BD， ∵四边形为正方形，边长为4， ∴BD=，BD平分∠ABC， ∵为边的中点，四边形为正方形， ∴BE=BF=2， ∴，平分∠ABC， ∴B、D、三点共线， ∴==． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，轴对称的性质，掌握正方形的对角线平分每一组对角是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 计算: 【答案】1- 【解析】 【分析】根据实数的性质进行化简即可求解. 【详解】解：原式= +2- -1- =1- 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质. 18. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程. （1）根据算术平方根的意义得到，解一元一次方程即可； （2）配方化为，再利用开平方解方程即可. 【小问1详解】 解： ∴ 开平方得， 解得， 【小问2详解】 ∴ ∴ 开平方得， 解得 19. 已知抛物线经过点和． （1）求、的值； （2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）将点和，代入解析式求解即可； （2）将，按题目要求平移即可． 【详解】（1）将点和代入抛物线得： 解得： ∴， （2）原函数的表达式为:， 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得： 平移后的新函数表达式为: 即 【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键． 20. 如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，连接EF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB=8，AD=4，求BF的长． 【答案】（1）见解析； （2）3 【解析】 【分析】（1）易证四边形BFDE平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形； （2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在RtADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可． 【小问1详解】 证明：∵DEBC，DFAB， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵DEBC， ∴∠CBD＝∠EDB． ∴∠ABD＝∠EDB． ∴EB＝ED． ∴平行四边形BFDE是菱形； 【小问2详解】 解：∵EDBF，∠C＝90°， ∴∠ADE＝90°． 设BF＝x， ∴DE＝BE＝x． ∴AE＝8﹣x． 在RtADE中，AE2＝DE2+AD2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3， ∴BF＝3． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理的运用，熟记菱形的各种判定方法和性质是解题的关键． 21. 如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接． （1）求点和点的坐标； （2）若点是直线上一点，若的面积为，求点的坐标； 【答案】（1）点坐标为，点坐标为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据坐标轴上的点的坐标特征即可解决问题． （2）由的面积为可求出点的横坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 将代入得， ， 解得， ∴点坐标为． 将代入得， ， ∴点坐标为． 【小问2详解】 由，得， ， 又∵的面积为， 则， 解得， 当时， ； 当时， ； ∴点的坐标为或． 22. 某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元． （1）分别求出每件豆笋、豆干的进价； （2）某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？ （3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件 （2）有3种进货方案：豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件 （3）购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案； （3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为，根据一次函数的性质即可求得总利润最大的进货方案． 【小问1详解】 解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件， 则，解得， 故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件． 【小问2详解】 设豆干购进n件，则豆笋购进件， ， 解得， ∴时，，即豆干购进件，则豆笋购进件， 时，，即豆干购进件，则豆笋购进件， 时，，即豆干购进件，则豆笋购进件． 【小问3详解】 设总利润为W元，豆干购进n件， 则 （且n为整数）， ∵， 当时，W随n的增大而减小， ∴当时，W取最大值，为． 此时，购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元． 【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型． 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】 （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】 （2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】 （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质． （1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； （3）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故答案为：④； （2）解：； 理由如下：如图1， ∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是中点， ∴，，，， ∴， 故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$